杜 麗，鄭從志，邊志遠(yuǎn)，趙旭綜，王 偉

（電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，成都 611731）

“S”形精度檢驗(yàn)試件的簡(jiǎn)化重構(gòu)與優(yōu)化研究*

杜 麗，鄭從志，邊志遠(yuǎn)，趙旭綜，王 偉

（電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，成都 611731）

“S”形精度檢驗(yàn)試件作為一種新的五軸數(shù)控機(jī)床精度檢驗(yàn)試件，目前已得到一定的推廣，但根據(jù)ISO標(biāo)準(zhǔn)提出的試件通用、簡(jiǎn)化及工程化要求，仍需進(jìn)一步完善S試件的構(gòu)型。研究了基于三次均勻B樣條插值簡(jiǎn)化“S”形檢驗(yàn)試件的方法，通過(guò)重新調(diào)整控制點(diǎn)重構(gòu)“S”形檢驗(yàn)試件，并對(duì)簡(jiǎn)化前后的“S”形檢驗(yàn)試件的典型特征，如開(kāi)閉角、扭曲角、曲率及連續(xù)性等進(jìn)行了對(duì)比分析，通過(guò)UG軟件進(jìn)行了加工編程，計(jì)算和對(duì)比了加工新舊“S”形檢驗(yàn)試件的理想速度、加速度，證明了新“S”形檢驗(yàn)試件的可行性，為“S”形檢驗(yàn)試件的標(biāo)準(zhǔn)化推廣提供了依據(jù)，有助于全面了解“S”形檢驗(yàn)試件的幾何和加工特性。

“S”形檢驗(yàn)試件；插值逼近；重構(gòu)與優(yōu)化；開(kāi)閉角；扭曲角

0 引言

隨著制造業(yè)的發(fā)展，人們對(duì)數(shù)控機(jī)床的要求越來(lái)越高，數(shù)控機(jī)床也正朝著高速高精度的方向發(fā)展［1］，因此對(duì)數(shù)控機(jī)床加工性能檢驗(yàn)也越來(lái)越重要。目前國(guó)際上比較有名的機(jī)床檢驗(yàn)試件，如美國(guó)的NAS979檢驗(yàn)試件［2］、日本的四角錐臺(tái)檢驗(yàn)試件［3-4］和德國(guó)的梅賽德斯檢驗(yàn)試件等，僅能檢驗(yàn)機(jī)床靜止或低速狀態(tài)下的各項(xiàng)精度，對(duì)于機(jī)床在高速工作狀態(tài)下的檢測(cè)無(wú)能為力。由中航工業(yè)成都飛機(jī)工業(yè)公司提出的“S”形檢驗(yàn)試件［5］能在一定程度上實(shí)現(xiàn)對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床的動(dòng)態(tài)加工性能檢測(cè)，在機(jī)床行業(yè)引起了強(qiáng)烈反響。

“S”形檢驗(yàn)試件（以下簡(jiǎn)稱S試件）作為一種新的機(jī)床檢驗(yàn)試件，目前相關(guān)公開(kāi)的研究還比較少。文獻(xiàn)［6］分析了不同參數(shù)對(duì)于S試件動(dòng)態(tài)跟隨誤差的影響，揭示了進(jìn)給伺服參數(shù)對(duì)S試件輪廓誤差的影響規(guī)律；文獻(xiàn)［7］運(yùn)用有限元軟件ANSYS對(duì)S試件靜態(tài)變形、法向剛度及模態(tài)參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，并通過(guò)敲擊實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模態(tài)分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)［8］研究了基于S試件的機(jī)床誤差的溯源方法；文獻(xiàn)［9］對(duì)S試件型面誤差的可視化技術(shù)進(jìn)行了研究。

