楊義峰，謝能，李宇

1.中國(guó)科學(xué)院物理研究所，北京凝聚態(tài)物理國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，北京100190 2.量子物質(zhì)科學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100190

重費(fèi)米子二流體理論

楊義峰1，2?，謝能1，李宇1

1.中國(guó)科學(xué)院物理研究所，北京凝聚態(tài)物理國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，北京100190 2.量子物質(zhì)科學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100190

強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子同時(shí)表現(xiàn)出局域和巡游的二重性，這是量子力學(xué)波粒二象性在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域的表現(xiàn)，也是導(dǎo)致強(qiáng)關(guān)聯(lián)材料中各種新奇量子效應(yīng)的根源。本文以重費(fèi)米子材料為例，探討強(qiáng)關(guān)聯(lián)f電子在該類材料中局域和巡游二重行為的實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)，重點(diǎn)介紹重費(fèi)米子的二流體唯象理論。這一理論成功解釋了眾多先前無(wú)法解釋的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，揭示了重費(fèi)米子體系復(fù)雜行為背后的統(tǒng)一物理起源，為理解強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)包括銅氧化物和鐵基超導(dǎo)材料中電子的奇異行為提供了一種新的思路，亟待更加深入的理論和實(shí)驗(yàn)探索。

強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子；重費(fèi)米子；二流體理論

目錄

I.重費(fèi)米子物理簡(jiǎn)介191

II.二流體理論的歷史背景194

III.重費(fèi)米子二流體理論194

A.模型195

B.正常態(tài)物性196

1.磁性質(zhì)196

2.熱性質(zhì)198

3.電輸運(yùn)性質(zhì)199

C.低溫有序態(tài)201

1.費(fèi)米液體202

2.磁有序態(tài)202

3.量子臨界行為202

4.超導(dǎo)204

IV.實(shí)驗(yàn)進(jìn)展204

A.角分辨光電子能譜204

B.繆介子自旋共振205

C.新材料205

V.理論進(jìn)展206

A.隸玻色子近似206

B.單雜質(zhì)DMFT206

C.NRG206

D.DQMC207

E.DMRG207

VI.結(jié)論和展望208

208

I.重費(fèi)米子物理簡(jiǎn)介

描述固體材料中電子的微觀行為是凝聚態(tài)物理的核心問(wèn)題。當(dāng)電子間的庫(kù)侖相互作用較弱時(shí)，電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)可以近似采用單電子圖像描述，在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的經(jīng)典能帶理論成功解釋了普通金屬、絕緣體和半導(dǎo)體的基本性質(zhì)。但是在包含過(guò)渡族金屬元素的d電子或鑭系/錒系元素的f電子體系中，電子間通常具有較強(qiáng)的庫(kù)侖相互作用，導(dǎo)致單電子近似失效，此時(shí)眾多強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子之間的協(xié)同運(yùn)動(dòng)使得材料在低溫下呈現(xiàn)出許多新奇的量子現(xiàn)象[1]，如高溫超導(dǎo)、龐磁阻、重費(fèi)米子等等。發(fā)展超越經(jīng)典能帶理論的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子理論，是目前凝聚態(tài)領(lǐng)域的一個(gè)重要前沿課題。

在這篇文章中，我們簡(jiǎn)要介紹一類傳統(tǒng)的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子體系，即重費(fèi)米子體系。與常規(guī)金屬不同，重費(fèi)米子材料在低溫下具有非常大的比熱系數(shù)，是銅、金等常規(guī)金屬的比熱系數(shù)（～1 mJ/mol K2）的幾百以至上千倍。按照朗道的費(fèi)米液體理論，如此大的比熱意味著材料中準(zhǔn)粒子的有效質(zhì)量可以達(dá)到自由電子質(zhì)量的幾百乃至上千倍，所以這類材料被統(tǒng)一稱作重費(fèi)米子或重電子材料[2，3]。目前常見的重費(fèi)米子材料一般為包含Ce，Yb，U等稀土或錒系元素的f電子金屬化合物，也有少量的d電子材料如LiV2O4[4]和CaCu3Ir4O12[5]等。在這些材料中，局域在晶格上的f或d電子形成局域磁矩，與自由運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)帶電子在低溫下發(fā)生集體雜化，產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)遲緩的復(fù)合準(zhǔn)粒子，實(shí)驗(yàn)上表現(xiàn)出較大的有效質(zhì)量。

由于電子的特征能量與其有效質(zhì)量成反比關(guān)系，因此重費(fèi)米子材料的特征能量尺度很低，一般只有10～100 K的量級(jí)，極易通過(guò)壓力、磁場(chǎng)、摻雜等實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行調(diào)控。最近十多年來(lái)，隨著材料制備水平和實(shí)驗(yàn)技術(shù)的提高，重費(fèi)米子領(lǐng)域涌現(xiàn)出大量的新材料、新物理，不僅僅在很多材料中都觀察到了非常規(guī)超導(dǎo)、非費(fèi)米液體、量子臨界等重要的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子現(xiàn)象，還發(fā)現(xiàn)了如CeCu2Si2中的高壓超導(dǎo)相[6]，CeCoIn5中強(qiáng)磁場(chǎng)誘導(dǎo)的Q-相[7]，URu2Si2中的隱藏序[8]，SmB6中的拓?fù)浔砻鎽B(tài)[9，10]等具體材料中豐富多樣的奇異電子態(tài)。這些發(fā)現(xiàn)極大地充實(shí)了凝聚態(tài)物理的研究?jī)?nèi)容，成為探索強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子現(xiàn)象和物理本質(zhì)的重要研究對(duì)象。

重費(fèi)米子材料的發(fā)現(xiàn)源自20世紀(jì)上半葉對(duì)金屬中磁性雜質(zhì)的散射效應(yīng)的研究[11]。1930年，德國(guó)物理學(xué)家Meissner和Voight在實(shí)驗(yàn)上[12]觀測(cè)到金（Au）的電阻在溫度10 K附近出現(xiàn)極小值，10 K以下反常增大。這一反常的電阻極小值現(xiàn)象和超導(dǎo)的零電阻現(xiàn)象并駕齊驅(qū)，引起了實(shí)驗(yàn)和理論上的極大興趣，成為當(dāng)時(shí)固體物理學(xué)中的兩大著名難題。但是直到1964年，在超導(dǎo)問(wèn)題被Bardeen、Cooper和Schrieffer等人解決數(shù)年后，才由美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室的Sarachik等人在實(shí)驗(yàn)上給出了最確定性的證據(jù)，將電阻的極小值問(wèn)題與金屬中磁性雜質(zhì)對(duì)導(dǎo)帶電子的散射聯(lián)系起來(lái)[13，14]：他們?cè)阢f鈮合金（MoxNb1?x）中摻入1%鐵（Fe）雜質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)Mo的濃度增加到一定值時(shí)，F(xiàn)e雜質(zhì)會(huì)表現(xiàn)出磁性，同時(shí)電阻曲線中出現(xiàn)極小值，兩者之間存在直接關(guān)聯(lián)。同年，日本科學(xué)家Kondo分析了導(dǎo)帶電子與磁性雜質(zhì)之間由于反鐵磁耦合導(dǎo)致的自旋翻轉(zhuǎn)散射，對(duì)散射過(guò)程進(jìn)行微擾處理，在相互作用的三階項(xiàng)上發(fā)現(xiàn)了電阻隨溫度降低呈現(xiàn)出?logT的發(fā)散行為，這一貢獻(xiàn)與聲子散射的貢獻(xiàn)結(jié)合起來(lái)，解釋了金屬中電阻的極小值現(xiàn)象[15]。此類自旋翻轉(zhuǎn)散射后來(lái)被稱為Kondo散射。

Kondo散射有一個(gè)重要的特征溫度，TK，稱為Kondo溫度，通常TK≈ρ?1e?1/Jρ，其中ρ是費(fèi)米面附近導(dǎo)帶電子的態(tài)密度，J是磁性雜質(zhì)上的局域磁矩與導(dǎo)帶電子自旋之間的反鐵磁交換耦合強(qiáng)度[16]，本文中Boltzmann常數(shù)均設(shè)為1。在TK之上，導(dǎo)帶電子與局域磁矩發(fā)生自旋翻轉(zhuǎn)散射，其高階相干過(guò)程的疊加對(duì)有效散射強(qiáng)度產(chǎn)生對(duì)數(shù)修正，隨溫度降低而增強(qiáng)，最終在TK處發(fā)散。因而在TK之下，體系處于強(qiáng)耦合區(qū)，微擾展開的處理方法失效，局域磁矩與導(dǎo)帶電子之間形成自旋單態(tài)，導(dǎo)帶電子在磁性雜質(zhì)周圍形成屏蔽云。電阻在接近零溫時(shí)從對(duì)數(shù)發(fā)散的溫度依賴關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)門2的依賴關(guān)系并趨于飽和，表現(xiàn)為局域費(fèi)米液體的行為。同時(shí)由于重整化效應(yīng)，f電子能級(jí)被重整化到費(fèi)米能附近，在態(tài)密度上出現(xiàn)共振態(tài)，導(dǎo)致很大的低溫比熱系數(shù)。

Kondo問(wèn)題在強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)的研究歷史上發(fā)揮了非常重要的作用[17]，重費(fèi)米子現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)就是其中一個(gè)重要的例子。1975年，美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室的Andres等人[18]發(fā)現(xiàn)Ce的金屬化合物CeAl3在溫度低于0.2 K時(shí)具有很大的線性比熱系數(shù)（C=γT，γ= 1620 mJ/mol K2），同時(shí)電阻表現(xiàn)為典型的費(fèi)米液體行為（?ρ=AT2，A=35μ? cm/K2），表明其中的準(zhǔn)粒子具有很大的有效質(zhì)量，這是實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)重費(fèi)米子材料。1979年，德國(guó)科學(xué)家Steglich等[19]在重費(fèi)米子材料CeCu2Si2中發(fā)現(xiàn)超導(dǎo)，無(wú)法用傳統(tǒng)的基于電聲耦合的BCS（Bardeen-Cooper-Schrieffer）理論解釋。此前眾多實(shí)驗(yàn)都表明磁性雜質(zhì)對(duì)（常規(guī)）超導(dǎo)具有很強(qiáng)的破壞作用，因此一般認(rèn)為超導(dǎo)與磁是不相容的，而Ce在這里為+3價(jià)，最外層有一個(gè)f電子，高溫下表現(xiàn)為磁性離子，這一發(fā)現(xiàn)改變了人們對(duì)超導(dǎo)與磁的關(guān)系的認(rèn)識(shí)。隨著類似的超導(dǎo)現(xiàn)象在UBe13[20]和UPt3[21]等更多重費(fèi)米子材料中陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)，非常規(guī)超導(dǎo)現(xiàn)象開始引起了理論和實(shí)驗(yàn)上的關(guān)注，與隨后的銅氧化物高溫超導(dǎo)和鐵基超導(dǎo)一起，逐漸開啟了三十多年來(lái)非常規(guī)超導(dǎo)研究的大門。

在大多數(shù)Ce基重費(fèi)米子材料中，Ce為+3價(jià)，最外層只有一個(gè)f電子，由于很強(qiáng)的局域庫(kù)侖排斥作用，f電子的電荷漲落被抑制，同時(shí)考慮到晶體場(chǎng)基態(tài)（二重態(tài)），在低溫下表現(xiàn)為自旋1/2的局域磁矩。這些磁矩在晶格點(diǎn)陣上周期排布，形成周期性的自旋晶格，并與導(dǎo)帶電子之間發(fā)生集體耦合，不同于單雜質(zhì)的情況。因而對(duì)重費(fèi)米子物理的理論研究，文獻(xiàn)中經(jīng)常采用所謂的Kondo晶格模型[3]

模型中第一項(xiàng)為導(dǎo)帶電子的躍遷項(xiàng)，第二項(xiàng)為f電子的能級(jí)，第三項(xiàng)是導(dǎo)帶電子和f電子的雜化項(xiàng)，第四項(xiàng)為f電子之間的局域庫(kù)侖排斥。一般情況下，這兩個(gè)模型目前尚無(wú)法嚴(yán)格求解，只能采用近似方法。

