侯小秋

（黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，哈爾濱150022）

CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測(cè)濾波PID控制

侯小秋

（黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，哈爾濱150022）

針對(duì)CARMAX模型，采用系統(tǒng)的輸出預(yù)測(cè)值代替系統(tǒng)的當(dāng)前輸出值，提出一具有預(yù)測(cè)控制性能的增量型預(yù)測(cè)濾波PID控制算法。采用改進(jìn)可克服算法病態(tài)的遞推最小二乘算法對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，利用自校正預(yù)報(bào)顯式算法對(duì)系統(tǒng)輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)，根據(jù)建立的可克服算法病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)自適應(yīng)控制算法和Robbins-Monro算法，給出具有在線修正PID控制參數(shù)和加快PID控制參數(shù)收斂性能的CARMAX模型的自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制算法。結(jié)果表明：所給出的算法具有較好的預(yù)測(cè)控制性能和控制品質(zhì)。

自適應(yīng)控制；預(yù)測(cè)控制；PID控制；參數(shù)估計(jì)；自校正預(yù)報(bào)

PID控制是一種傳統(tǒng)有效的控制算法，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合現(xiàn)代先進(jìn)控制理論，如自適應(yīng)控制、智能控制、模糊控制等，至今已提出了一些具有預(yù)測(cè)控制性能的在線修正參數(shù)，整定參數(shù)的PID控制算法，這些算法結(jié)合了PID控制和先進(jìn)控制的優(yōu)異性能。文獻(xiàn)［1］研究了直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制，但所提出的算法無預(yù)測(cè)控制和無濾波性能，并且不具有加快PID控制參數(shù)的收斂速度的性能。筆者提出一種具有預(yù)測(cè)控制和濾波性能的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制，算法的指標(biāo)函數(shù)中含有系統(tǒng)的輸出預(yù)測(cè)值，具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的性能。

1　CARMAX模型的參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)

1.1CARMAX模型

設(shè)系統(tǒng)由CARMAX模型描述

式中：y（t）——1維輸出；

u（t）——1維輸入；

e（t）——零均值，方差為的白噪聲序列；

t——離散時(shí)刻；

d——系統(tǒng)的時(shí)滯；

q——后移算子；

A（q-1）、B（q-1）、C（q-1）——多項(xiàng)式。

而

式中：ai、bi、ci——系數(shù)；

na、nb、nc——階數(shù)。

1.2改進(jìn)可克服病態(tài)的遞推最小二乘算法

將文獻(xiàn)［2］的可克服病態(tài)的遞推最小二乘算法應(yīng)用于文中進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，將待估參數(shù)準(zhǔn)則函數(shù)中的待估參數(shù)增量約束項(xiàng)的等權(quán)的加權(quán)因子改進(jìn)為不等權(quán)的時(shí)變的對(duì)角矩陣。

將式（1）寫為

式中：Y（t）——系統(tǒng)的輸出的集合；

U（t-d+1）——系統(tǒng)的輸入的集合；

E（t）——噪聲的集合；

θ——未知參數(shù)；

f（…）——線性函數(shù)。

參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)則函數(shù)

式中：N——離散時(shí)刻；

μ——遺忘因子；

λ1（N）——權(quán)重對(duì)角矩陣；

JN（θ）——參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)則函數(shù)。

［2］的推導(dǎo)，可得如下遺忘因子遞推最小二乘算法

式中：P（N）——參數(shù)估計(jì)誤差協(xié)方差陣；

φ（N）——f（…）關(guān)于θ的梯度；

1.3自校正預(yù)報(bào)顯示算法

文獻(xiàn)［3］的自校正預(yù)報(bào)顯示算法應(yīng)用于文中，給出系統(tǒng)輸出的預(yù)測(cè)序列和預(yù)測(cè)誤差序列為

式（3）中Gj（q-1）和Fj（q-1）由遞推Diophantine方程確定

式中：ngj——階數(shù)。

2　改進(jìn)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法

2.1直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制

文獻(xiàn)［4］的算法應(yīng)用于文中，設(shè)控制器的形式為

式中：η——控制器可調(diào)參數(shù)向量；

Φ（t）——系統(tǒng)輸出和輸入構(gòu)成的集合；

Φr（t）—— 系統(tǒng)輸入?yún)⒖夹盘?hào) r（t｛｝）所形成的序列向量；

η（…）——控制函數(shù)。

系統(tǒng)的輸入和輸出自然是隨η的改變而改變，以y（t，η）和u（t，η）表示系統(tǒng)式（1）受式（5）控制時(shí)的輸出和輸入，要求選擇向量η使如下指標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小化，

