張春輝， 汪　玉， 溫肇東， 趙建華

（1.海軍工程大學(xué)動力工程學(xué)院 武漢，430033）（2.海軍裝備研究院 北京，100161）

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被動式Stewart隔沖平臺剛度特性研究*

張春輝1， 汪玉2， 溫肇東2， 趙建華1

（1.海軍工程大學(xué)動力工程學(xué)院 武漢，430033）（2.海軍裝備研究院 北京，100161）

建立了Stewart隔沖平臺的運動微分方程，分析了隔沖平臺三個方向的動態(tài)剛度特性，討論了剛度大小對平臺抗沖擊性能的影響，對隔沖平臺進行了落錘式?jīng)_擊試驗，并與仿真結(jié)果進行了對比。研究結(jié)果表明：被動式Stewart隔沖平臺的三向動態(tài)剛度近似呈線性；隔沖平臺的橫向沖擊隔離率大于縱向沖擊隔離率，縱向沖擊隔離率大于垂向沖擊隔離率；試驗所得的沖擊隔離率達到86.39％以上。研究成果可為Stewart隔沖平臺在船舶設(shè)備抗沖擊中的實際應(yīng)用提供理論和試驗依據(jù)。

Stewart平臺；沖擊隔離；剛度特性；沖擊試驗

引 言

船舶上的導(dǎo)航設(shè)備是通過測量載體相對于慣性空間的角運動和線運動參數(shù)，計算后實施船舶導(dǎo)航任務(wù)的裝置，具有定位精度高、自主性強、提供航行參數(shù)多等優(yōu)點，是保證船舶準確航行的重要設(shè)備［1］。導(dǎo)航設(shè)備的靜動態(tài)力學(xué)性能直接影響著慣性儀表的工作精度，進而影響船舶的導(dǎo)航精度。船舶在水中航行時受到的各個方向的沖擊作用（如水下非接觸爆炸或接觸爆炸產(chǎn)生的多角度沖擊）是影響船舶導(dǎo)航設(shè)備靜動態(tài)力學(xué)性能的主要因素之一［2］。因此，研究高精度導(dǎo)航組件的抗沖擊技術(shù)，設(shè)計出滿足導(dǎo)航精度的抗沖擊隔離系統(tǒng)，對于增強導(dǎo)航組件的抗沖擊性能、提高導(dǎo)航精度和壽命具有重要意義。

六自由度Stewart平臺是一個包含多環(huán)閉鏈結(jié)構(gòu)的復(fù)雜多體系統(tǒng)，具有剛度高、承載能力強、動態(tài)特性好等優(yōu)點［3］，其在飛行器敏感設(shè)備的隔振［4］、并聯(lián)機床［5］、精密定位［6-7］、主動隔振領(lǐng)域［8］的應(yīng)用比較成熟，但在多自由度抗沖擊方面的研究較少。沖擊響應(yīng)屬于瞬態(tài)運動，主動和半主動控制需要一定的反應(yīng)時間和外部能源［9］，目前尚不能較好地應(yīng)用到?jīng)_擊隔離中，而被動隔沖是當(dāng)前最普遍使用的沖擊隔離技術(shù)，其結(jié)構(gòu)簡單，造價低，易于維護，只要選擇合理的彈性元件和阻尼元件就可以達到較好的沖擊隔離效果［10］。筆者以被動式六自由度Stewart隔沖平臺為研究對象，運用矩陣傳遞法建立了Stewart平臺的數(shù)學(xué)模型，分析了隔沖平臺三個方向的動態(tài)剛度特性；以質(zhì)量體模擬被隔離的精密電子設(shè)備，采用落（擺）錘式?jīng)_擊試驗機對隔沖平臺進行了沖擊試驗，并與仿真結(jié)果進行了對比。

1 Stewart隔沖平臺數(shù)學(xué)模型

1.1單個隔沖器特性分析

六自由度Stewart隔沖平臺的簡化結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由基座、6個隔沖器和支撐平臺組成。為了研究Stewart平臺的動力學(xué)特性，取廣義坐標（xA，yA，zA，αA，βA，γA）和（xB，yB，zB，αB，βB，γB）分別表示基座和支撐平臺的運動，如圖2所示。