1977年，美國(guó)斯坦福大學(xué)的Doniach利用平均場(chǎng)近似分析了Kondo晶格模型的基態(tài)性質(zhì)[22]。由于局域磁矩對(duì)導(dǎo)帶電子的極化作用，晶格上相鄰磁矩間會(huì)產(chǎn)生間接的磁交換相互作用，即Ruderman-Kittel-Kasuya-Yoshida（RKKY）相互作用[23～25]：TRKKY∝J2ρ[26]。Doniach提出體系的基態(tài)取決于RKKY作用與Kondo效應(yīng)的競(jìng)爭(zhēng)。如圖1（a）所示，在Kondo耦合J較小時(shí)，RKKY作用占主導(dǎo)，體系表現(xiàn)為磁性基態(tài)，隨著J的增加，Kondo溫度指數(shù)增加，最終抑制了RKKY作用，導(dǎo)致體系從磁有序態(tài)過(guò)渡到了費(fèi)米液體態(tài)（Kondo效應(yīng)主導(dǎo)）。這一圖像定性地解釋了許多材料的實(shí)驗(yàn)相圖，得到了廣泛的認(rèn)可。

80年代，Read，Newns[27]和Coleman[28]等人發(fā)展了所謂的隸玻色子（slave boson）近似方法，用于處理單雜質(zhì)Kondo問(wèn)題，后來(lái)被推廣到Kondo晶格模型[29～31]。如圖1（b）所示，在這一近似下，局域的f軌道由于與導(dǎo)帶電子的Kondo耦合被重整化到費(fèi)米面附近，形成平坦的f能帶，進(jìn)而與導(dǎo)帶發(fā)生雜化，形成雜化能帶，其準(zhǔn)粒子具有較大的有效質(zhì)量。這一簡(jiǎn)單的雜化圖像可以解釋光電導(dǎo)中的雜化能隙等一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，但忽略了f電子強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體作用導(dǎo)致的復(fù)雜行為如量子臨界現(xiàn)象等。要描述這些現(xiàn)象，必須要考慮f電子之間的關(guān)聯(lián)。清華大學(xué)的張廣銘等人[32，33]在這一方面作了很多工作，他們推廣了平均場(chǎng)方法，考慮進(jìn)f電子之間的磁性關(guān)聯(lián)及超導(dǎo)配對(duì)，得到Kondo單態(tài)和磁有序態(tài)可以共存等重要結(jié)論。

超越簡(jiǎn)單平均場(chǎng)近似的理論工作目前主要有兩類：一類是基于強(qiáng)關(guān)聯(lián)方法的數(shù)值計(jì)算，如斯其苗等人利用擴(kuò)展動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法（EDMFT）研究Kondo晶格模型，解釋YbRh2Si2等材料中發(fā)現(xiàn)的局域量子臨界現(xiàn)象[34]，Kotliar等人結(jié)合密度泛函理論（DFT）和動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法（DMFT）研究CeIrIn5等材料，以解釋f電子隨溫度降低從局域到巡游的轉(zhuǎn)變過(guò)程[35，36]，Assaad等人也利用輔助場(chǎng)量子蒙特卡洛方法（AFQMC）研究了二維半滿Kondo晶格模型的基態(tài)相圖和有限溫度的自旋及電荷動(dòng)力學(xué)[37]等；另一類是在平均場(chǎng)近似基礎(chǔ)上引入高階的量子漲落效應(yīng)，如Senthil等人[38]和Ppin等[39]考慮了U（1）規(guī)范漲落和Kondo玻色子漲落對(duì)量子臨界行為的影響，Abrahams和Wlfle提出了臨界準(zhǔn)粒子理論，以解釋YbRh2Si2等重費(fèi)米子金屬中的量子臨界標(biāo)度律[40～42]等。

圖1.(a)重費(fèi)米子Doniach相圖。隨著Kondo耦合系數(shù)J的增加，Kondo效應(yīng)增強(qiáng)，RKKY相互作用逐漸被抑制，體系逐漸從反鐵磁相（AFM）過(guò)渡到費(fèi)米液體（Fermi Liquid）。(b)重費(fèi)米子雜化圖像。局域的f電子能帶由于Kondo耦合被重整化到費(fèi)米面附近，與導(dǎo)帶雜化形成比較平坦的雜化能帶

這些工作從不同角度研究重費(fèi)米子物理，但迄今為止還沒有一個(gè)能夠比較全面地解釋重費(fèi)米子物理的理論。如何系統(tǒng)梳理五花八門的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，辨析背后物理的共性和個(gè)性，是理解重費(fèi)米子物理的關(guān)鍵?？紤]到這一點(diǎn)，我們采取了不同的思路，結(jié)合實(shí)驗(yàn)探索重費(fèi)米子材料中具有普適性的物理行為。我們認(rèn)為，f電子同時(shí)具有局域和巡游的二重行為，這種二重性可能是導(dǎo)致重費(fèi)米子材料中豐富多變的演生現(xiàn)象的根本原因。在此基礎(chǔ)上，我們發(fā)展了重費(fèi)米子的唯象的二流體理論，較好地解釋了許多先前無(wú)法解釋的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，形成了對(duì)重費(fèi)米子物理的一些新的認(rèn)識(shí)。這篇文章將介紹相關(guān)的研究工作和最新進(jìn)展：第II部分從一般的角度介紹凝聚態(tài)物理中的二流體現(xiàn)象，第III部分詳細(xì)論述重費(fèi)米子二流體理論的基本框架和內(nèi)容，第IV部分介紹最新的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，第V部分討論二流體現(xiàn)象的微觀理論探索，最后是一個(gè)簡(jiǎn)短的總結(jié)和展望。

II.二流體理論的歷史背景

二流體圖像最早用于描述超導(dǎo)和液氦超流現(xiàn)象。1934年，荷蘭物理學(xué)家Gorter和Casimir提出了超導(dǎo)電性的二流體唯象模型[43]，認(rèn)為超導(dǎo)體中存在正常電子和超流電子兩種電子，兩者互相滲透而又獨(dú)立運(yùn)動(dòng)。正常電子和金屬中的自由電子一樣受到晶格和其他電子的散射，不形成超導(dǎo)；超流電子則不受散射，貢獻(xiàn)電流而不產(chǎn)生電阻。超導(dǎo)體內(nèi)穩(wěn)定電流的存在要求超導(dǎo)電子不能被外電場(chǎng)加速，因此超導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)為零，即使正常電子也不貢獻(xiàn)電阻，不產(chǎn)生能耗，從而解釋了超導(dǎo)的零電阻行為。

液氦超流現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)后，匈牙利科學(xué)家Tisza于1938年提出了超流相（4He II）的二流體模型，蘇聯(lián)科學(xué)家Landau隨后作了改進(jìn)[44]。氦元素原子核內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)子，存在氦3和氦4兩種同位素。氦4包含兩個(gè)中子，是玻色子，在臨界溫度Tλ=2.18 K以下發(fā)生玻色–愛因斯坦凝聚，體系從正常流體的4HeⅠ相轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)粘滯的超流體4He II相。二流體模型認(rèn)為4He II相由兩種流體組成，分別對(duì)應(yīng)于基態(tài)的超流成分和由元激發(fā)組成的正常成分。在Tλ溫度以上，即4He I相，所有流體都為正常流體；在Tλ溫度以下，正常流體成分隨溫度降低逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槌鞒煞?，最終在絕對(duì)零度時(shí)完全超流。4He II的物理性質(zhì)由兩種成分共同決定，成功解釋了4He II毛細(xì)管實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)出的超流現(xiàn)象、圓盤實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)出的阻尼運(yùn)動(dòng)、以及機(jī)械致熱效應(yīng)等看似互相矛盾的各種奇異現(xiàn)象。

近些年來(lái)，強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)中的二流體現(xiàn)象也逐漸引起了人們的關(guān)注。2004年，Nakatsuji等人在分析重費(fèi)米子材料Ce1?xLaxCoIn5的比熱和磁化率數(shù)據(jù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)f電子的磁性比熱和磁化率均可以分為兩個(gè)部分，如比熱可以寫為[45]：

其中CKI為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的稀磁極限下（x=0.97，0.98）的比熱，CHF為巡游重電子的比熱貢獻(xiàn)，f（T）是兩種貢獻(xiàn)的相對(duì)權(quán)重。據(jù)此，他們提出f電子的行為可以用一個(gè)類似的二流體模型描述。同年，Curro等人[46]發(fā)現(xiàn)這一模型也可以用來(lái)解釋奈特位移對(duì)靜態(tài)磁化率線性關(guān)系的反常偏離。2008年，Yang和Pines等人[47，48]發(fā)現(xiàn)在奈特位移、霍爾系數(shù)、點(diǎn)接觸譜等多種物理量中均具有普適的溫度演化行為。他們隨后對(duì)二十多種重費(fèi)米子材料的不同實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如電阻、磁化率、核磁共振（NMR）、霍爾系數(shù)、光電導(dǎo)等，進(jìn)行了系統(tǒng)分析，發(fā)現(xiàn)這些結(jié)果中的反常行為均起源于巡游重電子的演生行為，可以用二流體模型統(tǒng)一解釋。2012年，他們進(jìn)一步發(fā)展了這一想法，提出了比較系統(tǒng)的二流體唯象理論框架[49]，給出了兩種流體更為具體的描述，即由部分雜化的局域f磁矩構(gòu)成的自旋液體和由集體雜化形成的巡游重電子，認(rèn)為兩種流體的共存與競(jìng)爭(zhēng)是描述重費(fèi)米子物理的本質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上定量地解釋了眾多實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，包括低溫磁性序與超導(dǎo)共存、量子臨界行為等等。

銅氧化物和鐵基超導(dǎo)材料的正常態(tài)也具有類似的二流體行為。上世紀(jì)90年代前后，Johnston[50]及Nakano等[51]發(fā)現(xiàn)La2?xSrxCuO4?y的磁化率呈現(xiàn)普適的標(biāo)度行為；2006年，Barzykin和Pines基于這些實(shí)驗(yàn)，提出銅基超導(dǎo)的正常態(tài)也可以描述為兩種流體，即由局域磁矩形成的自旋液體和由巡游準(zhǔn)粒子形成的費(fèi)米液體[52～54]。他們由此解釋了銅氧化物中的NMR等系列實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并預(yù)言贗能隙現(xiàn)象與最近鄰局域磁矩間的反鐵磁耦合存在密切關(guān)系。鐵基超導(dǎo)材料中正常態(tài)電子的二流體行為的實(shí)驗(yàn)證據(jù)主要來(lái)源于NMR實(shí)驗(yàn)和非彈性中子散射（INS）實(shí)驗(yàn)。中國(guó)人民大學(xué)的于偉強(qiáng)研究組通過(guò)對(duì)Tl0.47Rb0.34Fe1.63Se2和NaFe0.94Co0.06As等鐵基超導(dǎo)材料的奈特位移及自旋–晶格弛豫率的測(cè)量分析[55，56]，發(fā)現(xiàn)體系中存在類似的由巡游電子和局域磁矩構(gòu)成的兩種共存流體；中國(guó)科學(xué)院物理研究所的戴鵬程研究組[57，58]則在摻雜的BaFe2As2的中子散射實(shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)了同時(shí)存在的由巡游電子產(chǎn)生的低能激發(fā)和由局域磁矩產(chǎn)生的高能激發(fā)，提出超導(dǎo)電性可能起源于高能磁激發(fā)誘導(dǎo)的低能巡游電子配對(duì)。最近，清華大學(xué)的翁征宇研究組[59]也從理論上探討了鐵基材料中的二流體現(xiàn)象，認(rèn)為體系中同時(shí)存在局域磁矩形成的自旋液體和巡游電子，二者之間通過(guò)洪德（Hund）耦合相互影響，產(chǎn)生了豐富的物理現(xiàn)象。

這些工作表明，二流體現(xiàn)象是強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象，可能反映了強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子的本質(zhì)物理性質(zhì)，是發(fā)展強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子理論要考慮的一個(gè)重要因素，值得理論和實(shí)驗(yàn)的深入探討。

III.重費(fèi)米子二流體理論

在這一章中，我們將詳細(xì)介紹Yang和Pines等人發(fā)展的重費(fèi)米子二流體理論[47～49]，分為三個(gè)部分：二流體基本模型（A節(jié)）；正常態(tài)反常物性（B節(jié)）和對(duì)低溫反鐵磁、超導(dǎo)等有序態(tài)的解釋（C節(jié)）。

A.模型

重費(fèi)米子材料中f電子的局域和巡游的二重性質(zhì)在實(shí)驗(yàn)上有很多表現(xiàn)，這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象構(gòu)成了二流體理論的物理基礎(chǔ)。以CeRhIn5為例，在一定的壓力區(qū)間內(nèi)同時(shí)存在局域反鐵磁序與超導(dǎo)，核四極矩共振（NQR）實(shí)驗(yàn)[60]證實(shí)兩種序微觀共存，Ce3+離子上的一個(gè)f電子同時(shí)參與反鐵磁和超導(dǎo)兩種宏觀量子態(tài)，表現(xiàn)出局域和巡游的二重性。在二流體理論中，這種局域和巡游的二重性被簡(jiǎn)化描述為由f電子形成的兩種近似獨(dú)立的流體，一種是由局域自旋構(gòu)成的自旋液體，另一種是由巡游重電子構(gòu)成的Kondo液體。