上述研究從不同方面對(duì)S試件進(jìn)行了研究，但從ISO標(biāo)準(zhǔn)化的試件通用、簡(jiǎn)單和工程化等方面考慮，仍需開(kāi)展對(duì)S試件模型的簡(jiǎn)化重構(gòu)和優(yōu)化等方面研究，以加快S試件國(guó)際化標(biāo)準(zhǔn)的步伐，因此開(kāi)展對(duì)S試件的造型與簡(jiǎn)化重構(gòu)分析研究具有重要的實(shí)際意義。本文重點(diǎn)對(duì)S試件上下樣條曲線造型原理、上下樣條曲線插值以及通過(guò)調(diào)整控制點(diǎn)重構(gòu)上下樣條曲線進(jìn)行了研究，為S試件的簡(jiǎn)化重構(gòu)提供理論參考。

1 S試件上下基線生成原理分析

1.1 三次均勻B樣條插值算法

B樣條的概念最初由Schoenberg于40年代中提出來(lái)的［10］，如今已得到很大的發(fā)展。中國(guó)發(fā)明專利CN200710048269.7指出S試件直紋面的上下兩條基線通過(guò)給定的各50個(gè)型值點(diǎn)采用3次均勻B樣條曲線構(gòu)建［2］。

B樣條的數(shù)學(xué)表述式如下所示：

式（1）中Pi（i=0，1，···，n），是B樣條曲線的控制點(diǎn)，將各控制點(diǎn)連接起來(lái)就可以得到曲線的控制多邊形。Ni，m（u）是樣條曲線基函數(shù)，m表示樣條曲線的次數(shù)，基函數(shù)是B樣條曲線的核心部分，其遞推公式就是通過(guò)基函數(shù)實(shí)現(xiàn)的。u是節(jié)點(diǎn)序列。

采用德布爾遞推算法可建立B樣條曲線，B樣條基函數(shù)的德布爾遞推公式如下所示：

式（2）中：

（u0，…，um-1，um，…，un，un+1，…，un+m-1，un+m）是B樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量。

由公式（2）可知高次B樣條基函數(shù)是兩個(gè)比其低一階的B樣條基函數(shù)的線性組合，也就是說(shuō)Ni，m（u）可以通過(guò)Ni，m-1（u）和Ni+1，m-1（u）遞推得到。而且在推導(dǎo)過(guò)程中涉及到 m+2個(gè)節(jié)點(diǎn)，即：ui，ui+1，…，ui+m+1，這些節(jié)點(diǎn)向量組成了B樣條基函數(shù)的支撐區(qū)間［ui，ui+m+1］，通過(guò)公式（2）就可以推導(dǎo)出三次B樣條曲線的基函數(shù)表達(dá)式：

1.2 插值邊界條件分析

通過(guò)三次均勻B樣條插值，人們雖然可以得到一條均勻三次B樣條曲線，但一般情況下生成的三次B樣條曲線段的兩端既不在控制多邊形的邊上，更不通過(guò)首、末頂點(diǎn)。實(shí)際上人們總希望所設(shè)計(jì)的曲線在給定點(diǎn)起始或終止，且具有確定的切線方向，還要求滿足邊界插值條件，工程上一般采用四重節(jié)點(diǎn)進(jìn)行邊界控制［11］，S試件上下樣條曲線的邊界控制亦是如此。由式（1）和式（3）可推導(dǎo)出四重節(jié)點(diǎn)時(shí)三次B樣條曲線各段的基函數(shù)表達(dá)式，這里不再詳述。

1.3 型值點(diǎn)求解控制點(diǎn)算法

在實(shí)際工程中，人們往往只已知型值點(diǎn)，而控制點(diǎn)未知，S試件亦是如此，它只定義了上下樣條曲線各通過(guò)的50個(gè)型值點(diǎn)，這便需要我們分析型值點(diǎn)和控制點(diǎn)間的關(guān)系。為方便起見(jiàn)，記Qi（0）為Qi（第i個(gè)型值點(diǎn)），當(dāng)采用四重節(jié)點(diǎn)且三次B樣條曲線段數(shù)不少于5段時(shí)，有式（5）成立

在方程組（4）中，方程數(shù)為n（型值點(diǎn)數(shù)量為n），欲求的控制點(diǎn)數(shù)為n+2，故要對(duì)方程組求解還需再加上兩個(gè)條件。與三次樣條函數(shù)插值類似，我們補(bǔ)充兩個(gè)端點(diǎn)條件。設(shè)首末端切向量為已知，令：