圖1　Stewart平臺示意圖Fig.1 Stewart platform diagram

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣和卡爾丹角坐標轉(zhuǎn)動原則［11］，可以得到任意一個隔沖器i上下兩端之間的相對位移矢量DiQi在慣性坐標系中的表達式：

圖2　Stewart平臺基本坐標系Fig.2 Stewart platform fundamental coordinate system

其中：RA，RB分別為A/B坐標系中的向量與慣性坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣。

同理，可以得到支撐平臺B關(guān)于慣性坐標系的轉(zhuǎn)動慣量Ji的表達式

其中：Ji0為支撐平臺關(guān)于隨體坐標系的轉(zhuǎn)動慣量。

令慣性坐標系的慣性基為（ex，ey，ez），第i個隔沖器的軸向單位矢量為方向由Qi指向Di。假設(shè)第i個隔沖器的軸向剛度為Ki，阻尼為Ci，則其在慣性坐標系中的3向分解如圖3所示。3個方向的剛度分量表達式如下：

結(jié)合圖2、圖3可以看出，第i個隔沖器在某一時刻對三個坐標軸的力矩分別為

由上式可推得支撐平臺3個方向的總剛度分別為

其中：θx，θy，θz分別是某一時刻支撐平臺繞3個方向的轉(zhuǎn)角。

同理可得支撐平臺3個方向的總阻尼系數(shù)分別為

其中：Cix，Ciy，Ciz分別為第i個隔沖器在慣性坐標系3個方向的阻尼系數(shù)分量；MiCx，MiCy，MiCz分別是第i個隔沖器3個方向的阻尼分力對平臺產(chǎn)生的力矩。

圖3　單個隔沖器剛度的3向分解Fig.3 Three-direction decomposition of single shock isolator

1.2Stewart平臺運動微分方程

選取適當(dāng)?shù)淖鴺讼礏，使其坐標軸與支撐平臺的慣性主軸重合，且保證6個隔沖器的剛度分量方向與慣性坐標系方向相同，則被動式Stewart緩沖平臺的振動微分方程為

其中：［M］為質(zhì)量矩陣，且

其中：m為支撐平臺質(zhì)量；Jxx，Jyy，Jzz分別為支撐平臺關(guān)于x，y，z軸的慣量；

K為剛度矩陣，且

C為阻尼系數(shù)矩陣，且

｛δ｝為上下平臺的相對運動向量，且｛δ｝=（δx，δy，δz，δα，δβ，δγ），令向量AB的單位矢量為eAB，由圖2可以看出，δx=|AB|eAB·ex，δy=|AB|eAB·ey，δz=|AB|eAB·ez。［F（t）］為激勵力組成的矩陣。

2 數(shù)值仿真

2.1Stewart隔沖平臺的動態(tài)剛度仿真

根據(jù)推導(dǎo)的運動微分方程，對被動式Stewart隔沖平臺的動態(tài)剛度進行仿真分析。分析之前，把基座固定，給支撐平臺施加一個垂向位移激勵，使其按照正弦規(guī)律圍繞平臺靜平衡位置作上下往復(fù)運動。平臺的垂向動態(tài)剛度與位移的關(guān)系曲線如圖4所示。從圖中可以看出，隔沖平臺的垂向剛度近似呈線性，但在壓縮階段（0～-0.018 m）和反彈階段（-0.032～-0.015 m）存在非線性特性，這是由于系統(tǒng)的非線性因素致使響應(yīng)發(fā)生了畸變。隔沖平臺的垂向動態(tài)等效剛度為

圖4　隔沖平臺垂向動態(tài)剛度曲線Fig.4 Vertical dynamic stiffness of the shock isolation platform