圖2.Kondo晶格模型示意圖

從Kondo晶格模型出發(fā)，這一圖像有著自然的物理起源。如圖2所示，Kondo晶格模型天然包含兩種組分，即局域的f電子磁矩和巡游的導(dǎo)帶電子。高溫時(shí)，局域磁矩和導(dǎo)帶電子之間的散射很弱，兩種組分近似獨(dú)立；隨著溫度降低，兩者之間的有效耦合逐漸增強(qiáng)，導(dǎo)帶電子由于受到自旋晶格的相干散射，運(yùn)動(dòng)變得遲緩，表現(xiàn)出重電子的行為；另一方面，晶格自旋也受到導(dǎo)帶電子的屏蔽，有效磁矩被削弱，發(fā)生重整化效應(yīng)。整個(gè)體系可以近似看作是緩慢運(yùn)動(dòng)的重電子和被集體雜化修正的晶格自旋液體兩種流體的微觀均勻混合。一般情況下，兩種效應(yīng)同時(shí)發(fā)生并相互糾纏，兩種組分不能視作獨(dú)立的流體。但是如果兩種流體的運(yùn)動(dòng)在空間（動(dòng)量）或時(shí)間（能量）上具有不同的特征尺度，則類似于固體中區(qū)分晶格與電子運(yùn)動(dòng)的Born-Oppenheimer近似，就可以將兩者近似視作不同的流體，加以區(qū)分處理。

重電子在物理上對(duì)應(yīng)于導(dǎo)帶電子與晶格自旋漲落耦合形成的復(fù)合粒子。f電子從局域到巡游的轉(zhuǎn)變不是相變，而是在廣闊溫度區(qū)間內(nèi)發(fā)生的漸進(jìn)行為。在這個(gè)溫度區(qū)間內(nèi)，f電子與導(dǎo)帶電子發(fā)生集體雜化，由于量子糾纏而形成了復(fù)合的巡游重電子態(tài)，導(dǎo)致f電子逐漸退局域化，表現(xiàn)出巡游和局域的二重性質(zhì)。Yang和Pines發(fā)現(xiàn)f電子從局域到巡游的轉(zhuǎn)變隨溫度具有普適的演化行為，其中參與形成Kondo液體的f電子權(quán)重為[47]：

其中f0反映了集體雜化的效率，依賴于外界參數(shù)如壓力、磁場(chǎng)等；特征溫度T?是一個(gè)重要的參量，后面會(huì)詳細(xì)討論。Kondo液體中準(zhǔn)粒子的有效質(zhì)量隨溫度演化遵從：

其中mh是準(zhǔn)粒子在T?處的有效質(zhì)量。兩式結(jié)合給出了巡游重電子的態(tài)密度隨溫度演化的普適標(biāo)度律：

這種普適性表明f電子從局域到巡游的轉(zhuǎn)變過(guò)程具有不依賴于材料細(xì)節(jié)的普適物理規(guī)律。后面我們會(huì)看到，重電子這一性質(zhì)在很多實(shí)驗(yàn)中都有表現(xiàn)。

與巡游部分不同，局域自旋液體的行為則依賴于晶格結(jié)構(gòu)等材料細(xì)節(jié)。在平均場(chǎng)近似下，考慮集體雜化對(duì)f電子磁矩的屏蔽作用，局域自旋液體的動(dòng)力學(xué)磁化率χl可以近似寫為[49]

其中fl=1?f（T）為f電子參與形成局域自旋流體的權(quán)重，χ0=C/T（C是居里常數(shù)）是孤立的f電子局域磁矩的磁化率，z為配位數(shù)，γl為自旋弛豫率，Jq是局域f磁矩間的RKKY交換耦合系數(shù)，其具體形式依賴于晶格結(jié)構(gòu)，不具有普適性。

可以想象在實(shí)際材料中，兩種流體彼此約束，既共存又競(jìng)爭(zhēng)，隨溫度或其他外界參量具有不同的變化行為，兩種行為的疊加導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果復(fù)雜多變，難以總結(jié)出一般性的規(guī)律，長(zhǎng)期以來(lái)無(wú)法給出比較系統(tǒng)的解釋。

為了理解Kondo液體的物理起源，Yang等人對(duì)（6）式中的特征溫度T?進(jìn)行了系統(tǒng)深入的分析[48]。他們發(fā)現(xiàn)在大部分重費(fèi)米子材料中，T?比相應(yīng)的單雜質(zhì)Kondo溫度TK高一個(gè)數(shù)量級(jí)，意味著T?應(yīng)有不同于Kondo溫度的物理起源?；趯?shí)驗(yàn)考慮，Yang等人猜測(cè)T?源自局域f磁矩間的RKKY相互作用。圖3給出了十多種重費(fèi)米子材料中的T?與單雜質(zhì)TK的對(duì)比[48]。取T?=cJ2ρ（其中ρ是導(dǎo)帶電子態(tài)密度，c是依賴于材料的常數(shù)，kB為Boltzmann常數(shù)，可以設(shè)為1），則由TK=ρ?1e?1/Jρ，必然要求

其中ρ可以由對(duì)應(yīng)的非磁性材料（如CeCoIn5對(duì)應(yīng)LaCoIn5）的低溫比熱系數(shù)γ得到，Kondo溫標(biāo)TK則可以通過(guò)稀磁極限下的電阻、比熱等測(cè)量結(jié)果，在考慮到摻雜引起的體積修正后估計(jì)。如Ce0.01La0.99CoIn5，其中Ce離子間的f電子自旋相互作用可以忽略，從而表現(xiàn)為單雜質(zhì)Kondo效應(yīng)，通過(guò)適量加壓可以對(duì)體積改變進(jìn)行修正。由于J與TK之間是對(duì)數(shù)依賴關(guān)系，TK的實(shí)驗(yàn)誤差對(duì)J的估計(jì)值影響很小。

圖3.一些重費(fèi)米子材料的T?、TK和態(tài)密度ρ的關(guān)系[48]。其中虛線由公式(8)給定，實(shí)線為CeRhIn5從1 GPa到5 GPa的結(jié)果，圖中誤差表示T?估計(jì)值的不確定性

從圖3中可以看出，這些材料雖然具有不同的晶格結(jié)構(gòu)和晶體場(chǎng)基態(tài)，但是實(shí)驗(yàn)所得的T?和TK都近似滿足公式（8），并且具有相近的比例系數(shù)：c≈0.45。特別是圖3中還給出了CeRhIn5隨壓力變化從1 GPa到5 GPa的數(shù)據(jù)（1GPa以下由于晶體場(chǎng)效應(yīng)的影響無(wú)法從電阻準(zhǔn)確估計(jì)T?），雖然TK改變了近兩個(gè)數(shù)量級(jí)，所得曲線仍然和公式（8）一致，支持特征溫標(biāo)T?起源于RKKY相互作用，而非傳統(tǒng)所認(rèn)為的Kondo溫度。

以上結(jié)果表明，f電子間的磁交換作用在Kondo晶格物理中發(fā)揮了關(guān)鍵作用，把局域的雜化效應(yīng)傳遞到了整個(gè)晶格，導(dǎo)致了f電子與導(dǎo)帶電子之間的非局域糾纏和集體響應(yīng)。由此產(chǎn)生的重電子復(fù)合態(tài)不同于單雜質(zhì)Kondo共振態(tài)在空間上的簡(jiǎn)單疊加，而是晶格自旋和導(dǎo)帶電子集體協(xié)同的結(jié)果，包含了晶格自旋之間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，是一種全新的量子物態(tài)。

B.正常態(tài)物性

二流體理論可以定性或定量地解釋重費(fèi)米子正常態(tài)的一些反常現(xiàn)象，如：

1.磁化率低溫下偏離居里–外斯定律；

2.核磁共振奈特位移低溫下偏離對(duì)靜態(tài)磁化率的線性關(guān)系；

3.自旋–晶格弛豫率隨溫度發(fā)生斜率的改變；

4.磁熵低溫下被抑制；

5.電阻率溫度曲線上的相干峰；

6.點(diǎn)接觸譜的低溫非對(duì)稱線型（Fano線型）；

7.拉曼譜線型的低溫變化。

這些現(xiàn)象在重費(fèi)米子材料中具有普遍性，很早已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)，但是一直缺乏比較系統(tǒng)的理論解釋。比如電阻率溫度曲線上的相干峰一般歸結(jié)為晶格Kondo效應(yīng)，而磁化率在相似溫度處對(duì)居里–外斯定律的偏離則在文獻(xiàn)中普遍被解釋為由晶體場(chǎng)效應(yīng)導(dǎo)致。

2008年，Yang等人[48]分析了近三十種重費(fèi)米子材料的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)這些反?，F(xiàn)象均發(fā)生在共同的特征溫標(biāo)T?處，因而應(yīng)有共同的物理起源。在這一節(jié)中，我們將利用二流體理論對(duì)這些反常現(xiàn)象給出一個(gè)比較系統(tǒng)的解釋。

1.磁性質(zhì)

a.磁化率和奈特位移反常

在NMR實(shí)驗(yàn)中，帶自旋的原子核的能級(jí)在外加磁場(chǎng)下會(huì)出現(xiàn)塞曼（Zeeman）劈裂，但是核自旋與周圍極化電子的自旋之間的超精細(xì)耦合會(huì)使得能級(jí)出現(xiàn)額外的改變，即奈特位移。一般來(lái)說(shuō)，金屬中奈特位移K和電子的磁化率χ呈線性關(guān)系：K=K0+Aχ。其中A為與溫度無(wú)關(guān)的超精細(xì)耦合常數(shù)，K0為常數(shù)項(xiàng)，通常起源于軌道的貢獻(xiàn)[61]。但是在重費(fèi)米子材料中，以圖4所示的CeCoIn5為例[62]，這一線性關(guān)系只在高溫時(shí)成立，當(dāng)溫度降到T?以下時(shí)就發(fā)生了偏離。由于在重費(fèi)米子材料中，對(duì)磁化率的主要貢獻(xiàn)來(lái)源于f電子，導(dǎo)帶電子的貢獻(xiàn)可以忽略，文獻(xiàn)中往往認(rèn)為是晶體場(chǎng)效應(yīng)引起的f電子的軌道分布隨溫度發(fā)生了變化，導(dǎo)致了這一反常偏離。

圖4.CeCoIn5不同原子核上測(cè)量的奈特位移和磁化率（實(shí)線）的對(duì)比，在T?≈50 K時(shí)二者偏離線性關(guān)系[62]

二流體理論對(duì)此給出了新的解釋[46，47]：假設(shè)Kondo液體和自旋液體與原子核之間具有不同的超精細(xì)耦合常數(shù)A和B，則它們對(duì)磁化率χ和奈特位移K就會(huì)有不同的貢獻(xiàn)∶

和

其中χKL和χSL分別表示Kondo液體和自旋液體的摩爾磁化率。在T?以上，只有局域磁矩構(gòu)成的自旋液體（導(dǎo)帶電子的貢獻(xiàn)為常數(shù)，且比較小可以忽略），f（T）=0，因此奈特位移與磁化率之間顯示為線性關(guān)系K=K0+Bχ。而在T?以下，Kondo液體出現(xiàn)，由于χKL?=0，奈特位移與磁化率之間不再具有線性關(guān)系，出現(xiàn)反常：

如果我們進(jìn)一步假設(shè)Kondo液體貢獻(xiàn)的總磁化率f（T）χKL正比于其態(tài)密度，則奈特位移反常具有如公式（6）所示的普適溫度依賴行為。圖5比較了十幾種材料中奈特位移反常的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[47]，我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，奈特位移反常隨溫度變化的確呈現(xiàn)普適的演化關(guān)系，不依賴于材料的細(xì)節(jié)，在很大的溫度區(qū)間內(nèi)符合二流體理論的預(yù)言。這種不依賴于具體材料的晶格和電子結(jié)構(gòu)的普適行為意味著奈特位移反常與晶體場(chǎng)效應(yīng)無(wú)關(guān)，從而為二流體理論提供了重要的實(shí)驗(yàn)支持，同時(shí)表明巡游重電子的產(chǎn)生遵循某種與具體材料無(wú)關(guān)的普遍性的組織原則。

