◎福建省連城縣宣和中心小學(xué)　項(xiàng)如榕

略談三種數(shù)學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

◎福建省連城縣宣和中心小學(xué)項(xiàng)如榕

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生數(shù)理邏輯能力的基礎(chǔ)性科學(xué)，也是一門應(yīng)用性極強(qiáng)的工具性學(xué)科。數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透思想方法教育，有助于提高學(xué)生正確認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)數(shù)理思維的能力。本文從數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、等量變換思想三方面論述數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的運(yùn)用，以探討培養(yǎng)學(xué)生數(shù)理邏輯能力。

數(shù)學(xué)思想；典型；應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，又是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，需要我們?nèi)ネ诰虿?shí)施于解決問題的過程中。

一般來講，小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的思想方法主要有數(shù)形結(jié)合、分類、結(jié)合、化歸、歸納、建模、等量變換、類比、假設(shè)、可逆等等。數(shù)學(xué)思想方法并不單純是解決一類數(shù)學(xué)問題的捷徑，實(shí)際上反映了數(shù)學(xué)整體內(nèi)在的規(guī)律和邏輯。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透思想方法教育，不僅是提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，打造興趣課堂的必由之路，也是引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)數(shù)理思維，實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育目的的題中之義。本文擬選取三種典型性數(shù)學(xué)思想方法予以介紹，并附實(shí)例說明數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用。

一、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，化抽象為直觀

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)用極為廣泛，也是數(shù)學(xué)研究常用的方法。數(shù)形結(jié)合，顧名思義，即將數(shù)量關(guān)系與圖形相結(jié)合，通過線段、幾何面積、集合等圖示把數(shù)字所表示的數(shù)量關(guān)系通過圖形直觀地表達(dá)出來，從而使原本抽象的數(shù)學(xué)問題化為具體形象，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果。

例如，在處理容斥關(guān)系一類的問題上。假設(shè)某班有學(xué)生若干，班里的學(xué)生必須至少參加一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，其中有35人參加籃球運(yùn)動(dòng)，21人參加乒乓球運(yùn)動(dòng)，有9人兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都參加了，求班上共有多少名同學(xué)。對(duì)于很多小學(xué)生來講，讀完題目就已經(jīng)暈頭了，不知如何著手，但如果根據(jù)題設(shè)條件做出韋恩圖（如圖1），則問題的答案就相當(dāng)顯明了。從圖上可以很直觀地看到9人是重復(fù)的部分，應(yīng)該用參加兩種體育運(yùn)動(dòng)的總數(shù)減掉重復(fù)的部分就是全班的總?cè)藬?shù)，即35+21-9=47（人）。

圖1

再比如，處理雞兔同籠問題時(shí)，也經(jīng)常用到數(shù)形結(jié)合思想。假設(shè)籠子里雞和兔子共8只，腿有24條，請(qǐng)問籠中有雞和兔子各幾只。用方程來解答，設(shè)有雞x，則兔子個(gè)數(shù)為8-x，從而得到2x+4×（8-x）=24，從而得出有雞與兔子各有4只。這種方法作答，固然為最佳的計(jì)算方法，但對(duì)于小學(xué)生來講，往往較難理解，而借助數(shù)形結(jié)合的思想，則不僅有助于將題目作對(duì)，還能加深對(duì)一元一次方程的理解。如圖2，先畫8個(gè)圓代表雞兔總數(shù)，假設(shè)全是雞，則在各圓下畫2條腿，結(jié)果還剩8條腿，從而在4個(gè)圓下各畫2條腿，于是，從畫好的圖形中可知，有雞4只，兔子4只。

圖2

教學(xué)中經(jīng)常遇到抽象難解的問題，題中繁雜的數(shù)量關(guān)系往往使學(xué)生一籌莫展。如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想把數(shù)量關(guān)系與圖形相結(jié)合，把數(shù)字所表示的數(shù)量關(guān)系通過圖形直觀地表達(dá)出來，將原本繁雜的數(shù)量關(guān)系問題予以簡(jiǎn)化，使問題變得直觀易解?？梢姡ㄟ^作圖的方式，將繁雜的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化，符合小學(xué)生的認(rèn)知水平和思維習(xí)慣。

二、應(yīng)用化歸思想，化繁雜為簡(jiǎn)約

“化歸”即轉(zhuǎn)化和歸結(jié)之意，也是小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)常用到的思想。在解決數(shù)量關(guān)系復(fù)雜、計(jì)算量龐大的數(shù)學(xué)問題時(shí)，為了能簡(jiǎn)單快速地得出正確答案，往往會(huì)將一個(gè)復(fù)雜數(shù)量關(guān)系甲通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個(gè)相對(duì)較為簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系乙來解決，通過解決乙問題而自然得到甲的答案。教師如果能在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用“化歸思想”問題，可以有效地提高教學(xué)效率。

