孫士平　曾慶龍　吳建軍

南昌航空大學(xué),南昌,330063

基于改進(jìn)模擬退火算法的復(fù)合材料層合板屈曲優(yōu)化

孫士平曾慶龍吳建軍

南昌航空大學(xué),南昌,330063

針對復(fù)合材料層合板的屈曲優(yōu)化問題，提出一種改進(jìn)的直接搜索模擬退火算法來求解最大化臨界屈曲載荷系數(shù)的鋪層順序設(shè)計(jì)問題。改進(jìn)算法引入搜索范圍動(dòng)態(tài)調(diào)整的新點(diǎn)產(chǎn)生方式實(shí)現(xiàn)全局搜索和局部搜索的協(xié)調(diào)，提高了算法的計(jì)算穩(wěn)定性和計(jì)算效率。以離散鋪層角為設(shè)計(jì)變量，采用里茲法進(jìn)行屈曲響應(yīng)分析以考慮彎扭耦合影響，通過典型多極值屈曲優(yōu)化問題分析比較了算法改進(jìn)措施的有效性。不同角度增量、鋪層數(shù)、長寬比和載荷比的層合板屈曲優(yōu)化結(jié)果表明，改進(jìn)算法能有效地進(jìn)行層合板鋪層順序優(yōu)化。

屈曲優(yōu)化;模擬退火算法;層合板;里茲法;優(yōu)化設(shè)計(jì)

0　引言

復(fù)合材料層合板在航空、汽車、船舶等工程領(lǐng)域被廣泛用于板、殼等結(jié)構(gòu)中,屈曲失穩(wěn)成為其不容忽視的失效形式之一,層合板的屈曲性能表現(xiàn)因此倍受關(guān)注。然而,與傳統(tǒng)金屬板殼相比,各向異性特性、鋪層層數(shù)和鋪層角度的離散化特征,使得層合板的屈曲分析與優(yōu)化更加復(fù)雜困難。較多的層合板屈曲優(yōu)化設(shè)計(jì)以正交各向異性板和0°、±30°、±45°、±60°、90°等幾種離散鋪層角為研究對象，從優(yōu)化算法和屈曲響應(yīng)分析兩方面研究問題的解決途徑。通過鋪層角度連續(xù)化，利用序列線性規(guī)劃[1]、可行方向法[2]等數(shù)學(xué)規(guī)劃法實(shí)現(xiàn)層合板屈曲優(yōu)化,但連續(xù)解的離散化會(huì)導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果非最優(yōu)化或不滿足約束,且優(yōu)化易陷入局部極值。遺傳算法(GA)[3-6]、模擬退火(SA)[7-9]、粒子群(PSO)[10]、蟻群(ACO)[11]等隨機(jī)算法能較好地求解離散型層合板屈曲優(yōu)化問題,其目標(biāo)函數(shù)評(píng)價(jià)成本遠(yuǎn)高于數(shù)學(xué)規(guī)劃法。Erdal等[9]采用具有記憶功能的直接搜索模擬退火(DSA)[12]算法開展了層合板屈曲優(yōu)化研究，考慮了角度增量為10°、15°、30°時(shí)不同離散角度對優(yōu)化結(jié)果的影響，但DSA算法易陷入局部解。Karakay等[13]則比較了GA、SA和ACO算法求解層合板屈曲和頻率優(yōu)化問題時(shí)的性能表現(xiàn)。其他如分層優(yōu)化方法[14]、分散搜索算法[15]、進(jìn)化算法[16]及兩層次優(yōu)化方法[10]等也相繼被用于層合板屈曲問題的鋪層順序設(shè)計(jì)。

另一方面，準(zhǔn)確求解層合板屈曲響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的精確計(jì)算，可以提高優(yōu)化效率、減小誤差,但因存在彎扭耦合故很難獲得屈曲控制方程的精確解。一些研究通過忽略彎扭耦合以簡化屈曲響應(yīng)分析來優(yōu)化鋪層順序,并結(jié)合限定彎扭耦合相對大小[5,9,10,13,15,16]、鋪層鋪設(shè)形式[3,6,8,9,11,16]等附加約束來減小計(jì)算偏差,這必然會(huì)對最優(yōu)解的獲得造成阻礙。屈曲問題的近似求解方法如里茲法[14]和有限元法[1-2,4,7]可以考慮彎扭耦合，提供滿足精度要求的計(jì)算結(jié)果。有限元法能求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的屈曲響應(yīng),但與隨機(jī)算法結(jié)合的計(jì)算成本不容忽視,研究者常采用近似模型替代原問題模型來提高計(jì)算效率[5],而里茲法能方便有效地求解規(guī)則形狀和常規(guī)邊界條件的層合板屈曲響應(yīng)問題。