圖5.一些重費(fèi)米子材料中奈特位移反常隨溫度的演化[47]。實(shí)線為Kondo液體的態(tài)密度

b.自旋–晶格弛豫率

按照一般的Moriya公式[63]，NMR/NQR實(shí)驗(yàn)中的自旋–晶格弛豫率1/T1與動(dòng)力學(xué)磁化率χ（q，ω）之間滿足如下關(guān)系：

其中γ為原子核的旋磁比，F(xiàn)（q）為與晶格相關(guān)的結(jié)構(gòu)因子?？梢韵胂?，兩種流體的存在意味著自旋–晶格弛豫率也有兩個(gè)來(lái)源，與巡游重電子和晶格自旋液體的耦合均會(huì)導(dǎo)致核自旋的弛豫[64]，

其中T1SL和T1KL分別對(duì)應(yīng)晶格自旋液體和巡游重電子的本征貢獻(xiàn)。圖6給出了CeCoIn5的自旋–晶格弛豫率1/T1在不同壓強(qiáng)下的測(cè)量結(jié)果[64]。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在很多重費(fèi)米子材料中，T1在T?之上都不隨溫度變化，意味著T1SL是與溫度無(wú)關(guān)的常數(shù)。將這一結(jié)論推廣到低溫，利用以上公式對(duì)CeCoIn5的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，T1KLT～T+T0，其中T0為常數(shù)。這一結(jié)果類似于在銅氧化物超導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)的二維反鐵磁量子臨界漲落的行為，其中T0表征系統(tǒng)偏離量子臨界點(diǎn)的距離。圖6中實(shí)線為采用上述公式擬合所得曲線，我們看到理論與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果吻合；點(diǎn)線是晶格自旋液體的貢獻(xiàn)，低溫下對(duì)實(shí)驗(yàn)值的偏離反映了重電子的貢獻(xiàn)。

圖6.CeCoIn5在不同壓力下的自旋–晶格弛豫率隨溫度的變化[64]。實(shí)線為理論擬合，虛線為局域磁矩的貢獻(xiàn)。插圖給出了T1(T?)隨T?的變化

圖7.一些重費(fèi)米子材料的自旋–晶格弛豫率與(1? T/T?)3/2的線性關(guān)系[65]。箭頭表示對(duì)線性關(guān)系的偏離

在量子臨界點(diǎn)附近，T0≈0，因而在很大的溫度區(qū)間里（T?T0），T1KL近似為常數(shù)。結(jié)合f（T）的公式，二流體理論預(yù)言1/T1也具有普適的溫度演化[65]：

圖7將幾種材料在量子臨界點(diǎn)附近的1/T1與（1?T/T?）3/2對(duì)比[65]，發(fā)現(xiàn)這些材料在很大溫度范圍內(nèi)的確滿足以上公式預(yù)言的線性關(guān)系，進(jìn)一步驗(yàn)證了自旋–晶格弛豫率的二流體公式。

2.熱性質(zhì)

溫度高于T?時(shí)，f電子完全局域化，假若基態(tài)為二重態(tài)，則磁熵接近飽和值Rln2（R為氣體常數(shù)）。溫度低于T?時(shí)，部分f電子與導(dǎo)帶電子集體雜化（糾纏），形成巡游重電子[49]。因而在二流體理論中，總磁熵應(yīng)該是兩種流體的貢獻(xiàn)之和：

公式中SSL和SKL分別代表局域磁矩和巡游重電子的本征磁熵。對(duì)溫度求導(dǎo)數(shù)得到比熱系數(shù)，

與公式（3）不同，此表達(dá)式中多出了f（T）的溫度導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，反映了兩種流體的權(quán)重隨溫度變化的效應(yīng)。公式中巡游重電子的比熱系數(shù)滿足普適的標(biāo)度關(guān)系CKL/T∝[1+ln（T?/T）]，對(duì)溫度積分可得SKL（T）∝T[2+ln（T?/T）]。假設(shè)f電子從局域磁矩到巡游重電子的轉(zhuǎn)變是連續(xù)的，不存在熵變，則SKL（T?）= SSL（T?）=Rln2，可以得到T?以下重電子的磁熵為[49]∶

如果低溫存在磁性等長(zhǎng)程序，則Kondo液體的普適標(biāo)度律不再成立，以上公式在低溫下需要修正。同樣若f電子完全退局域化，在低溫下形成重費(fèi)米液體，則比熱系數(shù)中的對(duì)數(shù)發(fā)散會(huì)被截?cái)啵僭O(shè)截?cái)鄿囟葹門L，則f（T＜TL）=1，在此溫度之下體系中只存在Kondo液體，總的低溫比熱系數(shù)可以近似估計(jì)為

其中TL的具體數(shù)值可由實(shí)驗(yàn)確定（見III.C節(jié)）。一般情況下，必須要考慮到局域磁矩的貢獻(xiàn)。如果我們?nèi)∫粋€(gè)粗糙的近似，SSL（T）=Rln2，認(rèn)為正常態(tài)下局域磁矩的內(nèi)稟熵不隨溫度變化，則結(jié)合公式（16）可以計(jì)算出總的比熱系數(shù)。圖8對(duì)比了幾種重費(fèi)米子材料的低溫比熱系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與理論預(yù)言值，兩者之間總體上符合[49]。

圖8.幾種重費(fèi)米子材料的比熱系數(shù)的理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)比[49]

3.電輸運(yùn)性質(zhì)

(1)霍爾系數(shù)

重費(fèi)米子材料的霍爾系數(shù)具有非常復(fù)雜的溫度依賴行為，長(zhǎng)期以來(lái)缺乏系統(tǒng)的理論解釋。1987年，F(xiàn)ert和Levy提出晶格上局域自旋會(huì)對(duì)導(dǎo)帶電子產(chǎn)生斜散射（skew scattering）[66]，導(dǎo)致霍爾系數(shù)出現(xiàn)反常溫度依賴：Rs=rlρχ，其中rl是常數(shù)，ρ為縱向電阻，χ是磁化率?？偟幕魻栂禂?shù)為：RH=R0+Rs，其中R0來(lái)源于導(dǎo)帶電子的正常貢獻(xiàn)。Fert和Levy的理論很好地解釋了霍爾系數(shù)在高溫區(qū)的溫度變化，但是卻無(wú)法解釋T?以下的行為。

2004年，Hundley等人發(fā)現(xiàn)CeMIn5（M=Co，Rh，Ir）系列材料的霍爾系數(shù)在高溫幾乎不隨溫度變化，意味著斜散射的效應(yīng)可以忽略，即rl≈0，但是在低溫下卻出現(xiàn)反常增大[67]。2008年，Yang和Pines分析了他們的數(shù)據(jù)[48]，發(fā)現(xiàn)霍爾系數(shù)的反常增加恰好出現(xiàn)在相干溫度T?以下，并且其溫度依賴行為與二流體理論預(yù)言的重電子普適標(biāo)度律一致，如圖9所示[49]，表明Kondo液體對(duì)霍爾系數(shù)的貢獻(xiàn)不遵循Fert和Levy提出的斜散射規(guī)律，而是與電阻無(wú)關(guān)，只與Kondo液體的磁化率成正比。2009年，Yang由此提出重費(fèi)米子霍爾系數(shù)的二流體公式[68]：

公式右邊的rlρχl和rhχh兩項(xiàng)分別是局域磁矩和重電子的貢獻(xiàn)，具有不同的規(guī)律，其中χl=[1?f（T）]χSL和χh=f（T）χKL為兩種流體各自對(duì)磁化率的貢獻(xiàn)，實(shí)驗(yàn)上可以通過(guò)對(duì)奈特位移與磁化率的聯(lián)合分析確定。高溫時(shí)只有f局域磁矩，因而霍爾系數(shù)與磁化率和電阻的乘積成線性關(guān)系，，回歸到Fert和Levy的斜散射公式；而在T?以下的相干區(qū)，新出現(xiàn)的巡游重電子的不同貢獻(xiàn)，導(dǎo)致了對(duì)Fert和Levy的公式的偏離。圖10給出了對(duì)URu2Si2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的理論擬合[68]，公式中的R0和rl可以通過(guò)高溫（T＞T?）擬合得到，因而低溫下只有一個(gè)自由參數(shù)rh，但在18.5 K低溫隱藏序出現(xiàn)以上的整個(gè)溫度區(qū)間內(nèi)都給出了與實(shí)驗(yàn)定量符合的結(jié)果。

圖9.CeMIn5和Ce1?xLaxCoIn5的霍爾系數(shù)隨溫度變化的標(biāo)度行為[49]

圖10.URu2Si2霍爾系數(shù)隨溫度的變化[68]。實(shí)線為理論擬合，虛線代表Kondo液體和局域磁矩斜散射的貢獻(xiàn)。插圖中χ、χl、χh對(duì)應(yīng)總磁化率和二流體分析給出的局域磁矩及重電子對(duì)磁化率的貢獻(xiàn)

可以看到，兩種流體對(duì)霍爾系數(shù)的貢獻(xiàn)具有非常不同的溫度依賴性，因而總的霍爾系數(shù)表現(xiàn)出復(fù)雜的溫度依賴行為，缺乏簡(jiǎn)單的規(guī)律性，阻礙了理論認(rèn)識(shí)的發(fā)展。在CeMIn5系列材料中，局域磁矩的貢獻(xiàn)由于未知的原因被抑制，重電子Kondo液體的貢獻(xiàn)才顯現(xiàn)出來(lái)，展現(xiàn)出簡(jiǎn)單的標(biāo)度行為，使得對(duì)霍爾系數(shù)的進(jìn)一步分析成為可能。

(2)Fano干涉效應(yīng)

在點(diǎn)接觸譜（PCS）和掃描隧道譜（STS）中，微分電導(dǎo)dI/dV可以反映出體系中的集體激發(fā)和載流子的態(tài)密度等重要性質(zhì)。對(duì)重費(fèi)米子材料的PCS的實(shí)驗(yàn)研究已經(jīng)有三十年的歷史[69]，STS的研究在最近幾年也有突破性的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展[70～72]，都發(fā)現(xiàn)電導(dǎo)譜在低溫下普遍呈現(xiàn)非對(duì)稱的線型（如CeCu6[73]，CeCoIn5[74，75]等）。

2009年，Yang基于導(dǎo)帶電子和f電子的雜化圖像在理論上預(yù)言了重電子的Fano干涉效應(yīng)[76]：低溫下，重費(fèi)米子體系中的導(dǎo)帶電子與f電子局域磁矩集體雜化，使得f電子產(chǎn)生退局域化，從而探針中的電子可以通過(guò)兩個(gè)通道進(jìn)入重費(fèi)米子材料，或直接隧穿到導(dǎo)帶，或隧穿到晶格上的f能帶。如圖11所示，類似于光的雙縫干涉效應(yīng)，入射電子在這兩個(gè)通道之間也會(huì)發(fā)生干涉[77]。

圖11.重費(fèi)米子Fano干涉效應(yīng)示意圖。tf和tc分別表示掃描隧道顯微鏡（STM）探針中的電子進(jìn)入f能帶和導(dǎo)帶兩個(gè)不同通道的隧穿系數(shù)

理論上，低溫下導(dǎo)帶電子與f電子之間發(fā)生集體雜化，將f電子的能級(jí)重整化到了費(fèi)米能級(jí)附近，在隸玻色子方法近似下，體系的低能有效哈密頓量可以寫為

其中ckm和fkm是第m個(gè)軌道（自旋）上的導(dǎo)帶電子和f電子的湮滅算符，ε0和V是重整化后的f能級(jí)及其與導(dǎo)帶電子的雜化強(qiáng)度。假設(shè)金屬探針與樣品間的耦合可通過(guò)以下哈密頓量來(lái)描述，

其中t是探針上電子的湮滅算符，M是隧穿矩陣，簡(jiǎn)單計(jì)算可得體系的微分電導(dǎo)為

其中f（E）是費(fèi)米分布函數(shù)，g0為背景電導(dǎo)，T（E）具有Fano線型

其中參數(shù)q=Mfkm/Mckm代表探針與兩個(gè)不同通道間的有效耦合強(qiáng)度的比率，=（E?ε0）/V，gI（E）是一個(gè)與能量有關(guān)的系數(shù)：

