劉志平，曾燕璋

（淮海工學(xué)院 理學(xué)院，江蘇 連云港 222005）

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)領(lǐng)域，經(jīng)常會(huì)用到四邊貝齊爾曲面和三角貝齊爾曲面，在一些實(shí)用的計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)中，兩種形式的曲面會(huì)同時(shí)存在．究其原因，是因?yàn)橐话悻F(xiàn)實(shí)問(wèn)題的參數(shù)域通常是復(fù)雜形狀，而對(duì)復(fù)雜形狀的處理方法一般是將參數(shù)域剖分為小的三角形或者四邊形，因此這就需要研究三角貝齊爾曲面和四邊貝齊爾曲面的繪制方法．四邊貝齊爾曲面實(shí)際上是兩個(gè)方向的貝齊爾曲線做張量積，容易用矩陣形式表示，繪制方法相對(duì)容易．而三角貝齊爾曲面本身不具備矩陣的表示形式，繪制方法要比四邊貝齊爾曲面困難，因此研究三角貝齊爾曲面的繪制方法就更有價(jià)值．

首先給四邊貝齊爾曲面和三角貝齊爾曲面的定義，兩種形式的貝齊爾曲面都是由控制頂點(diǎn)唯一確定的．

定義1[1]給定(n+1)×(m+1)個(gè)控制頂點(diǎn)Pi,j，i=0,1,2,…,n; j=0,1,2,…,m，n×m次四邊貝齊爾曲面定義為

定義2[1]給定個(gè)控制頂點(diǎn)Pi,j,ki=0,1,…n; j=0,1,…n-i; k=n-i-j，n次三角貝齊爾曲面定義為

1 傳統(tǒng)繪制方法介紹

當(dāng)參數(shù)域是四邊形時(shí)，采用四邊貝齊爾曲面，為了方便程序?qū)崿F(xiàn)，公式（1）經(jīng)常表示成矩陣乘積的形式[2]

其中UT=[1 u u2… un]，VT=[1 v v2… vm]，M是從伯恩斯坦基到多項(xiàng)式基的轉(zhuǎn)換矩陣，P是控制頂點(diǎn)陣．

當(dāng)參數(shù)域?yàn)槿切蔚臅r(shí)候，一般采用三角貝齊爾曲面形式．比較常見(jiàn)的三角貝齊爾曲面繪制方法是把三角形看成退化的四邊形，即四邊形的一條邊退化為一個(gè)點(diǎn)，這樣三角貝齊爾曲面就變成有一條退化邊的四邊貝齊爾曲面[3]．具體來(lái)說(shuō)，如果原來(lái)的三角貝齊爾曲面的控制頂點(diǎn)為

為了將其表示為四邊貝齊爾曲面，上述控制頂點(diǎn)要修改為

即添加了很多重復(fù)的控制頂點(diǎn)，但是從繪制結(jié)果來(lái)看，這種繪制方法并不理想，如圖1所示，圖形的右下角很多條線匯聚在一起，形成數(shù)據(jù)冗余，影響繪制效果．

圖1 將三角貝齊爾曲面看成退化的四邊貝齊爾曲面

2 本文繪制方法

為了解決數(shù)據(jù)冗余的問(wèn)題，三角貝齊爾曲面也可以采用Delauny三角剖分形式進(jìn)行繪制，Delauny剖分的缺點(diǎn)是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不容易理解．那么，有沒(méi)有一種簡(jiǎn)單的三角貝齊爾曲面繪制方法呢？仔細(xì)考慮四邊貝齊爾曲面的繪制過(guò)程，發(fā)現(xiàn)雖然有四條邊，但其實(shí)質(zhì)是兩個(gè)不同方向的貝齊爾曲線進(jìn)行交叉．三角貝齊爾曲面沒(méi)有辦法看成兩個(gè)方向的交叉，那么它能否看成是三個(gè)方向的貝齊爾曲線進(jìn)行交叉？基于這樣的想法，在本文中，采用了一種新的三角貝齊爾曲面繪制方法，將三角貝齊爾曲面看成是三簇貝齊爾曲線的交叉，即u-向貝齊爾曲線，v-向貝齊爾曲線和w-向貝齊爾曲線的交叉．如圖2所示，繪制過(guò)程中的難點(diǎn)是點(diǎn)的連接關(guān)系，下面將詳細(xì)介紹具體的繪制過(guò)程．