聯(lián)立式（4）、（5）和（6）即可由已知的n個(gè)型值點(diǎn)求出給定切向量和自由端條件下的n+2個(gè)控制點(diǎn)，其中S件上下樣條曲線插值采用自由端條件。將上述推導(dǎo)條件和公式在Matlab中編寫相應(yīng)的算法，即可繪制出S件的上下兩條樣條曲線，如圖1所示，其中圖中紅圈為上下50個(gè)型值點(diǎn)。在三維造型軟件中通過(guò)上下兩條樣條曲線掃掠生成直紋面，再將直紋面法向加厚8mm，加上基座，便可構(gòu)造出S形檢驗(yàn)試件三維模型，如圖2所示。

圖1 S試件上、下基線

圖2 S試件三維模型

2 S件上下基線簡(jiǎn)化重構(gòu)

2.1 控制點(diǎn)初步調(diào)整

由文獻(xiàn)［7］知，由于構(gòu)造S試件的型值點(diǎn)數(shù)據(jù)存在X方向不單調(diào)，故通過(guò)簡(jiǎn)單的插值方法構(gòu)造的S曲線都易產(chǎn)生震蕩，因此本文將通過(guò)從控制點(diǎn)入手，通過(guò)調(diào)節(jié)控制點(diǎn)，用盡可能少的控制點(diǎn)去逼近原來(lái)的三次B樣條基線。在UG中經(jīng)過(guò)反復(fù)調(diào)整控制點(diǎn)，最終將控制點(diǎn)數(shù)量減少到最少，即8個(gè)，圖3是下基線初步調(diào)整結(jié)果。

圖3 8個(gè)控制點(diǎn)下S基線

圖3中依次為8個(gè)控制點(diǎn)及其控制多邊形和兩條S曲線，整體上看原S曲線與新生成曲線基本重合，實(shí)線為原S試件下基線，虛線為新生成的S試件下基線。圖4為其局部放大圖。由圖4知，放大后，兩條S曲線間并不重合，而是存在細(xì)微的間隙。

圖4 S件下基線逼近局部放大

2.2 控制點(diǎn)調(diào)整優(yōu)化算法

由2.1知，通過(guò)不斷調(diào)整控制點(diǎn)，我們可以得到一條非常逼近與原S曲線的新S曲線，但無(wú)法對(duì)得到的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，更無(wú)法證明結(jié)果的優(yōu)越性，針對(duì)此問(wèn)題，需建立一個(gè)正確的評(píng)價(jià)方法。本節(jié)以點(diǎn)到參數(shù)曲線的最小距離和為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，即在新生成的S曲線上等弧長(zhǎng)取500個(gè)采樣點(diǎn)，計(jì)算每個(gè)采樣點(diǎn)到對(duì)應(yīng)原S曲線最小距離并求和。

當(dāng)對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整時(shí)，由于要保證新S曲線與原S曲線首末端保持重合，故只對(duì)中間的6個(gè)控制進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整時(shí)從左至右依次對(duì)相鄰的控制點(diǎn)進(jìn)行移動(dòng)。先以一定的步長(zhǎng)t沿X軸方向移動(dòng)，反復(fù)比較得到最小距離和sum｛min（di）｝條件下該點(diǎn)最優(yōu)X軸坐標(biāo)，其中i=1，2，3，…，500；再以相同的步長(zhǎng)沿Y軸方向移動(dòng)，反復(fù)比較得到最小距離和sum｛min（di）｝條件下該點(diǎn)最優(yōu)Y軸坐標(biāo)，由此反復(fù)循環(huán)便可以得到一定步長(zhǎng)t下，最小距離和sum｛min（di）｝最小時(shí)各個(gè)控制點(diǎn)的最優(yōu)坐標(biāo)。以單個(gè)控制點(diǎn)X方向坐標(biāo)調(diào)整為例，其調(diào)整算法流程圖如圖5所示。

圖5 X坐標(biāo)調(diào)整流程圖

表1是下基線調(diào)整前后8個(gè)控制點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，第一組為初始時(shí)8個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)，其中：