其中ρt為金屬探針的態(tài)密度，εik為第i個(gè)雜化能帶。在STS實(shí)驗(yàn)中，由于空間上的局域性，每個(gè)k點(diǎn)的隧穿幾率相同，Mckm無(wú)動(dòng)量依賴性，所以gI（E）正比于態(tài)密度，從而可以明顯地看出導(dǎo)帶與f能帶之間的雜化能隙。而在PCS實(shí)驗(yàn)中，不同的k點(diǎn)具有不同的隧穿幾率，gI（E）是動(dòng)量空間的加權(quán)平均，具有比較復(fù)雜的形式，不能簡(jiǎn)單地反映態(tài)密度的信息，再加上熱或關(guān)聯(lián)效應(yīng)，電導(dǎo)曲線上的能隙往往被抹平。假設(shè)gI（E）是常數(shù)，則如圖12所示[62]，在q=0或∞的極限下，探針只與導(dǎo)帶或f電子單獨(dú)耦合，微分電導(dǎo)dI/dV曲線在零偏壓處出現(xiàn)共振峰或谷；而對(duì)一般的q，兩個(gè)通道之間存在干涉，會(huì)導(dǎo)致特定偏壓下電導(dǎo)被抑制，出現(xiàn)典型的非對(duì)稱Fano線型。

圖13給出了對(duì)CeCoIn5的PCS實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的理論擬合，在考慮了偏壓和溫度對(duì)平均場(chǎng)參數(shù)的影響后，利用Fano線型公式很好地解釋了PCS隨溫度和偏壓的變化[76]。在一些材料中，電導(dǎo)曲線在很高溫度時(shí)已經(jīng)顯現(xiàn)出非對(duì)稱性，這可能是由于導(dǎo)帶電子態(tài)密度的非對(duì)稱性或晶體場(chǎng)效應(yīng)導(dǎo)致。對(duì)YbAl3和CeRhIn5等材料的實(shí)驗(yàn)分析表明[48]，非對(duì)稱性在T?之下伴隨重電子的出現(xiàn)才變得更為顯著。Fano效應(yīng)揭示了巡游重電子作為復(fù)合粒子的物理本質(zhì)，與二流體的理論預(yù)期一致。

在Yang的工作之后，有更多的理論[78，79]和實(shí)驗(yàn)[72，80～82]都證實(shí)了重費(fèi)米子材料中的Fano干涉現(xiàn)象，特別是在URu2Si2隱藏序[83]和SmB6表面態(tài)[84，85]的研究中也發(fā)現(xiàn)了Fano線型，為理解兩種復(fù)雜現(xiàn)象的物理機(jī)理提供了重要信息。

圖12.微分電導(dǎo)隨偏壓的Fano曲線示意圖[62]，q是Fano參數(shù)

圖13.CeCoIn5在不同溫度下的點(diǎn)接觸電導(dǎo)譜的理論擬合（實(shí)線）[76]

C.低溫有序態(tài)

二流體圖像成功描述了重費(fèi)米子材料正常態(tài)的物理性質(zhì)，解釋了許多令人困惑的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。2012年，Yang和Pines考慮到兩種流體在低溫下的不穩(wěn)定性，將體系低溫下磁或超導(dǎo)等基態(tài)長(zhǎng)程序與二種流體在正常態(tài)的溫度演化聯(lián)系起來(lái)[49，86]，提出了新的二流體理論框架，更加全面地描述了重費(fèi)米子物理。

圖14給出了二流體理論預(yù)言的普適相圖[49]：在特征溫度T?以下廣闊的溫度區(qū)間和壓強(qiáng)范圍內(nèi)同時(shí)存在著重電子Kondo液體和局域自旋液體，兩種流體既共存又競(jìng)爭(zhēng)，在低溫下由于各自磁或電的不穩(wěn)定性而形成各種不同的有序態(tài)，如自旋液體可以產(chǎn)生局域的磁性序，Kondo液體可以形成超導(dǎo)、巡游磁性序或費(fèi)米液體態(tài)等等。在二流體理論框架下，雜化效率f0是調(diào)節(jié)基態(tài)的重要參量，受到外界壓力或磁場(chǎng)的調(diào)控。f0的大小決定了f電子巡游或局域部分的權(quán)重：

圖14.二流體理論預(yù)言的重費(fèi)米子相圖[49]

1.當(dāng)f0＞1時(shí)，雜化較強(qiáng)，所有f電子在一定溫度TL之下都轉(zhuǎn)化為巡游重電子，在更低溫度時(shí)形成費(fèi)米液體或超導(dǎo)。TL即為退局域化溫度，滿足f（TL）=1，其大小與f0相關(guān)。

2.當(dāng)f0＜1時(shí)，雜化較弱，f（T）在零溫時(shí)也小于1，因而低溫下一直存在由未雜化的f電子形成的局域磁矩。這些剩余磁矩受RKKY交換作用的影響，在有限溫度TN下會(huì)形成局域的磁長(zhǎng)程序。實(shí)驗(yàn)表明，在反鐵磁相變附近部分巡游重電子可能會(huì)發(fā)生重新局域化[87，88]，未重新局域化的巡游重電子在更低溫度下有可能形成超導(dǎo)，導(dǎo)致超導(dǎo)與反鐵磁共存。

3.f0=1時(shí)，f電子在零溫處完全退局域化，體系處于量子臨界點(diǎn)附近，強(qiáng)烈的量子臨界漲落可能會(huì)誘導(dǎo)巡游重電子發(fā)生超導(dǎo)配對(duì)。

雜化效率f0的大小也會(huì)影響到正常態(tài)，因而在二流體理論中，低溫基態(tài)與高溫正常態(tài)的行為之間存在密切關(guān)系。下面我們將結(jié)合圖14，從費(fèi)米液體、磁有序態(tài)、量子臨界行為、超導(dǎo)四個(gè)方面介紹二流體理論對(duì)重費(fèi)米子低溫有序態(tài)的理解。

1.費(fèi)米液體

如上所述，f（TL）=1定義了退局域化溫度TL，

在TL之下所有的f電子都從局域磁矩轉(zhuǎn)變?yōu)榱搜灿沃仉娮覽49]。上式要求f0≥1：當(dāng)f0=1時(shí)，TL=0，實(shí)驗(yàn)表明此處費(fèi)米面會(huì)發(fā)生突變[89]；而當(dāng)f0＞1時(shí)，TL＞0，費(fèi)米面的變化是漸進(jìn)的，在TL附近存在很強(qiáng)的漲落，巡游重電子受到強(qiáng)烈的散射，導(dǎo)致在TL附近表現(xiàn)為反常的費(fèi)米液體行為，引起一系列的反?，F(xiàn)象，如電阻系數(shù)出現(xiàn)峰值（如CeCoIn5[90]），霍爾系數(shù)發(fā)生較大的變化（如YbRh2Si2[91]）等等。在更低溫度TFL下，才開始出現(xiàn)定義良好的準(zhǔn)粒子，表現(xiàn)出傳統(tǒng)的朗道費(fèi)米液體行為，即電阻呈現(xiàn)T2的依賴關(guān)系。在此費(fèi)米液體區(qū)，二流體理論有一些定量的預(yù)言。圖8對(duì)比了一些材料中的低溫比熱系數(shù)，理論預(yù)期與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致[49]。

2.磁有序態(tài)

在平均場(chǎng)近似下，局域自旋液體的磁化率可以用公式（7）來(lái)描述。當(dāng)f0＜1時(shí)，fl（0）=0，零溫下剩余未雜化的局域磁矩可以形成磁有序態(tài)，轉(zhuǎn)變溫度TN滿足：

即，

其中Q為磁性長(zhǎng)程序的波矢，參數(shù)η=CzJQ/T?反映了阻挫對(duì)TN的影響，fl（TN）=1?f（TN）則反映了集體雜化對(duì)TN的抑制。二流體理論進(jìn)一步預(yù)言，f電子在形成磁性序時(shí)的有效局域磁矩被削減為，

結(jié)合兩式得到，

以CeRhIn5為例，隨著外加壓力的增加，T?升高，而μ變小，因此TN（p）有一個(gè)極大值，如圖14所示[49]。圖15給出了CeRhIn5的TN和有效磁矩等隨壓力變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[49]，實(shí)線或虛線為理論擬合，二者基本符合。

圖15.CeRhIn5的Nel溫度TN和有效磁矩[92，93]的理論擬合（線）[49]

3.量子臨界行為

在量子臨界區(qū)，體系的低能激發(fā)不僅僅包含了磁性序參量的漲落，也包含了費(fèi)米子自由度的低能激發(fā)，呈現(xiàn)出復(fù)雜的反常量子臨界現(xiàn)象，電阻、磁化率、比熱等物理量也隨溫度出現(xiàn)非常規(guī)的標(biāo)度行為[94，95]，迄今仍缺乏比較系統(tǒng)的理論解釋。二流體理論包含局域自旋的磁性漲落和費(fèi)米面附近的巡游重電子，可以同時(shí)處理兩種自由度及其相互作用，有可能為理解重費(fèi)米子材料中的反常量子臨界現(xiàn)象提供新的思路。在這一節(jié)中，我們簡(jiǎn)要介紹一些相關(guān)的研究進(jìn)展，主要是量子臨界點(diǎn)在磁場(chǎng)和外加壓力下的移動(dòng)，以及部分物理量的標(biāo)度行為。

我們首先討論量子臨界點(diǎn)在磁場(chǎng)和外加壓力下的移動(dòng)。在一些重費(fèi)米子材料如CeCoIn5和YbRh2Si2中，實(shí)驗(yàn)表明[90，96，97]反鐵磁量子臨界點(diǎn)會(huì)隨外加磁場(chǎng)改變，即臨界壓力pc是磁場(chǎng)的函數(shù)，從而在p?H相圖上形成一條量子臨界線，如圖16（a）和圖17（a）所示[98]。在二流體理論中，局域磁性序的量子臨界點(diǎn)由方程f0（p，H）=1決定，此處退局域化溫度TL=0，f電子的局域性完全被抑制，局域反鐵磁序消失。對(duì)壓力和磁場(chǎng)作微擾展開，假設(shè)[98]

則量子臨界點(diǎn)的位置滿足：

圖16（a）和圖17（a）給出了對(duì)CeCoIn5和YbRh2Si2的量子臨界線的理論擬合[98]，發(fā)現(xiàn)對(duì)CeCoIn5，α=2；而對(duì)YbRh2Si2，α=0.8。不同的α值表明兩種材料具有非常不同的量子臨界行為。

圖16.(a)CeCoIn5的p?H相圖和對(duì)量子臨界線的理論擬合（實(shí)線）；(b)CeCoIn5的T?H相圖和對(duì)退局域化溫度TL(H)的理論擬合（實(shí)線）[98]

在有限溫度下，固定外界壓力，可以得到退局域化溫度TL隨磁場(chǎng)的變化，即

Yang和Pines進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，量子臨界點(diǎn)附近電子的有效質(zhì)量和比熱系數(shù)隨磁場(chǎng)滿足如下標(biāo)度行為：

圖17.(a)YbRh2Si2的p?H相圖和對(duì)量子臨界線的理論擬合（實(shí)線），插圖為對(duì)反鐵磁轉(zhuǎn)變溫度TN(p)的理論擬合（實(shí)線）；(b)YbRh2Si2的T?H相圖和對(duì)退局域化溫度TL(H)及TN(H)的理論擬合（實(shí)線）[98]

如果取Kadowaki-Woods比率A（H）/γ（H）2為常數(shù)（其中A（H）為電阻系數(shù)：ρ（H，T）=ρ0+A（H）T2），則有

其中A0是與磁場(chǎng)無(wú)關(guān)的系數(shù)。圖18給出了對(duì)YbRh2Si2的電阻系數(shù)的理論擬合[98]，驗(yàn)證了以上公式。

圖18.YbRh2Si2的電阻系數(shù)隨磁場(chǎng)變化的實(shí)驗(yàn)與理論（實(shí)線）比較[98]

以上結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了二流體理論。目前實(shí)驗(yàn)認(rèn)為，CeCoIn5中的量子臨界點(diǎn)為自旋密度波（SDW）類型[100]，而YbRh2Si2則呈現(xiàn)非常規(guī)的局域量子臨界行為[101]。這兩類不同的量子臨界行為體現(xiàn)在特征參數(shù)α的不同取值上，其物理意義有待更深入的研究。

4.超導(dǎo)

在量子臨界點(diǎn)附近，局域反鐵磁序被抑制，其低能量子臨界自旋漲落可能誘導(dǎo)巡游重電子產(chǎn)生超導(dǎo)配對(duì)[102]。NMR實(shí)驗(yàn)揭示了重電子的量子臨界自旋漲落在超導(dǎo)凝聚中發(fā)揮的關(guān)鍵作用。