圖2 三角貝齊爾曲面參數(shù)域示意圖

圖2所示的三角貝齊爾曲面是3次的，現(xiàn)實(shí)問(wèn)題里，可能需要考慮繪制任意次數(shù)的貝齊爾曲面．假定次數(shù)為n，可以看到，第一行有1個(gè)控制頂點(diǎn)，第二行有2個(gè)，……，如此類推．因?yàn)閚次三角貝齊爾曲面共有n+1行控制頂點(diǎn)，所以總的控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為將控制頂點(diǎn)按行進(jìn)行存儲(chǔ)，即P0,n,0的存儲(chǔ)序號(hào)為1，P0,n-1,1的存儲(chǔ)序號(hào)為2，P1,n-1,0的存儲(chǔ)序號(hào)為3，……．由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，第i 行的存儲(chǔ)序號(hào)為由此可以得到三簇貝齊爾曲線的連接關(guān)系．

首先，考慮u-向的第i 行貝齊爾曲線，其控制頂點(diǎn)的存儲(chǔ)序號(hào)為

其次，考慮v-向貝齊爾曲線，最右邊的v-向貝齊爾曲線其控制頂點(diǎn)的存儲(chǔ)序號(hào)為

從右上方往左下方進(jìn)行，每進(jìn)行一次，去掉最左邊的存儲(chǔ)序號(hào)，其它序號(hào)各自減1，即第2條v-向貝齊爾控制頂點(diǎn)的存儲(chǔ)序號(hào)為第3條控制頂點(diǎn)的存儲(chǔ)序號(hào)為最后一條v-向貝齊爾的存儲(chǔ)序號(hào)為

最后考慮w-向貝齊爾曲線，最左邊的w-向貝齊爾曲線其控制頂點(diǎn)的存儲(chǔ)序號(hào)為從左上方往右下方進(jìn)行，每進(jìn)行一次，去掉最左邊的存儲(chǔ)序號(hào)，其它序號(hào)各自加1，即第2 條w-向貝齊爾曲線的存儲(chǔ)序號(hào)為第3 條的存儲(chǔ)序號(hào)為最后一條w-向貝齊爾曲線的存儲(chǔ)序號(hào)為

3 繪制結(jié)果

有了點(diǎn)的連接關(guān)系，就可以使用畫折線函數(shù)分別繪制三簇不同方向的貝齊爾曲線，它們?cè)龠M(jìn)行交叉就會(huì)得到最終的三角貝齊爾曲面．本文中，使用MATLAB軟件采用上面的方法進(jìn)行了繪制，繪制結(jié)果如圖3和圖4所示．圖3和圖4是同一個(gè)曲面從兩個(gè)不同方向觀察到的結(jié)果，從中可以清晰地看到，已經(jīng)不存在數(shù)據(jù)冗余，繪制效果良好．

圖3 采用本文方法繪制的三角貝齊爾曲面

圖4 從不同角度觀察圖3的結(jié)果

4 結(jié)論

本文根據(jù)三角貝齊爾曲面自身的特點(diǎn)，采用三個(gè)不同方向的貝齊爾曲線交叉形成曲面．與已有的繪制方法相比，比傳統(tǒng)方法數(shù)據(jù)冗余少，繪制效果好．此外，本文的方法比采用Delauny三角剖分方法更容易理解．

[1]施法中．計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和非均勻有理B樣條[M]．北京：高等教育出版社，2001．

[2]FARIN G．Curves and Surface for CAGD:A Practical Guide[M]．San Diego:Academic Press，2002．

[3]HU Shi-min．Conversion between triangluar and rectangular Bezier patches [J]．Computer Aided Geometry Desigin，2001，18（7）：667-671．