式中：V*（η）——指標(biāo)函數(shù)；

E（…）——求均值；

g*（…）——函數(shù)。

則上述問題可結(jié)合Robbins-Monro算法［5］，給出如下自適應(yīng)算法

ρ（t）——收斂因子；

Q（t）——Hessian矩陣。

2.2改進(jìn)的可克服病態(tài)的自適應(yīng)控制算法

式（8）的矩陣有時(shí)出現(xiàn)病態(tài)，導(dǎo)致式（7）、（8）的算法出現(xiàn)病態(tài)，為了使算法能克服病態(tài)，參考文獻(xiàn)［2］的機(jī)理，對(duì)式（6）的指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，在其中加入控制器可調(diào)參數(shù)向量的增量約束項(xiàng)，提出一可克服病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法，其指標(biāo)函數(shù)為

式中：V（η）——指標(biāo)函數(shù)；

g（…）——函數(shù)；

η（t）——時(shí)刻的η。

式中：λ（t）——控制器可調(diào)參數(shù)向量增量約束項(xiàng)的權(quán)重對(duì)角矩陣。

式中：n——η的維數(shù)。

由式（16）得

則改進(jìn)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法為

3　增量型預(yù)測(cè)濾波的PID控制

傳統(tǒng)的增量型濾波PID控制為

式中：r（t）——參考輸入；

H（q-1）、△、S（q-1）——多項(xiàng)式；

H（q-1）=1+h1q-1；

△=1-q-1；

S（q-1）=s0+s1q-1+s2q-2；

h1、s0、s1、s2——可調(diào)參數(shù)。

則η為

由式（12）可知算法無預(yù)測(cè)性能，這里采用系統(tǒng)輸出y（t）的預(yù)測(cè)值（t+d-1/t），代替y（t）給出增量型預(yù)測(cè)濾波PID控制。

式（13）中的預(yù)測(cè)值y^（t+d-1/t）針對(duì)系統(tǒng)式（1）來說其預(yù)報(bào)遲了一步，但實(shí)際的系統(tǒng)一般都是連續(xù)系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)在理論上增加了一步時(shí)滯，所以對(duì)實(shí)際的被控對(duì)象連續(xù)系統(tǒng)不存在遲一步預(yù)報(bào)的問題。

4　梯度和二階導(dǎo)數(shù)矩陣

4.1梯度表達(dá)式

推導(dǎo)可得

式中：T（q-1）——多項(xiàng)式。

式中：T（q-1）=△AHC+q-1SBC；

H、C——H（q-1）、C（q-1）的簡(jiǎn)寫。綜上分析由式（14）和式（15）可得

?y（t+j，η）/?η，（j=1，2，…，d）。由式（1）兩邊對(duì)η求偏導(dǎo)

式（4）兩邊對(duì)η求偏導(dǎo)

4.2二階導(dǎo)數(shù)矩陣表達(dá)式

推導(dǎo)可得

綜上分析由式（18）～（21）可確定

由式（16）兩邊對(duì)ηp（p=1，2，3，4）求偏導(dǎo)得

由式（17）得

5　在線修正參數(shù)的預(yù)測(cè)濾波PID控制

為加快PID參數(shù)收斂的速度，選取

式中：λ——加權(quán)因子；

g1（…）——函數(shù)。

由式（4）和參考文獻(xiàn)［6］的機(jī)理，式（22）的指標(biāo)函數(shù)等價(jià)于如下指標(biāo)函數(shù)

式中：g2（…）——函數(shù)。

將式（23）代入式（10）（11）可得如下自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制

6　仿真研究

被控對(duì)象為

式中:a1=0.4+0.1t/400，

e（t）——隨機(jī)干擾е（t）～N（0，1/10）。系統(tǒng)的參考輸入

輸入的飽和限幅為Umax=0.4。

PID控制的初始參數(shù)為

直接極小化算法中的Q（0）=100I，λ=30收斂因子

參數(shù)估計(jì)的遺忘因子

待估參數(shù)的初始參數(shù)為

采用Matlab 7.0語言編程仿真，圖1為PID控制參數(shù)的修正曲線，圖2為系統(tǒng)響應(yīng)曲線。由圖2a可知，采用無修正的初始參數(shù)控制的響應(yīng)曲線超調(diào)大，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，并且產(chǎn)生振蕩。由圖2b可知，在0≤t＜200時(shí)，因PID控制參數(shù)還沒有收斂到有效值，故響應(yīng)的超調(diào)大，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，在200≤t≤400時(shí)，因PID控制參數(shù)已修正到有效值，故響應(yīng)的超調(diào)小，調(diào)節(jié)時(shí)間短。由圖1可知，參數(shù)在動(dòng)態(tài)時(shí)進(jìn)行修正，在穩(wěn)態(tài)時(shí)停止修正，符合算法的物理性。