以CeCoIn5為例，二流體分析發(fā)現(xiàn)[64]，NMR奈特位移反常在超導(dǎo)溫度Tc之上具有普適的Kondo液體標(biāo)度行為，不依賴于實(shí)驗(yàn)中所測(cè)量的原子核，反映了重電子的本征溫度演化；而在Tc之下，則出現(xiàn)BCS理論預(yù)言的d波超導(dǎo)的典型行為，表明低溫超導(dǎo)相確實(shí)是重電子Kondo液體的凝聚。理論擬合得到的超導(dǎo)能隙?（0）/Tc～4.5及比熱躍變?C/C～4，均和其他實(shí)驗(yàn)符合[100，103]。同時(shí)，利用公式（14）對(duì)自旋–晶格弛豫率的分析也發(fā)現(xiàn)，重電子的自旋–晶格弛豫率1/T1KL在T?之下滿足[53，64]

類似于銅基超導(dǎo)中的準(zhǔn)二維磁性量子臨界漲落，揭示了CeCoIn5中重電子的隱藏的磁性量子臨界行為。我們認(rèn)為這是導(dǎo)致重電子超導(dǎo)配對(duì)的微觀根源。這一結(jié)果與最近基于STM、NMR和中子散射實(shí)驗(yàn)進(jìn)行的理論分析一致[104]。

在此基礎(chǔ)上，Yang和Pines推廣了早期銅氧化物高溫超導(dǎo)中自旋漲落誘導(dǎo)超導(dǎo)配對(duì)的圖像，并結(jié)合二流體理論，提出重費(fèi)米子超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度Tc滿足[86]：

其中κ（p）=NF（p，Tc）T?是無(wú)量綱的態(tài)密度，η（p）=V（p）/T?反映了準(zhǔn)粒子與自旋漲落之間的耦合強(qiáng)度。為超導(dǎo)峰值處的特征相干溫度，代表了自旋漲落的特征能量，類似于BCS理論中的Debye頻率。引入是由于實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)重費(fèi)米子材料的最高Tc與之間存在標(biāo)度關(guān)系[86，105]。

以上公式中，由于態(tài)密度隨溫度降低呈對(duì)數(shù)發(fā)散，其截?cái)鄿囟戎苯佑绊懥薚c的大小。分析表明，超導(dǎo)相隨外加壓力呈現(xiàn)穹頂（dome）結(jié)構(gòu)，并且如圖19所示，可以劃分為三個(gè)區(qū)域[86]：

1.當(dāng)p＞pL時(shí)，超導(dǎo)相之上為費(fèi)米液體。截?cái)鄿囟萒L（p）隨著壓力增加而變大，低溫下重電子的態(tài)密度隨之降低，導(dǎo)致Tc隨壓力的增加而下降。

圖19.二流體理論預(yù)言的重費(fèi)米子超導(dǎo)相圖[86]。在區(qū)域I中，TL以下局域磁矩與導(dǎo)帶電子完全雜化，只有巡游重電子存在；在區(qū)域II中，集體雜化不完全，巡游重電子和剩余的局域磁矩共存；在區(qū)域III中，TN以下剩余的局域磁矩形成反鐵磁序，同時(shí)仍然存在著重電子。在Tc以下，量子臨界漲落誘導(dǎo)重電子配對(duì)形成超導(dǎo)(SC)

2.當(dāng)p＜pN時(shí)，截?cái)鄿囟葹門N（p）或T0（p），f電子隨壓力減小趨向局域化，重電子權(quán)重減少，態(tài)密度減小，Tc也隨之降低。在此區(qū)域中，由于同時(shí)存在局域和巡游的f電子，可能出現(xiàn)局域反鐵磁序與超導(dǎo)相共存。

3.在量子臨界點(diǎn)附近，截?cái)鄿囟葹門c（p）自身，超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度必須通過(guò)公式（39）自洽求解。

上述公式定量預(yù)言了Tc對(duì)壓力的依賴行為，并且由于κ（p）在實(shí)驗(yàn)上可以通過(guò)比熱測(cè)量估計(jì)，η（p）與壓力近似無(wú)關(guān)，可以由超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度的最大值估計(jì)，因而公式中沒有多余的自由參數(shù)。圖20給出了對(duì)CeCoIn5和CeRhIn5的理論擬合[86]，與實(shí)驗(yàn)定量相符。這又一次驗(yàn)證了二流體理論的有效性，同時(shí)表明在二流體理論框架下，將量子臨界漲落與準(zhǔn)粒子的重整化兩種強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)分開作簡(jiǎn)化近似處理是可行的，抓住了重費(fèi)米子超導(dǎo)的本質(zhì)物理。

IV.實(shí)驗(yàn)進(jìn)展

重費(fèi)米子二流體理論不但解釋了眾多先前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，也得到了一些新實(shí)驗(yàn)的支持，本章將介紹幾個(gè)典型的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展。

A.角分辨光電子能譜

角分辨光電子能譜（ARPES）提供了重電子溫度演化的直接信息。2012年，沈志勛組利用ARPES對(duì)YbRh2Si2中重電子態(tài)的溫度演化進(jìn)行了細(xì)致的測(cè)量和分析[106]，發(fā)現(xiàn)在T?=50±10 K以下重電子態(tài)開始出現(xiàn)并隨溫度降低逐漸增強(qiáng)，與二流體理論的預(yù)言一致。圖21給出了他們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[106]?？梢钥吹?，在45 K以下，費(fèi)米能附近逐漸出現(xiàn)了一個(gè)新的準(zhǔn)粒子峰，對(duì)應(yīng)于新形成的巡游f電子，其譜權(quán)重在T?以下隨溫度降低逐漸增強(qiáng)。

目前，理論上對(duì)重電子及其費(fèi)米面的溫度演化尚存在不同認(rèn)識(shí)，利用ARPES測(cè)量實(shí)際重費(fèi)米子材料中的費(fèi)米面演化是一個(gè)重要的前沿課題。

圖20.CeCoIn5和CeRhIn5的p?T相圖[86]。實(shí)線為二流體理論的擬合

B.繆介子自旋共振

2009年，Ohishi等人借助繆介子自旋共振（μSR）對(duì)重費(fèi)米子材料（Ce1?xLax）2IrIn8進(jìn)行了系統(tǒng)的測(cè)量[107]。他們發(fā)現(xiàn)在所有的樣品中，繆介子奈特位移在一定溫度下都會(huì)偏離與磁化率的線性關(guān)系。他們排除了晶體場(chǎng)效應(yīng)的影響，得到了類似于核磁共振奈特位移反常的現(xiàn)象。圖22給出了x≤0.5時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[107]，μSR奈特位移反常完全符合公式（6）給出的Kondo液體普適標(biāo)度律，為二流體理論提供了有力支持。

此外，對(duì)CeIrIn5[108]、CePt2In7[109]、U2Pt2Sn[110]等材料的最新研究，以及一些光電導(dǎo)、STM等新的實(shí)驗(yàn)也都驗(yàn)證了二流體理論的預(yù)言。

圖21.YbRh2Si2的角分辨光電子譜[106]。(a)溫度小于45 K時(shí)，在費(fèi)米能附近出現(xiàn)準(zhǔn)粒子峰；(b)溫度低于T?ARPES時(shí)，準(zhǔn)粒子譜權(quán)重隨溫度降低逐漸增強(qiáng)

圖22.(Ce1?xLax)2IrIn8奈特位移反常的標(biāo)度行為[107]，實(shí)線為二流體理論的預(yù)言

C.新材料

二流體理論的預(yù)言在一些新發(fā)現(xiàn)的重費(fèi)米子材料中也得到了驗(yàn)證。此處我們簡(jiǎn)要介紹一種新型的d電子重費(fèi)米子化合物，CaCu3Ir4O12，為中國(guó)科學(xué)院物理研究所的程金光等人最近采用高壓方法合成的鈣鈦礦材料[5]。

如圖23（a）和（b）所示[5]，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)此材料在溫度為80 K時(shí)呈現(xiàn)出一系列的反?，F(xiàn)象：磁化率開始偏離高溫的居里–外斯定律，電阻偏離了與溫度的線性關(guān)系等。這些反?，F(xiàn)象與二流體理論預(yù)言的重費(fèi)米子特征行為非常類似，特別是低溫下，比熱系數(shù)對(duì)溫度呈現(xiàn)對(duì)數(shù)依賴［圖23（c）］，并且磁化率在T?=80 K附近出現(xiàn)平臺(tái)。能帶計(jì)算發(fā)現(xiàn)，Cu2+上只有一個(gè)空穴，占據(jù)了較窄的dxy能帶，存在很強(qiáng)的局域庫(kù)侖相互作用，并且與周圍Ir上較為巡游的d電子能帶雜化。這些研究表明CaCu3Ir4O12與常規(guī)的f電子重費(fèi)米子材料類似，是一種少見的d電子重費(fèi)米子材料。

圖23.CaCu3Ir4O12磁化率χ(T)、電阻ρ(T)、磁性比熱Cm(T)等隨溫度的變化[5]

類似的行為在新近合成的LaCu3Ir4O12材料中也被發(fā)現(xiàn)，同樣符合二流體理論的預(yù)言，其特征溫度T?為150 K[111]。二流體理論所揭示的重費(fèi)米子物理的本質(zhì)特征引導(dǎo)了新型重費(fèi)米子材料的實(shí)驗(yàn)探索。

V.理論進(jìn)展

二流體唯象理論獲得了極大的成功，理解其背后的微觀機(jī)理是目前面臨的首要理論問(wèn)題。在這一章中，我們簡(jiǎn)要介紹相關(guān)的理論探索，包括采用隸玻色子近似、單雜質(zhì)動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論（DMFT）、數(shù)值重整化群（NRG）、行列式量子蒙特卡羅（DQMC）和密度矩陣重整化群（DMRG）等方法進(jìn)行的研究工作。

A.隸玻色子近似

2006年，Barzykin利用隸玻色子近似在大N極限下計(jì)算了周期性Anderson模型的比熱和磁化率，考慮到費(fèi)米面附近較為平坦的雜化能帶的貢獻(xiàn)，可以將這兩個(gè)量寫作兩分量的形式，從而得到了一個(gè)權(quán)重函數(shù)[112]：

其中nf（εf）是巡游f電子的占據(jù)數(shù)，f（T）代表了二流體理論中局域部分的權(quán)重。這一結(jié)果雖然定量上與二流體理論的唯象預(yù)言不符，并且還忽略了f電子間很強(qiáng)的RKKY交換關(guān)聯(lián)效應(yīng)，但物理圖像簡(jiǎn)單清晰，值得進(jìn)一步研究。二流體理論的微觀描述的建立，最終可能需要引入新的平均場(chǎng)近似方案。

B.單雜質(zhì)DMFT

2007年，Kotliar小組利用單雜質(zhì)DMFT結(jié)合第一性原理方法，首次對(duì)CeIrIn5的4f電子能譜進(jìn)行了細(xì)致的計(jì)算分析[35]。他們發(fā)現(xiàn)f電子在室溫時(shí)緊密地束縛在Ce離子周圍，表現(xiàn)出完全的局域性，其譜權(quán)重主要聚集在能量?2.5 eV和3 eV附近，在費(fèi)米面處幾乎為零。直到50 K以下，f電子的態(tài)密度才隨著溫度降低快速增加，在費(fèi)米面處逐漸形成一個(gè)尖銳的準(zhǔn)粒子峰，呈現(xiàn)出巡游的性質(zhì)。Yang和Pines發(fā)現(xiàn)此準(zhǔn)粒子峰的高度隨溫度的變化與二流體理論預(yù)言的Kondo液體態(tài)密度的溫度演化行為一致（圖24）[47]，后來(lái)的計(jì)算更進(jìn)一步地驗(yàn)證了這一結(jié)果[113]。單雜質(zhì)DMFT雖然也不包含f電子間的反鐵磁關(guān)聯(lián)，但是其計(jì)算結(jié)果與二流體預(yù)言一致的背后應(yīng)有更深刻的物理根源，有待更加細(xì)致深入的分析。