針對層合板屈曲優(yōu)化的鋪層順序設(shè)計(jì)問題,本文以規(guī)則簡支板為研究對象,以離散鋪層角度為設(shè)計(jì)變量，通過改進(jìn)DSA算法的新解產(chǎn)生方式提高算法全局收斂性和穩(wěn)定性，采用里茲法進(jìn)行層合板屈曲響應(yīng)分析來考慮彎扭耦合對優(yōu)化結(jié)果的影響,從而實(shí)現(xiàn)了層合板屈曲載荷系數(shù)最大化的鋪層順序優(yōu)化。此外，本文還研究了不同角度增量下具有更大離散設(shè)計(jì)空間時(shí)改進(jìn)算法的性能表現(xiàn)和優(yōu)化解的變化規(guī)律，并比較層合板不同長寬比、載荷比以及不同鋪層數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響。

1　優(yōu)化問題描述

圖1所示對稱層合板由N=2n層鋪層組成,長寬為a×b,每層鋪層具有相同厚度t0,第k層的纖維鋪層角度為θk(k=1,2,…,n),則層合板鋪層順序可表示為[θ1/θ2/…/θk/…/θn]s。圖1中,Nx、Ny分別為x和y方向作用在板中面的壓力載荷。

圖1　雙軸向載荷作用下的對稱層合板示意圖

軸壓載荷作用下對稱層合板的屈曲控制方程為[17]

(1)

i,j=1,2,6

(2)

c=cosθs=sinθ

Q11=E1/(1-ν12ν21)

Q12=ν12E2/(1-ν12ν21)Q66=G12

式中,E1、E2分別為單層材料在1、2主軸方向的彈性模量；G12為1-2平面內(nèi)的剪切模量;ν12、ν21分別為1-2平面內(nèi)的縱向和橫向泊松比。

從式(2)可以看到,由于鋪層偏軸剛度與鋪層角θ具有復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系,造成屈曲優(yōu)化問題具有多極值特征,故使得以鋪層角θ為設(shè)計(jì)變量的鋪層順序設(shè)計(jì)較為困難。

四邊簡支板的邊界條件為

(3)

式中，Mx、My分別為x軸和y軸方向的力矩。

上述邊界條件中,對于彎扭耦合項(xiàng)D16、D26為零或其值相對較小的幾種層合板,可采用封閉形式求解屈曲載荷系數(shù)λb[3]:

λb(m,l)=

(4)

其中,m、l為x、y軸向的半波數(shù)(m,l=1,2,…),不同m、l組合對應(yīng)不同λb(m,l),相應(yīng)屈曲載荷為λbNx和λbNy。

而D16和D26不為零時(shí),因法向位移不能通過變量分離技術(shù)獲得封閉形式解析解,故常采用里茲法近似求解。根據(jù)里茲法,取層合板中面z向位移函數(shù)：

(5)

其中,cml為待定系數(shù),M=L為事先給定的正整數(shù),一般在[1,10]內(nèi)取值。

層合板的彎曲應(yīng)變能V為

(6)

中面載荷做功為

(7)

基于最小勢能原理有：

(8)

由此建立關(guān)于cml的M×L個(gè)線性方程組,問題表現(xiàn)為方程組系數(shù)矩陣的特征值問題,通過子空間迭代法等標(biāo)準(zhǔn)特征值求解方法獲得一系列特征值,即屈曲載荷系數(shù)λb(m,l)。而臨界屈曲載荷系數(shù)λcb對應(yīng)層合板能抵抗屈曲的最小臨界屈曲載荷,是一系列λb(m,l)值中的最小值，即

λcb=minλb(m,l)

(9)

最小臨界屈曲載荷則通過公式Nx,cr=λcbNx和Ny,cr=λcbNy求得。

層合板屈曲優(yōu)化問題就是要最大化臨界屈曲載荷系數(shù)λcb,以層合板鋪層角θ=(θ1,θ2,…,θk,…,θn)T(k=1,2,…,n)為設(shè)計(jì)變量,臨界屈曲載荷系數(shù)最大化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(10)

2　模擬退火算法的改進(jìn)

SA算法是一種模擬高溫金屬冷卻過程的全局隨機(jī)搜索算法[18],基于單點(diǎn)串行搜索并以一定概率接受差點(diǎn),因此會(huì)丟失優(yōu)化過程中獲得的優(yōu)化點(diǎn)。DSA算法[12]區(qū)別于SA算法之處在于DSA算法擁有一個(gè)點(diǎn)集合,按兩種機(jī)制產(chǎn)生的新點(diǎn)被接受后僅替換該集合中的最差點(diǎn),實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化過程最佳點(diǎn)的記憶保存。DSA算法的新點(diǎn)產(chǎn)生混合機(jī)制覆蓋了全局粗搜索與局部細(xì)搜索，但降低了算法搜索效率和優(yōu)化穩(wěn)定性，易導(dǎo)致算法陷于局部極值[9]。本文針對層合板屈曲優(yōu)化問題,通過改進(jìn)DSA算法的初始溫度確定方法和新點(diǎn)修正方法，增加動(dòng)態(tài)調(diào)整的新點(diǎn)產(chǎn)生方式，提高算法求解層合板鋪層順序優(yōu)化的穩(wěn)定性和計(jì)算效率。

