饒 柯 李 熠

分支理論研究修正耦合KdV方程的行波解

饒 柯 李 熠

現(xiàn)代科學(xué)中有許多非線性現(xiàn)象，例如流體力學(xué)中的非線性波動(dòng)，海洋中的突發(fā)海嘯，這些現(xiàn)象大多可以借助非線性發(fā)展方程來(lái)很好的描述。1895年荷蘭數(shù)學(xué)家克特韋格和德弗里斯從流力學(xué)的研究建立了描述淺水波的模型——KdV方程。為了更好的描述水波的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，在本章中我們將研究耦合KdV方程，可以描述分層流體內(nèi)部波之間的近共振相互作用，我們將利用分支理論的方法給出其常微分系統(tǒng)的形式，畫出軌線圖，分析解的類型，得到耦合KdV方程的解析解。

修正的耦合KdV方程

在淺水波模型中水波的傳播一般由KdV方程來(lái)描述，但是在某些特定物理?xiàng)l件下，如在不同的水波分層中，其引起的雙折射會(huì)使得水波的偏振量出現(xiàn)不同的群速度從而可能導(dǎo)致水波的展寬甚至分裂，因此如何描述這種分層流體內(nèi)部之間的近共振相互作用，如何找到一種較好的解決方式，這都是我們要考慮的問(wèn)題。在這種情況下，研究模型就變?yōu)轳詈螷dV方程，它在研究水波內(nèi)部分層之間相互作用方面有著重要的應(yīng)用。目前已經(jīng)有很多文獻(xiàn)研究了耦合KdV方程的解析解。1981年，Hirota提出下列耦合KdV方程用來(lái)描述水波之間的相互作用

這里α、β和b都是常數(shù)。Liu運(yùn)用奇次平衡法，給定一個(gè)特定的表達(dá)式，借助符號(hào)運(yùn)算，得到一系列的周期解和孤子解。在本章中，我們將考慮一個(gè)如下形式的耦合KdV方程

其中u 和v 分別是表示空間變量x 和時(shí)間變量t的函數(shù)，β是實(shí)數(shù)。通過(guò)分支理論的方法和定性分析，我們得到了新的解析解，包括尖端解，孤子解和橢圓函數(shù)周期解，同時(shí)得到新的拓展的橢圓函數(shù)解。

本文內(nèi)容安排如下：我們首先給出方程（2）的常微分系統(tǒng)形式，并通過(guò)分支理論的方法得到六組不同的方程的軌線圖。得到了同宿軌、異宿軌和周期閉軌，基于軌線圖，我們將求解出方程解的具體形式。

耦合KdV方程的解析解

關(guān)于ξ對(duì)方程（4）積分一次，我們得到

這里c1是積分常數(shù)。

然后將（5）式代入（4）式，并且關(guān)于ξ積分一次，我們得到

通過(guò)合適的參數(shù)變換，可以把積分常數(shù)c2化簡(jiǎn)。

對(duì)系統(tǒng)經(jīng)行首次積分我們得到

這里h是積分常數(shù)?，F(xiàn)在我們討論系統(tǒng)（7）的軌線圖。

令M（ x0，y0）是系統(tǒng)（7）在平衡

點(diǎn)（x0，y0）和J（ x0，y0）近似矩陣的雅克比系數(shù)矩陣。顯然，在（x， y）平面上，系統(tǒng)（7）的平衡點(diǎn)的橫坐標(biāo)的零解方程是設(shè)）是系統(tǒng)（7）的平衡點(diǎn)之一。從平面系統(tǒng)的分支理論我們可以得到，如果J（ x?，0）＞0，那么平衡點(diǎn)（x?，0）可以判別為中心點(diǎn)；如果J（ x?，0）＜0，那么平衡點(diǎn)（x?，0）的類型為鞍點(diǎn)。根據(jù)以上的判斷，我們可以得到系統(tǒng)（7）的以下結(jié)論：

（1）如果q2＞4q ，p≠0且q＜0，如圖一所示，平面系統(tǒng)（7）有兩個(gè)鞍點(diǎn)和一個(gè)中心點(diǎn)系統(tǒng)存在兩條異宿軌鏈接著兩個(gè)鞍點(diǎn)，和一個(gè)周期閉軌圍繞著中心點(diǎn)（0，0），通過(guò)軌線圖我們可以知道方程（2）有一組扭結(jié)型或者是反扭結(jié)型的孤子解和一組橢圓函數(shù)周期解。

（2）如果q2＞4q ，p=0且q＜0，如圖2所示，我們可以得到系統(tǒng)（7）有兩個(gè)鞍（±-q，0）點(diǎn)和一個(gè)中心點(diǎn)（0，0）。通過(guò)軌線圖我們可以知道這就意味著方程（2）存在著一組扭結(jié)型或者是反扭結(jié)型的孤子解和一組橢圓函數(shù)周期解。