第二組為步長(zhǎng)t=0.5mm時(shí)調(diào)整后的8個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)，其中：

第三組為將第二組的8個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)按四舍五入法則全部圓整為整數(shù)，在步長(zhǎng)t=1mm條件下調(diào)整后的8個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)，其中：

易知，初步調(diào)整后，總間隙減小了近25%，最大間隙也有所減小。圓整前后宏觀上變化不大，細(xì)微之處需進(jìn)一步比較分析。

表1 三組控制點(diǎn)坐標(biāo)

3 三種S件特性對(duì)比分析

從第2節(jié)的分析中我們知道，通過(guò)直接調(diào)整控制點(diǎn)逼近原S試件基線取得了較為滿意的結(jié)果，然而仍無(wú)法證明通過(guò)逼近后生成的S曲線構(gòu)造的新S試件能否滿足原有的檢測(cè)要求，因此需將新構(gòu)造的S試件與原S試件的各項(xiàng)典型特性進(jìn)行比較。為方便敘述，我們將原S試件編號(hào)為S0，步長(zhǎng)t為0.5時(shí)，通過(guò)調(diào)整算法得到的第一組坐標(biāo)生成的S試件為S1，將第一組坐標(biāo)圓整后重新調(diào)整生成的S試件為S2。本節(jié)將從S試件的幾何特性和加工特性兩個(gè)方向?qū)ι鲜鋈NS試件進(jìn)行對(duì)比分析。

3.1 幾何特性對(duì)比分析

3.1.1 扭曲角對(duì)比分析

扭曲角是直紋面的典型特征之一，扭曲角的存在使刀具無(wú)法貼合加工表面，加工時(shí)易產(chǎn)生刀痕或過(guò)切，嚴(yán)重時(shí)直接導(dǎo)致零件報(bào)廢，因此要求機(jī)床有較高的聯(lián)動(dòng)精度以反映實(shí)際的加工工況。圖6是三種S試件的扭曲角分布圖。由圖6可知，S2的扭曲角分布從幅值和趨勢(shì)分布上都較S1更加接近S0，其中最大扭曲角γ0=6.651°，γ1=8.391°，γ2=7.078°。另外S0的扭曲角變化近似左右對(duì)稱，而S2的扭曲角分布左右不對(duì)稱，變化更加多樣，加工時(shí)刀軸矢量變化更加多樣。

圖6 三種S件扭曲角分布

3.1.2 開(kāi)閉角對(duì)比分析

開(kāi)閉角主要反映刀具的空間姿態(tài)，S試件典型幾何特征之一。設(shè)待加工曲面的法向向量和底座平面的法向向量之間的夾角為α，當(dāng)夾角大于90度，定義為開(kāi)角，小于90度，定義為閉角。圖7是三種S試件開(kāi)閉角分布情況，由圖7知，三種S試件的開(kāi)閉角分布非常接近，并無(wú)太大區(qū)別，說(shuō)明在開(kāi)閉角特性上三種試件已無(wú)太大差別。

圖7 開(kāi)閉角分布

3.1.3 曲線曲面連續(xù)性對(duì)比分析

對(duì)于復(fù)雜曲面加工，曲率的非均勻變化將直接引起加工過(guò)程中銑削力的變化，引起刀具和零件的振動(dòng)，破壞機(jī)床的穩(wěn)定性。圖8是依據(jù)曲率公式計(jì)算后得到的三種S試件下基線的曲率分布圖。由圖8知，在曲率分布上，圓整前后曲率并沒(méi)有發(fā)生太大的變化，只是在峰值上有所微調(diào)，整體趨勢(shì)與S0大致相同，局部峰值大于S0，達(dá)到了很好的逼近效果。

圖8 下基線曲率分布

曲面連續(xù)性是S試件分析的一項(xiàng)重要特性。通過(guò)斑馬線，可以檢測(cè)S試件的G0-G2連續(xù)特性。圖9分別是S0、S1和S2的斑馬線檢測(cè)結(jié)果。由圖9可知，三種試件的G1、G2連續(xù)性分布基本一致，逼近效果非常好。