圖1　PID控制參數(shù)的修正曲線Fig.1 Modifying curve of control parameter

圖2　系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.2 Response curve of system

7　結(jié)　論

（1）將待估參數(shù)準(zhǔn)則函數(shù)中的待估參數(shù)增量約束項(xiàng)的等權(quán)的加權(quán)因子改進(jìn)為不等權(quán)的時(shí)變的對(duì)角矩陣，提出可克服病態(tài)的遺忘因子遞推最小二乘算法。

（2）在指標(biāo)函數(shù)中加入控制器可調(diào)參數(shù)向量的增量約束項(xiàng)，提出一可克服病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法。

（3）采用系統(tǒng)輸出的預(yù)測(cè)值代替系統(tǒng)輸出值給出增量型預(yù)測(cè)濾波PID控制。

（4）基于可克服病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法和Robbins-Monro算法及增量型預(yù)測(cè)濾波PID控制，給出了CARMAX模型的自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制算法，算法的指標(biāo)函數(shù)中含有系統(tǒng)的輸出預(yù)測(cè)值，使算法具有加快PID控制參數(shù)收斂到有效值速度的性能。

（5）仿真研究表明因所提出的算法具有預(yù)測(cè)控制性能，故具有較好的控制品質(zhì)，且具有柔化控制量變化減少對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)沖擊的性能。

（6）缺點(diǎn)是較文獻(xiàn)［1］的算法對(duì)隨機(jī)干擾的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)要求高，要求隨機(jī)干擾為零均平穩(wěn)具有有理譜密度的隨機(jī)干擾，適用范圍較文獻(xiàn)［1］的算法窄。

（7）進(jìn)一步需研究算法的穩(wěn)定性和算法的收斂性，將算法推廣到多變量情形及非線性系統(tǒng)（雙線性系統(tǒng)，Hammerstein模型，NARMAX模型等）上。

參考文獻(xiàn)：

［1］侯曉秋.直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制［J］.黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，18（1）:47-50.

［2］CHEN YENMING，WU YUNGCHUN.Modified recursive leastsquares agorithm for parameter identification［J］.Int.J.System Sci.，1992，23（2）:187-205.

［3］席裕庚.預(yù)測(cè)控制［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2013:17-23.

［4］LJUNG L，TRULSSON E.Adaptive control based on explicit crirerion minimization［J］.IFAC 81 World Congress，Preprints，1981（7）:1-6.

［5］蕭德云.系統(tǒng)辨識(shí)理論及應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2014:189-192.

［6］韓正之，陳彭年，陳樹中.自適應(yīng)控制［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2014:109-115.

（編輯李德根）

Prognosis-filtering PID control with on-line modifying parameter for CARMAX model

HOU Xiaoqiu
（School of Electrical&Control Engineering，Heilongjiang University of Science&Technology，Harbin 150022，China）

This p aper introduces an algorit hm behind prognosis-filtering PID control——an incremental algorithm with predictive control performance.The algorithm is developed by using the forecast output values of the system instead of the current output values of the system for CARMAX model.The study details parameter estimation of controlled model using the modified recursive least squares algorithm capable of overcoming drawbacks inherent in algorithm；prediction of the system output using the self-tuning prediction explicit algorithm；and the development of an adaptive prognosis-filtering PID control algorithm capable of on-line modification of PID control parameters and faster convergence of PID control parameter for CARMAX Model using the combination of newly developed adaptive control algorithm capable of overcoming drawbacks inherent in algorithm for direct minimization index function and the Robbins-Monro algorithm.Results indicate that the proposed algorithm exhibits the superior predictive control performance and control quality.

adaptive control；predictive control；PID control；parameter estimation；self-tuning prediction

10.3969/j.issn.2095-7262.2015.06.022

TP273

2095-7262（2015）06-0686-06

A

2015-09-16

侯小秋（1965-），男，黑龍江省雙城人，副教授，碩士，研究方向：非線性控制、預(yù)測(cè)控制及自適應(yīng)控制，E-mail：hxq71265@163.com。