由式（8）可以計算得到垂向動態(tài)剛度約為370.34（k N/m）。

同理，在x軸橫向和z軸縱向分別施加相同的位移激勵函數(shù)，分析平臺的橫（縱）向動態(tài)剛度，結(jié)果如圖5，6所示。從圖中可以看出，隔沖平臺橫向和縱向動態(tài)剛度近似成線性，橫向動剛度值約為106.445（k N/m），縱向動剛度值約為109.417（k N/m）。橫向與縱向剛度值不同的原因是隔沖器軸向剛度在x軸橫向和z軸縱向的分解量不同，如圖3所示。由此，可以判斷出Stewart平臺的垂向等效剛度大于縱向等效剛度，縱向等效剛度大于橫向等效剛度。

圖5　隔沖平臺橫向動態(tài)剛度曲線Fig.5 Horizontal dynamic stiffness of the shock isolation platform

圖6　隔沖平臺縱向動態(tài)剛度曲線Fig.6 Longitudinal dynamic stiffness of the shock isolation platform

2.2隔沖器剛度大小對平臺抗沖擊性能的影響

為了深入研究單個隔沖器的剛度對平臺抗沖擊性能的影響，分別計算了在不同剛度值下被隔離設(shè)備在3個方向的沖擊響應(yīng)，分析剛度對沖擊響應(yīng)幅值的影響。用50 kg的質(zhì)量體模擬被隔離設(shè)備，對于沖擊激勵，按照德國軍標BV043-85推薦的正負雙半正弦時域信號對模型基礎(chǔ)施加沖擊輸入，即：

相應(yīng)的載荷譜值分別為：加速度譜值A(chǔ)=100 g，速度譜值V=4.2 m/s，位移譜值d=0.04 m。

由于3個方向的剛度均近似為線性剛度，以垂向沖擊為例，不同剛度下被隔離設(shè)備的垂向沖擊響應(yīng)曲線如圖7，8所示。從圖中可以看出，在沖擊載荷作用下，設(shè)備的響應(yīng)幅值均發(fā)生在第2個峰值處，且剛度越大，設(shè)備的響應(yīng)越早達到峰值。加速度響應(yīng)幅值隨著剛度的增大而增大，相對位移幅值隨著剛度的增大而減小。

圖7　不同剛度下垂向沖擊加速度響應(yīng)曲線Fig.7 Vertical shock acceleration vs.isolator stiffness

圖8　不同剛度下垂向沖擊相對位移響應(yīng)曲線Fig.8 Vertical shock relative displacement vs. isolator stiffness

沖擊響應(yīng)過程中，一般用沖擊隔離率來表示隔離器的隔沖效果，其值越大，表示隔離器的沖擊隔離作用越好。沖擊隔離率η計算公式為

其中：Amax1為基礎(chǔ)加速度幅值；Amax2為設(shè)備加速度響應(yīng)幅值。

不同剛度下Stewart隔沖平臺3向沖擊隔離率和相對位移幅值曲線如圖9，10所示。從圖9看出，隔沖平臺3個方向的沖擊隔離率隨著剛度的增大而減小，橫向沖擊隔離率最高，縱向隔離率次之，垂向隔離率最小，主要原因是隔沖平臺的垂向動態(tài)等效剛度大于縱向動態(tài)等效剛度，縱向動態(tài)等效剛度大于橫向動態(tài)剛度，即剛度越大，沖擊隔離率越小。從圖10看出，被隔離設(shè)備與基礎(chǔ)的相對位移幅值隨著剛度增大而減小，且剛度越大，相對位移幅值的減小幅度越??；垂向相對位移幅值大于橫向和縱向相對位移幅值，這主要是因為與垂向沖擊相比，橫向和縱向沖擊時，Stewart平臺發(fā)生了較大的轉(zhuǎn)動。

圖9　不同剛度下平臺的3向沖擊隔離率Fig.9 Three-direction shock isolation rate vs. isolator stiffness

圖10　不同剛度下平臺的3向相對位移幅值Fig.10 Three-direction relative displacement vs. isolator stiffness