C.NRG

2011年，Jian-Xin Zhu小組利用NRG方法研究了兩雜質(zhì)Anderson模型[114]。如圖25所示[114]，他們發(fā)現(xiàn)體系中存在兩個(gè)基本的溫標(biāo)：高溫溫標(biāo)TH對(duì)應(yīng)于準(zhǔn)粒子的形成，低溫溫標(biāo)TL對(duì)應(yīng)于準(zhǔn)粒子開始表現(xiàn)出費(fèi)米液體行為。在二流體理論中，這兩個(gè)溫標(biāo)分別對(duì)應(yīng)T?和TFL。他們發(fā)現(xiàn)，在很大的參數(shù)區(qū)間內(nèi)，TH源自兩雜質(zhì)體系從自旋單態(tài)到自旋三重態(tài)的激發(fā)，此時(shí)TH?TL，RKKY相互作用占主導(dǎo)，但是低溫下仍然形成重電子，與二流體理論的預(yù)期一致；只在很強(qiáng)雜化時(shí)，TH才趨近單雜質(zhì)的Kondo溫度，此時(shí)TH～TL。他們同時(shí)發(fā)現(xiàn)，RKKY作用在高溫時(shí)會(huì)促進(jìn)重電子的形成，符合二流體理論的預(yù)期，而不是如Doniach相圖所示簡(jiǎn)單地抑制費(fèi)米液體。這為理解T?的微觀起源和RKKY作用的物理提供了新的認(rèn)識(shí)。

圖24.LDA+DMFT計(jì)算得到的CeIrIn5準(zhǔn)粒子峰態(tài)密度(實(shí)線)與Kondo液體態(tài)密度的比較[47]

圖25.NRG計(jì)算中得到的各個(gè)能標(biāo)隨雜化強(qiáng)度V的變化[114]，虛線為理論擬合值

D.DQMC

2014年，Scalettar小組利用DQMC計(jì)算了二維半滿周期性Anderson模型的磁化率和奈特位移[115]。圖26給出了他們得到的奈特位移反常隨溫度的變化，虛線為二流體理論的預(yù)言[115]，可以看到兩者在特征溫標(biāo)T?之下很大的溫度區(qū)間內(nèi)近似符合。目前這一工作只考慮了f電子半滿的情況，此時(shí)體系為絕緣體，DQMC計(jì)算中沒有符號(hào)問(wèn)題。為了研究巡游重電子的演化，有待將其推廣到更一般的偏離半滿的情況。

圖26.DQMC計(jì)算給出的奈特位移反常與Kondo液體態(tài)密度（虛線）的比較[115]

E.DMRG

最近，我們利用密度矩陣重整化群（DMRG）方法研究了一維Kondo-Heisenberg模型，通過(guò)分析局域自旋從局域到巡游的轉(zhuǎn)變過(guò)程，探討f電子局域和巡游二重性的微觀根源[116]。

在Kondo-Heisenberg模型中，局域自旋的關(guān)聯(lián)譜在動(dòng)量空間的積分是個(gè)與Kondo耦合無(wú)關(guān)的常量，因而局域自旋的狀態(tài)的改變體現(xiàn)為自旋關(guān)聯(lián)譜在動(dòng)量空間的分布的變化。如圖27（a）所示[116]，我們發(fā)現(xiàn)隨著JK的增加，這一分布逐漸從k=π處尖銳的峰狀結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)樵谡麄€(gè)空間比較均勻的分布，反映了局域自旋從強(qiáng)的鏈內(nèi)Heisenberg耦合到強(qiáng)的局域近藤耦合的轉(zhuǎn)變。這一轉(zhuǎn)變同時(shí)伴隨著導(dǎo)帶電子在動(dòng)量空間從小費(fèi)米面到大費(fèi)米面的過(guò)渡［圖27（b）］，意味著費(fèi)米面的變化與鏈內(nèi)反鐵磁關(guān)聯(lián)的抑制是一致的，與實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的反鐵磁量子臨界點(diǎn)處費(fèi)米面的突然變化符合。此外，在強(qiáng)JK極限下，局域自旋的自旋關(guān)聯(lián)譜在比較均勻的背景上出現(xiàn)一個(gè)新的峰，對(duì)應(yīng)大費(fèi)米面的特征波矢，表明局域自旋參與了大費(fèi)米面的形成。這種巡游性源自局域自旋漲落與導(dǎo)帶電子的耦合，意味著巡游重電子是一種復(fù)合粒子。更有意思的是，在中間JK區(qū)（JK/t=2.3附近），關(guān)聯(lián)譜上出現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu)，分別對(duì)應(yīng)鏈內(nèi)反鐵磁關(guān)聯(lián)及大小費(fèi)米面兩種費(fèi)米波矢［圖27（a）］，這就表明局域自旋不但與鏈內(nèi)其他自旋發(fā)生關(guān)聯(lián)，也同時(shí)與導(dǎo)帶電子發(fā)生糾纏，參與到大費(fèi)米面的形成中，表現(xiàn)出局域和巡游的二重性質(zhì)，如圖27（c）所示。據(jù)此，我們提出局域自旋關(guān)聯(lián)譜在動(dòng)量空間的譜權(quán)重的轉(zhuǎn)移可以作為反映其局域和巡游性質(zhì)的序參量，為二流體理論中的雜化參量提供了一個(gè)微觀的描述。

圖27.DMRG給出的自旋關(guān)聯(lián)譜和粒子占據(jù)數(shù)的計(jì)算結(jié)果。(a)f電子的動(dòng)量空間自旋關(guān)聯(lián)譜隨JK的演化，k1和k2對(duì)應(yīng)大費(fèi)米面和小費(fèi)米面的散射峰；插圖中面積A表示JK=0和強(qiáng)耦合極限對(duì)比下的譜權(quán)重轉(zhuǎn)移；(b)導(dǎo)帶電子在動(dòng)量空間的分布隨JK的演化，其中對(duì)應(yīng)小費(fèi)米面，對(duì)應(yīng)大費(fèi)米面；(c)一維Kondo-Heisenberg模型二流體行為示意圖。箭頭表示f電子局域磁矩，圓點(diǎn)表示自由的導(dǎo)帶電子。在不完全雜化時(shí)(fh＜1)，f電子部分和導(dǎo)帶電子糾纏在一起，部分仍然保持磁矩，表現(xiàn)出巡游和局域的二重性；完全雜化時(shí)(fh=1)，f電子磁矩全部被導(dǎo)帶電子屏蔽，表現(xiàn)出完全的巡游性[116]

以上結(jié)論雖然是基于一維Kondo-Heisenberg模型，但是局域自旋的糾纏性質(zhì)并不局限于一維系統(tǒng)，類似的結(jié)論在二維或三維真實(shí)體系應(yīng)該仍然成立。如何將以上結(jié)果推廣到高維系統(tǒng)，并從中提煉出反映f電子局域或巡游性的“本征序參量”，是我們下一階段研究的主要目標(biāo)。

VI.結(jié)論和展望

綜上所述，二流體理論為認(rèn)識(shí)重費(fèi)米子物理提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的物理圖像。在f電子局域和巡游二重性的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入兩種共存流體的簡(jiǎn)單假設(shè)，二流體理論系統(tǒng)解釋了大量先前無(wú)法解釋的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)了正常態(tài)的巡游重電子普適標(biāo)度律和Fano干涉效應(yīng)，建立了描述體系各種低溫有序態(tài)的簡(jiǎn)單模型。二流體理論所預(yù)言的普適標(biāo)度律表明f電子的演化規(guī)律是與具體材料的細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)的物理行為，重電子態(tài)是一種新的量子物態(tài)。

與通?；贙ondo物理的方案不同，二流體理論更多地強(qiáng)調(diào)局域磁矩之間反鐵磁耦合的作用，認(rèn)為重費(fèi)米子物理是導(dǎo)帶電子與背景自旋晶格反鐵磁漲落發(fā)生集體雜化或糾纏的結(jié)果，理解晶格自旋漲落在電子演化或費(fèi)米面的變化中所發(fā)揮的作用應(yīng)是發(fā)展重費(fèi)米子理論的核心問(wèn)題。

二流體理論目前仍然是一個(gè)基于實(shí)驗(yàn)的唯象理論。在微觀層面上，兩種流體如何共存，如何產(chǎn)生不穩(wěn)定性，如何導(dǎo)致不同的量子臨界現(xiàn)象，以及如何引起重電子的超導(dǎo)配對(duì)等等，都是需要繼續(xù)深入研究的課題。實(shí)驗(yàn)上，利用中子散射等測(cè)量技術(shù)直接觀測(cè)電子局域和巡游的二重屬性，或借助STM和ARPES等手段在實(shí)空間或動(dòng)量空間觀測(cè)重電子態(tài)的產(chǎn)生和演化，將會(huì)為微觀理論的發(fā)展提供重要的指引。

局域和巡游二重性是強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)的普遍現(xiàn)象，不僅出現(xiàn)在重費(fèi)米子體系，也同樣存在于其他的強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)如銅基和鐵基超導(dǎo)中。這種局域和巡游的二重性體現(xiàn)了電子動(dòng)能與其局域庫(kù)侖排斥勢(shì)的競(jìng)爭(zhēng)，表明兩者處于近似均衡的中間狀態(tài)，無(wú)法利用單純的局域或巡游的簡(jiǎn)單極限進(jìn)行描述。重費(fèi)米子二流體理論的成功表明在這種局域和巡游二重性的新的概念基礎(chǔ)上，有可能為理解強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子的復(fù)雜行為構(gòu)建簡(jiǎn)單的理論框架。

感謝國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（批準(zhǔn)號(hào)：2015CB921303）、國(guó)家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)：11174339）、中國(guó)科學(xué)院B類戰(zhàn)略性先導(dǎo)科技專項(xiàng)（批準(zhǔn)號(hào)：XDB07020200）和“百人計(jì)劃”項(xiàng)目的支持。

參考文獻(xiàn)

[1]Coleman P.Ann.Henri.Poincar，2003，4：Suppl.2，S559-S580

[2]Stewart G R.Rev.Mod.Phys.，1984，56(4)：755-787

[3]Misra P.Heavy-Fermion Systems，New York.Elsevier，2008

[4]Kondo S，Johnston D C，Swenson C A，Borsa F，Mahajan A V，Miller L L，Gu T，Goldman A I，Maple M B，Gajewski D A，F(xiàn)reeman E J，Dilley N R，Dickey R P，Merrin J，Kojima K，Luke G M，Uemura Y J，Chmaissem O，Jorgensen J D.Phys.Rev.Lett.，1997，78(19)：3729-3732

[5]Cheng J G，Zhou J S，Yang Y F，Zhou H D，Matsubayashi K，Uwatoko Y，MacDonald A，Goodenough JB.Phys.Rev.Lett.，2013，111(17)：176403

[6]Yuan H Q，Grosche F M，Deppe M，Geibel C，Sparn G，Steglich F.Science，2003，302(12)：2104-2107

[7]Kenzelmann M，Gerber S，Egetenmeyer N，Gavilano J L，Strssle T，Bianchi A D，Ressouche E，Movshovich R，Bauer E D，Sarrao J L，Thompson J D.Phys.Rev. Lett.，2010，104(12)：127001-127004

[8]Mydosh J A，Oppeneer P M.Rev.Mod.Phys.，2011，83(4)：1301-1322

[9]Dzero M，Sun K，Galitski V，Coleman P.Phys.Rev. Lett.，2010，104(10)：106408

[10]Lu F，Zhao J Z，Weng H M，F(xiàn)ang Z，Dai X.Phys. Rev.Lett.，2013，110(9)：096401

[11]張廣銘，于淥.物理，2007，36(6)：434-442

[12]Meissner W，Voight G.Ann.Phys.，1930，7：892-936

[13]Sarachik M P，Corenzwit E，Longinotti L D.Phys. Rev.，1964，135(4A)：A1041-A1045

[14]Kondo J.J.Phys.Soc.Jpn.，2005，74(1)：1-3

[15]Kondo J.Prog.Theor.Phys.，1964，32(1)：37-49

[16]Hewson A C.The Kondo Problem to Heavy Fermions，Cambridge Univ.Press，1993

[17]Kouwenhoven L，Glazman L.Phys.World，2001，Jan.：33-38

[18]Andres K，Graebner J E，Ott H R.Phys.Rev.Lett.，1975，35(26)：1779-1782

[19]Steglich F，Aarts J，Bredl C D，Lieke W，Meschede D，F(xiàn)ranz W，Schfer H.Phys.Rev.Lett.，1979，43(25)：1892-1986

[20]Ott H R，Rudigier H，F(xiàn)isk Z，Smith J L.Phys.Rev. Lett.，1983，50(20)：1595-1598

[21]Stewart G R，F(xiàn)isk Z，Willis J O，Smith J L.Phys. Rev.Lett.，1984，52(8)：679-682