（3）如果q2＞4q 且q＞0，如圖3所示，系統(tǒng)（7）存在兩個(gè)中心點(diǎn)）和一個(gè)鞍點(diǎn)（0，0）。系統(tǒng)存在兩條同宿軌連接著鞍點(diǎn)O（0，0），和兩條周期閉軌圍繞著兩個(gè)中心點(diǎn)，通過(guò)軌線圖我們可以知道這就代表方程（2）存在兩組沖擊波類型的孤子解和三組橢圓函數(shù)周期解。

（4）如果q2＞4q 且q=0，如圖4所示，系統(tǒng)（7）只有兩個(gè)平衡點(diǎn)O（0，0）和通過(guò)分支理論和定性分析我們可以得到點(diǎn)O 和點(diǎn)P分別是鞍點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)。這就意味著方程存在著沖擊波類型的孤子解和扭結(jié)型的孤子解。

（5） 如果q2=4q，如圖5所示，系統(tǒng)（7）有兩個(gè)平衡點(diǎn)O（0，0）和通過(guò)分支理論和定性分析我們可以得到點(diǎn)P 和點(diǎn)O分別是鞍點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)。同上一個(gè)情況一樣，意味著方程存在著沖擊波類型的孤子解和扭結(jié)型的孤子解。

（6） 如果q2＜4q，如圖6所示，系統(tǒng)（7）只有一個(gè)平衡點(diǎn)O（0，0），通過(guò)軌線圖我們可以知道這代表方程只存在一組孤子解。

接下來(lái)，我們將會(huì)根據(jù)上述討論的結(jié)果，通過(guò)平面系統(tǒng)（7）的首次積分和橢圓函數(shù)方法來(lái)求得方程（2）的解析解。

（1）尖端解

當(dāng)h=0，p2＞4q 且q=0時(shí)，我們可以從圖4中看到，軌線圖中存在一個(gè)異宿軌連接著鞍

完全積分且對(duì)x進(jìn)行求解，我們可以的到尖端解的表達(dá)式如下所示：

當(dāng)h=0且p2=4q 時(shí)，我們從圖5中可以得知，同樣存在一條異宿軌連接著鞍點(diǎn)）和尖端點(diǎn)O（0，0）。那么在（x， y）平面上我們可以得到其表達(dá)式為：

（2）沖擊波類型的孤子解

當(dāng)h=g ，q2＞4q 且q＜0時(shí)，我們可以從圖一和圖二中得知，軌線圖上有兩條異宿軌連接著兩個(gè)鞍點(diǎn)和一組周期閉軌圍繞著中心點(diǎn)O（0，0）。那么在（x， y）平面上我們可以得到其表達(dá)式為：

從而我們得到?jīng)_擊波類型的孤子解u（ x， y ）和v（ x， y）分別如下所示：

當(dāng)h=0，q2＞4q 且q＞0時(shí)，我們可以從圖三中看到軌線圖中存在一組對(duì)稱的同宿軌線連接著鞍點(diǎn)O 。那么在（x， y）平面上我們可以得到同宿軌的表達(dá)式為：

接著求得x 的表達(dá)式

如圖4所示，當(dāng)h=0、p2＜4q 且c2=0時(shí)，方程等價(jià)于：

圖1　

圖2　

圖3　

圖4　

圖5　

圖6　

（3）橢圓函數(shù)周期解

當(dāng)h∈（0，g ），我們從圖一中可以看到，系統(tǒng)（7）存在一組周期閉軌。那么在（x， y）平面上我們可以得到這組周期解的表達(dá)式為：

這里

從（23）式中得

又因?yàn)閤=x（ξ）和ξ=kx-ct，我們得到關(guān)于耦合KdV方程的一組周期解：

當(dāng)h∈（-g ，0）時(shí)，我們從圖三中可以看到軌線圖中系統(tǒng)（7）的同宿軌中存在著兩組周期

的閉軌。那么在（x， y）平面上我們可以得到這組閉軌的表達(dá)式為：

這里ν1h和ν2h和由上式所給出的ρ1h和ρ2h一樣。

由上式我們可以得到

又因?yàn)閤=x（ξ）和ξ=kx-ct ，我們得到一組周期解：

當(dāng)h＞0時(shí)，我們從圖三可以看到在同宿軌線的最外層有一組閉合的周期軌線，那么

在（x， y）平面上我們可以得到這組周期解的表達(dá)式為：

結(jié)合上式，我們得到

因此我們得到一組橢圓函數(shù)周期解

結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用分支理論的方法和軌線圖對(duì)修正的耦合KdV方程進(jìn)行討論。在不同的參數(shù)下，討論了六種情形的軌線圖，基于軌線圖的性質(zhì)，運(yùn)用橢圓函數(shù)展開的方法，我們得到了相應(yīng)的解——尖端解、沖擊波解和周期解。

10.3969/j.issn.1001-8972.2015.15.001