圖9 三種S試件曲面連續(xù)性分析

3.2 加工特性對(duì)比分析

根據(jù)加工后置指令可以計(jì)算各軸的理想速度和加速度。假定進(jìn)給速度Vf恒定，每段插補(bǔ)當(dāng)量位移：

則每段插補(bǔ)時(shí)間△t=△s/Vf。對(duì)于五軸數(shù)控機(jī)床，其各個(gè)軸是聯(lián)動(dòng)的，因此其各軸增量（△x，△y，△z，△α，△γ）都應(yīng)該在相應(yīng)的△t內(nèi)完成，故將各軸每段增量對(duì)時(shí)間△t微分便可得到各軸每段理想速度Vi，（i=1，2，…，5），再次對(duì)時(shí)間△t微分便可得到各軸每段理想加速度ai，（i=1，2，…，5）。取Vf=40mm/s，以轉(zhuǎn)動(dòng)軸C軸為例，圖10是其理想速度，圖11是其理想加速度。由圖10和圖11知，三種S試件的C軸的速度和加速度變化趨勢(shì)基本保持一致，局部有微小變動(dòng)，加速度在峰值上變化最大，新S試件在速度、加速度上很好地跟隨了原S試件的速度、加速度變化。同時(shí)新S試件在速度和加速度上出現(xiàn)了更多的微小波動(dòng)，對(duì)機(jī)床的加減速性能提出了更高的要求。

圖10 C軸理想速度分布

圖11 C軸理想加速度分布

4 結(jié)束語(yǔ)

S試件作為一種五軸機(jī)床精度檢驗(yàn)試件，目前已在國(guó)內(nèi)獲得實(shí)際應(yīng)用，并且正在加快其國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的步伐。本文針對(duì)ISO標(biāo)準(zhǔn)化的要求，對(duì)S試件進(jìn)行了簡(jiǎn)化重構(gòu)研究，通過(guò)對(duì)S試件構(gòu)造原理的分析，進(jìn)行了S試件上下基線的插值重構(gòu)。通過(guò)從控制點(diǎn)入手，實(shí)現(xiàn)了以最少點(diǎn)位重構(gòu)S試件，將得到的新S試件控制點(diǎn)進(jìn)行了圓整優(yōu)化，并且對(duì)新舊三種S試件各項(xiàng)特性參數(shù)的進(jìn)行了分析對(duì)比，證明了新S試件的可行性，且圓整后的S試件更加接近原S試件，實(shí)現(xiàn)了對(duì)S試件的簡(jiǎn)化重構(gòu)，對(duì)S試件的進(jìn)一步研究和推廣具有重要意義。

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（編輯 趙蓉）

Research on Reconstruction and optimization of The“S”Shaped Test Piece

DU Li，ZHENG Cong-zhi，BIAN Zhi-yuan，ZHAO Xu-dong，WANGWei
（School of Mechatronics Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China）

As a new five-axis CNC machine precision test specimen，＂S＂shaped test piece has been promoted，but according to the requirement of ISO standards，deficiencies still existed.The paper studied the reconstruction of S shaped test piece by cubic B-spline interpolation，focused on re-adjusting the control points to approach and reconstruct the S shaped test piece，and made a comparative analysis on the typical characteristics of S shaped test piece，such as open-close angle，twist angle，curvature and so on，By UG software，the processing program was made，and the post command was got.Through the post command，the desired speed and acceleration of processing S shaped test piece were calculated and compared，the feasibility of the new S shaped test piece was proved，which helped us know the S shaped test piece comprehensively.

S shaped test piece；interpolation and approximation；reconstruction and optimization；open close angle；twist angle

TH161；TG506

A

1001-2265（2015）04-0005-05 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.04.002

2014-06-28；

2014-08-04

國(guó)家科技重大專項(xiàng)（2014ZX04014-031）

杜麗（1970—），女，四川成都人，電子科技大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)橄冗M(jìn)制造技術(shù)，精密機(jī)床精度檢測(cè)；通訊作者：鄭從志（1988—），男，湖南耒陽(yáng)人，電子科技大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)床精度檢測(cè)，（E-mail）fxz_7@foxmail.com。