3 Stewart隔沖平臺沖擊試驗及對比分析

為了研究Stewart隔沖平臺在船舶精密電子設(shè)備抗沖擊領(lǐng)域中的可行性，驗證仿真模型的準確性，研制了一臺試驗樣機，并用落（擺）錘式輕型沖擊機對其進行了沖擊試驗，根據(jù)GJB150.18-86確定試驗工況，具體如表1所示。試驗過程中采用一臺杭州Econ AVANT MI-7018采集儀（序列號155255813）、一臺B&K 2692電荷放大器（序列號1503807）和4個B&K 4384V傳感器測量被隔離設(shè)備和基礎(chǔ)的加速度信號，具體的沖擊測試狀態(tài)如圖11，12和表2所示。以垂向沖擊為例，將試驗測量的基礎(chǔ)加速度信號作為仿真模型基礎(chǔ)的輸入信號，計算隔沖平臺上被隔離設(shè)備的沖擊響應(yīng)，并與試驗結(jié)果對比。仿真和試驗測量的加速度時域曲線如圖13～15所示。

表1　沖擊試驗工況Tab.1 Shock test plan

圖11　試驗臺結(jié)構(gòu)簡圖Fig.11 Test structure diagram

圖12　沖擊試驗照片F(xiàn)ig.12 Photo of impact experiment

表2　沖擊測試狀態(tài)參數(shù)Tab.2 Shock testing parameters

圖13　0.3 m時被隔離設(shè)備的加速度響應(yīng)曲線Fig.13 Acceleration curve of the protection equipment on 0.3 m

圖14　0.9 m時被隔離設(shè)備的加速度響應(yīng)曲線Fig.14 Acceleration curve of the protection equipment on 0.9 m

圖15　1.5 m時被隔離設(shè)備的加速度響應(yīng)曲線Fig.15 Acceleration curve of the protection equipment on 1.5 m

從圖13～15可以看出，仿真得到的響應(yīng)曲線與試驗所得曲線變化趨勢整體相似，加速度峰值相近，但仿真所得曲線比較光滑，沒有毛刺，且響應(yīng)相對滯后，這主要是由復(fù)雜的試驗環(huán)境和50 Hz的工頻干擾造成的。進一步做統(tǒng)計分析，可以得到仿真和試驗的沖擊隔離率對比（表3）。從表中可以看出，試驗效果比較理想，試驗的沖擊隔離率達到86.39％以上；仿真結(jié)果與試驗結(jié)果相比誤差較小，沖擊隔離率誤差在3.50％以內(nèi)。

表3　仿真與試驗的沖擊隔離率對比表Tab.3 Shock isolation rate comparison of simulation and test

4 結(jié)束語

文中以被動式六自由度Stewart隔沖平臺為研究對象，建立了Stewart隔沖平臺的運動微分方程，分析了隔沖平臺三個方向的動態(tài)剛度特性，討論了隔沖器剛度大小對隔沖平臺抗沖擊性能的影響，結(jié)果表明：隔沖平臺三個方向的剛度近似成線性，且垂向剛度最大，縱向剛度次之，橫向剛度最??；與之相反，隔沖平臺的橫向沖擊隔離率大于縱向沖擊隔離率，縱向沖擊隔離率大于垂向沖擊隔離率。為驗證仿真結(jié)果，對隔沖平臺進行了落（擺）錘式?jīng)_擊試驗，通過對比發(fā)現(xiàn)：Stewart平臺隔沖效果比較明顯，試驗沖擊隔離率達到86.39％以上；試驗結(jié)果與仿真結(jié)果比較接近，沖擊隔離率誤差在3.50％以內(nèi)。研究結(jié)果可為Stewart隔沖平臺在船舶設(shè)備抗沖擊中的實際應(yīng)用提供理論和試驗參考。

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O322

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.011

張春輝，男，1988年2月生，博士生。主要研究方向為船舶設(shè)備的振動、沖擊防護。曾發(fā)表《平方阻尼在沖擊隔離中的特性與作用研究》（《船舶力學(xué)》2014年第7期）等論文。

E-mail：502773429@qq.com

*國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（“九七三”計劃）資助項目（613157010102）；“十二五”預(yù)研基金資助項目（4010304030202）

2014-08-04；

2014-09-24