[22]Doniach S.Physica B，1977，91B：231-234

[23]Ruberman M A，Kittle C.Phys.Rev.，1954，96(1)：99-102

[24]Kasuya T.Prog.Theor.Phys.，1956，16(1)：58-63

[25]Yosida K.Phys.Rev.，1969，106(5)：893-898

[27]Read N，Newns D M.J.Phys.C，1983，16：3273-3295

[28]Coleman P.Phys.Rev.B，1984，29(6)：3035-3044

[29]Read N，Newns D M，Doniach S.Phys.Rev.B，1984，30(7)：3841-3844

[30]Millis A J，Lee P A.Phys.Rev.B，1987，35(7)：3394-3414

[31]Auerbach A，Levin K.Phys.Rev.Lett.，1986，57(7)：877-880

[32]Zhang G M，Yu L.Phys.Rev.B，2001，62(1)：76-79

[33]Li G B，Zhang G M.Phys.Rev.B，2010，81(9)：094420

[34]Si Q，Rabello S，Ingersent K，Smith J L.Nature(London)，2001，413：804-808

[35]Shim J H，Haule K，Kotliar G.Science，2007，318(12)：1615-1617

[36]Haule K，Yee C H，Kim K.Phys.Rev.B，2010，81(19)：195107

[37]Capponi S，Assaad F F.Phys.Rev.B，2001，63(15)：155114

[38]Senthil T，Vojta M，Sachdev S.Phys.Rev.B，2004，69(3)：035111

[42]Abrahams E，Schmalian J，Wlfle P.Phys.Rev.B，2014，90(4)：045105

[43]Gorter C J，Casimir H B G.Physica，1934，1(1-6)：306-320

[44]Landau L D，Lifshitz E M.Statistical Physics I，Oxford：Pergomon Press，1980

[45]Nakatsuji S，Pines D，F(xiàn)isk Z.Phys.Rev.Lett.，2004，92(1)：016401

[46]Curro N J，Young B L，Schmalian J，Pines D.Phys. Rev.B，2004，70(23)：235117

[47]Yang Y F，Pines D.Phys.Rev.Lett.，2008，100(9)：096404

[48]Yang Y F，F(xiàn)isk Z，Lee H O，Thompson J D，Pines D. Nature(London)，2008，454：611-613

[49]Yang Y F，Pines D.Proc.Nal.Acad.Sci.USA，2012，109(45)：E3060-E3066

[50]John D C.Phys.Rev.Lett.，1989，62(8)：957-960

[51]Nakano T，Oda M，Manable C，Momono N，Miura Y，Ido M.Phys.Rev.B，1994，49(22)：16000-16008

[52]Barzykin V，Pines D.Phys.Rev.Lett.，2006，96(24)：247002

[53]Barzykin V，Pines D.Adv.Phys.，2009，58(1)：1-65

[54]Pines D.J.Phys.Chem.B，2013，117：13145-13153

[55]Ma L，Ji G F，Dai J，He J B，Wang D M，Chen G F，Normand B，Yu W Q.Phys.Rev.B，2011，84(22)：220505(R)

[56]Ji G F，Zhang J S，Ma L，F(xiàn)an P，Wang P S，Dai J，Tan G T，Song Y，Zhang C L，Dai P C，Normand B，Yu W Q.Phys.Rev.Lett.，2013，111(10)：107004

[57]Dai P C，Hu J P，Dagotto E.Nat.Phys.，2012，8(10)：709-718

[58]Wang M，Zhang C L，Lu X Y，Tan G T，Luo H Q，Song Y，Wang M Y，Zhang X T，Goremychkin E A，Maier T A，Yin Z P，Haule K，Kotliar G，Dai P C. Nat.Commun.，2013，4：2874

[59]You Y Z，Weng Z Y.New J.Phys.，2014，16(2)：023001

[60]Mito T，Kawasaki S，Kawasaki Y，Zheng G Q，Kitaoka Y，Aoki D，Haga Y，Onuki Y.Phys.Rev.Lett.，2003，90(7)：077004

[61]Curro N J.Rep.Pro.Phys.，2009，72：026502

[62]楊義峰.物理，2014，43(2)：80-87

[63]Moriya T.Prog.Theor.Phys.，1956，16(1)：23–44

[64]Yang Y F，Urbano R，Curro N J，Pines D，Bauer E D.Phys.Rev.Lett.，2009，103(19)：197004

[65]Yang Y F，Pines D，Curro N J.arXiv：1410.0452

[66]Fert A，Levy P M.Phys.Rev.B，1987，36(4)：1907-1916

[67]Hundley M F，Malinowski A，Pagliuso P G，Sarrao J L，Thompson J D.Phys.Rev.B，2004，70(3)：035113

[68]Yang Y F.Phys.Rev.B，2013，87(4)：045102

[69]Park W K，Greene L H.J.Phys.Condens.Matter，2009，21(10)：103203

[70]Schmidt A R，Hamidian M H，Wahl P，Meier F，Balatsky A V，Garrett J D，Williams T J，Luke G M，Davis J C.Nature(London)，2010，465(7298)：570-576

[71]Ernst S，Kirchner S，Krellner C，Geibel C，Zwicknagl G，Steglich F，Wirth S.Nature(London)，2011，474(7351)：362-366

[72]Aynajian P，da Silva Neto E H，Gyenis A，Baumbach R E，Thompson J D，F(xiàn)isk Z，Bauer E D，Yazdani A.Nature(London)，2012，486(7402)：201-206

[73]Moser M，Wachter P，F(xiàn)ranse J J，Meisner G P，Walker E.J.Magn.Magn.Mater.，1986，54：373-374

[74]Hasselbach K，Kirtley J R，Lejay P.Phys.Rev.B，1992，46(9)：5826-5829

[75]Park W K，Sarrao J L，Thompson J D，Greene L H. Phys.Rev.Lett.，2008，100(17)：177001

[76]Yang Y F.Phys.Rev.B，2009，79(24)：241107(R)

[77]Fano U.Phys.Rev.，1961，124(6)：1866-1878

[78]Maltseva M，Dzero M，Coleman P.Phys.Rev.Lett.，2009，103(20)：206402

[80]Lee W C，Park W K，Arham H Z，Greene L H，Phillips P.Proc.Nal.Acad.Sci.USA，2015，112(3)：651–656

[81]Park W K，Tobash P H，Ronning F，Bauer E D，Sarrao J L，Thompson J D，Greene L H.Phys.Rev.Lett.，2012，108(24)：246403

[83]Aynajian P，da Silva Neto E H，Parker C V，Huangb Y，Pasupathyc A，Mydoshd J，Yazdania A.Proc.Nal. Acad.Sci.USA，2010，107(6)：10383-10388

[84]Zhang X H，Butch N P，Syers P，Ziemak S，Greene R L，Paglione J.Phys.Rev.X，2013，3(1)：011011

[85]Rossler S，Jang T H，Kim D J，Tjeng L H，F(xiàn)isk Z，Steglich F，Wirth S.Proc.Nat.Acad.Sci.USA，2014，111(4)：4798-4802

[86]Yang Y F，Pines D.Proc.Nal.Acad.Sci.USA，2014，111(12)：18178-18182

[87]Shirer K R，Shickley A C，Dioguardi A P，Crocker J，Lin C H，apRoberts-Warren N，Nisson D M，Klavins P，Cooley J C，Yang Y F，Curro N J.Proc.Nal.Acad. Sci.USA，2012，109(45)：E3067-E3073

[88]apRoberts-Warren N，Dioguardi A P，Shockley A C，Lin C H，Crocker J，Klavins P，Pines D，Yang Y F，Curro N J.Phys.Rev.B，2011，83(6)：060408(R)

[89]Shishido H，Settai R，Harima H，Onuki Y.Physica B，2006，92：378–380

[92]Aso N，Ishii K，Yoshizawa H，F(xiàn)ujiwara T，Uwatoko Y，Chen G F，Sato N K，Miyake K.J.Phys.Soc.Jpn.，2009，78(7)：073703

[93]Llobet A，Gardner J S，Moshopoulou E G，Mignot J M，Nicklas M，Bao W，Moreno N O，Pagliuso P G，Goncharenko N，Sarrao J L，Thompson J D.Phys. Rev.B，2004，69(2)：024403

[94]Hegger H，Petrovic C，Moshopoulou E G，Hundley M F，Sarrao J L，F(xiàn)isk Z，Thompson J D.Phys.Rev.Lett.，2000，84(21)：4986-4989

[95]Park T，Ronning F，Yuan H Q，Salamon M B，Movshovich R，Sarrao J L，Thompson J D.Nature (Londo)2005，440(2)：65-68

[96]Ishida K，Okamoto K，Kawasaki Y，Kitaoka Y，Trovarelli O，Geibel C，Steglich F.Phys.Rev.Lett.，2002，89(10)：107202

[97]Ronning F，Capan C，Bauer E D，Thompson J D，Sarrao J L，Movshovich R.Phys.Rev.B，2006，73(6)：064519

[98]Yang Y F，Pines D.Proc.Nal.Acad.Sci.USA，2014，111(6)：8398-8403

[99]Urbano R R，Young B L，Curro N J，Thompson J D，Pham L D，F(xiàn)isk Z.Phys.Rev.Lett.，2007，99(14)：146402

[100]Sidorov V A，Nicklas M，Pagliuso P G，Sarrao J L，Bang Y，Balatsky A V，Thompson J D.Phys.Rev. Lett.，2002，89(15)：157004

[101]Stockert O，Steglich F.Annu.Rev.Condens.Matter Phys.，2011，2：79-99

[102]Scalapino D J.Rev.Mod.phys.，2012，84(4)：1383-1417

[103]Kohori Y，Taira H，F(xiàn)ukazawa H，Kohara T，Iwamoto Y，Matsumoto T，Maple M B.J.Alloys Compd.，2006，408–412：51-53

[104]Dyke J S V，Massee F，Allan M P，Davis J C S，Petrovic C，Morr D K.Proc.Nal.Acad.Sci.USA，2014，111(32)：11663-11667

[105]Curro N J，Caldwell T，Bauer E D，Morales L A，Graf M J，Bang Y，Balatsky A V，Thompson J D，Sarrao J L.Nature(London)，2005，434：622-625

[106]Mo S K，Lee W S，Schmitt F，Chen Y L，Lu D H，Capan C，Kim D J，F(xiàn)isk Z，Zhang C Q，Hussain Z，Shen Z X.Phys.Rev.B，2012，85(24)：241103(R)

[107]Ohishi K，Heffner R H，Ito T U，Higemoto W，Morris G D，Hur N，Bauer E D，Sarrao J L，Thompson J D，MacLaughlin D E，Shu L.Phys.Rev.B，2009，80(12)：125104

[108]Kambe S，Tokunaga，Sakai H，Chudo H，Haga Y，Matsuda T D，Walstedt R E.Phys.Rev.B，2010，81(14)：140405(R)

[109]Shockley A C，apRoberts-Warren N，Nission D M，Kuhns P L，Reyes A P，Yaun S，Curro N J.Phys. Rev.B，2013，88(7)：075109

[110]Tran L M，Nowak B，Tran V H.Phys.Rev.B，2011，84(22)：224406

[111]Li M R，Retuerto R，Deng Z，Sarkar T，S′anchez-Ben′?tez J，Croft M C，Dasgupta T S，Das T，Tyson T A，Walker D，Greenblatt M.Chem.Mat.，2015，27：211

[112]Barzykin V.Phys.Rev.B，2006，73(9)：094455

[113]Choi H C，Min B I，Shim J H，Haule K，Kotliar G. Phys.Rev.Lett.，2012，108(1)：016402

[114]Zhu L J，Zhu J X.Phys.Rev.B，2011，83(19)：195103

[115]Jiang M，Curro N J，Scalettar R T.Phys.Rev.B，2014，90(24)：241109(R)

[116]Xie N，Yang Y F.Phys.Rev.B，2015，91(19)：195116

The dual(simultaneously localized and itinerant)nature of strongly correlated electrons can be traced back to the particle-wave duality in quantum mechanics and is the origin of numerous exotic quantum phenomena in correlated materials.Here we discuss the various experimental aspects of this dual behavior of f-electron and focus on the phenomenological two-fluid theory recently developed for heavy fermion materials.The two-fluid theory has been quite successful in explaining many puzzling experiments and revealing the common nature of the complex behaviors of many heavy fermion compounds.It provides a new avenue for understanding the exotic properties of strongly correlated systems including cuprates and iron-based superconductors and demands further theoretical and experimental investigations.

Two-fluid theory for heavy fermion materials

Yang Yi-Feng1，2?，Xie Neng1，Li Yu1
1.Beijing National Laboratory for Condensed Matter Physics and Institute of Physics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China 2.Collaborative Innovation Center of Quantum Matter，Beijing 100190，China

strongly correlated electrons；heavy fermions；two-fluid theory

date：2015-08-26

O469

A

10.13725/j.cnki.pip.2015.05.002

*yifeng@iphy.ac.cn

1000-0542（2015）05-0191-21191