在四則運(yùn)算中靈活運(yùn)用化歸思想，可以有效地減少計(jì)算量，提高解題的準(zhǔn)確度。如在計(jì)算1.25×96×25時(shí)，如果按照一般的運(yùn)算順序來解答，往往計(jì)算較為復(fù)雜，而且也容易算錯(cuò)。如果運(yùn)用化歸思想，將計(jì)算式予以轉(zhuǎn)化則問題會(huì)變得比較簡(jiǎn)單。如上式，96可以轉(zhuǎn)化分解為8×4×3，這樣1.25×96×25=1.25×8×4×3×25=（1.25×8）×（25×4）×3，1.25×8=10，25×4=100，因此，（1.25×8）×（25× 4）×3=3000。再如，48×53+47×48，可以轉(zhuǎn)化為（53+47）× 48=4800，這其實(shí)也是化歸思想的體現(xiàn)。

在解答應(yīng)用題過程中，也常會(huì)應(yīng)用到化歸思想，從而使原本復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單。如，某甲與某乙進(jìn)行跳躍比賽，甲每次可以向前跳躍1.5米，乙每次可以向前跳躍1.8米，甲與乙每秒鐘只允許跳一次。從比賽終點(diǎn)到比賽起點(diǎn)，每個(gè)5米設(shè)有一個(gè)休息區(qū)，問當(dāng)甲乙二人任何一個(gè)恰好跳到休息區(qū)時(shí)，另外一個(gè)跳了多少米。乍看題目，往往一頭霧水，但仔細(xì)分析一下題目，如果巧妙運(yùn)用化歸思想來解，問題就變得簡(jiǎn)單多了。通過題設(shè)可以知道，當(dāng)有其中一人恰好跳進(jìn)休息區(qū)時(shí)，此時(shí)他跳躍的路程應(yīng)為1.5（或1.8）的倍數(shù)，同時(shí)又應(yīng)該是5的倍數(shù)，亦即1.5與5或者1.8與5的最小公倍數(shù)，于是這樣一個(gè)相對(duì)較為復(fù)雜難解的問題，通過化歸，轉(zhuǎn)化為一個(gè)單純求最小公倍數(shù)問題。

從上述例子中可發(fā)現(xiàn)，化歸思想就是要把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個(gè)個(gè)基礎(chǔ)性的問題來解決，使題目更加簡(jiǎn)化，計(jì)算更加快速、有效率。教學(xué)中靈活運(yùn)用“化歸思想”解決教學(xué)中遇到的難題，可以達(dá)到事半功倍的效果。

三、應(yīng)用等量變換思想，化疑難為簡(jiǎn)易

所謂等量變換，即將一種等量轉(zhuǎn)換到另一種等量，由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想。它是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ)。等量變換不同于化歸思想，雖然化歸思想中有等量變換的體現(xiàn)，尤其在轉(zhuǎn)化的環(huán)節(jié)，但化歸實(shí)際上是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)兩個(gè)過程，而等量變換則僅僅涉及相同量的互換。

例如，求1/2+1/6+1/12+1/20+……+1/380的和，其中分?jǐn)?shù)的分子均為1，但分母卻各不相同，但仔細(xì)觀察分母可以發(fā)現(xiàn)，2×1=2，，3×2=6，4×3=12，5×4=20……20×19= 380，由此可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，上述分子的一般項(xiàng)為1/n×（n+ 1），每個(gè)分?jǐn)?shù)經(jīng)過等量轉(zhuǎn)換可得：（1/n-1）×（1/n+1）。因此，前面分子式，原式=1/（1×2）+1/（2×3）+1/（3×4）+1/（4× 5）+……+1/（19×20）=（1-1/2）+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+（1/ 4-1/5）+……+（1/19-1/20）=1-1/20=19/20。

事實(shí)上，在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中，很多思想的應(yīng)用并非孤立的，有時(shí)候一道題目的解答需要用到多種數(shù)學(xué)方法，而且，運(yùn)用多種思想方法也可以解答同一道題。比如，在一場(chǎng)“形象小姐”大賽中，甲的專業(yè)得分為8.55分，綜合得分0.88分，總分9.43分；已知乙的專業(yè)得分8.65分，綜合得分0.4分，請(qǐng)問誰的比分高，高多少。按照一般的算法，9.43-（8.65+0.40）=0.38，可見甲的比分較高，高出乙0.38分。除此以外，還可以8.65-8.55=0.10，0.88-0.40=0.48，0.48-0.10=0.38，這里應(yīng)用了對(duì)應(yīng)的思想方法；8.65-8.55=0.10，就從0.88-0.10=0.78，再0.78-0.40= 0.38，應(yīng)用了等量變換的思想。

數(shù)學(xué)思想方法是在數(shù)學(xué)教學(xué)和研究中所歸納形成的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特性和內(nèi)在趣旨，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)注意有目的、有選擇、適時(shí)地進(jìn)行滲透。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷累積的過程，當(dāng)這種量的累積達(dá)到一定度時(shí)就產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。因此，學(xué)生若能通過不斷的解題實(shí)踐，熟知數(shù)形結(jié)合，化歸轉(zhuǎn)換，等量變化等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用就能潛移默化地習(xí)得數(shù)學(xué)的求解方法，更重要的是還能兼而習(xí)得數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)和習(xí)慣，習(xí)得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征和規(guī)律的認(rèn)知。

（責(zé)任編輯：陳志華）