2.1初始集合和初始溫度確定

首先在搜索空間S內(nèi)按均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生20n(n為鋪層角度個(gè)數(shù))個(gè)點(diǎn)的集合,若集合中包含可行解則初始溫度T0=500n,否則T0=2000n,使得T0與變量規(guī)模和問題難易程度相關(guān),從而確定一個(gè)相對高且計(jì)算經(jīng)濟(jì)的初始溫度值。因式(10)為無約束問題,因此T0=500n。繼續(xù)從該集合中選出目標(biāo)函數(shù)值較小的7(n+1)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成初始點(diǎn)集合A,并標(biāo)記A中對應(yīng)的最大目標(biāo)函數(shù)值fH和最小目標(biāo)函數(shù)值fL。這樣避免了DSA算法以概率1抽樣確定高初始溫度所耗費(fèi)的目標(biāo)評(píng)價(jià)時(shí)間和因初始溫度高而增加的迭代收斂過程，從而有助于提高算法計(jì)算效率。

2.2新點(diǎn)產(chǎn)生方式

在DSA算法中新點(diǎn)θ按混合機(jī)制產(chǎn)生:

(11)

式中,P為給定概率，本文取0.5;ρ為(0,1)區(qū)間均勻隨機(jī)數(shù);θ1為A中最佳點(diǎn),θj(j=2,…,n+1)為A中隨機(jī)選取的n個(gè)點(diǎn);U(S)為搜索區(qū)間S內(nèi)按均勻分布產(chǎn)生的隨機(jī)點(diǎn)。

當(dāng)新點(diǎn)θ在搜索區(qū)間之外時(shí),重復(fù)式(11)直到產(chǎn)生滿足要求的新點(diǎn)。

(12)

式中,γ為搜索半徑調(diào)節(jié)系數(shù);I為n維自適應(yīng)變換列向量;“°”表示Hadamard乘積;y為n維單位列向量;ωk為(0,5)內(nèi)均勻分布隨機(jī)數(shù);Tk為第k次循環(huán)迭代的溫度;ai為[0,1]內(nèi)隨機(jī)數(shù);β為自適應(yīng)概率,本文取0.1;rand(n)是按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)得到的n維列向量。

當(dāng)產(chǎn)生的新點(diǎn)θ落在搜索空間S之外時(shí),按下式修正θ的各分量θi:

(13)

測試數(shù)據(jù)表明式(13)可以提高計(jì)算效率且不影響優(yōu)化結(jié)果。

2.3新點(diǎn)接受概率

新點(diǎn)θ的接受概率Pa計(jì)算式為

(14)

式中,f(θ)為新點(diǎn)θ的目標(biāo)函數(shù)值;T為當(dāng)前溫度。

如果新點(diǎn)θ被接受,則替代A中最差點(diǎn)(fH所對應(yīng)點(diǎn)),并更新fH和fL。

2.4降溫策略

DSA算法采用指數(shù)形式降溫策略：

Tk+1=αk+1Tkk≥0

(15)

降溫系數(shù)αk+1∈[αmin,αmax](k≥1)按下式計(jì)算：

(16)

Lk=10n+10n(1-e(fL-fH))

2.5收斂準(zhǔn)則

DSA算法采取雙迭代收斂條件：

(17)

其中,ε1和ε2為較小實(shí)數(shù),本文取ε1=ε2=0.001,即迭代溫度足夠低和A中的點(diǎn)足夠集中時(shí)算法終止。

3　算例分析

基于MATLAB平臺(tái)編程實(shí)現(xiàn)了DSA算法和改進(jìn)DSA算法,并分別采用這兩種算法進(jìn)行臨界屈曲載荷系數(shù)最大化的鋪層順序優(yōu)化設(shè)計(jì),比較算法改進(jìn)效果。鋪層材料為Graphite/Epoxy[6],E1=127.5575 GPa,E2=13.0316 GPa,G12=6.4124 GPa,ν12=0.30,厚度t0=0.127 mm。每個(gè)問題獨(dú)立運(yùn)行50次。

算例1考慮四邊簡支、兩軸向承壓的64層對稱層合板,長a=50.8 mm,寬b=a/2,厚度t=8.128 mm,層合板承受面內(nèi)壓力Nx=0.175 N/mm,Ny=l1Nx,l1為兩軸向載荷大小比例。假設(shè)該層合板為對稱均衡層合板,由鋪層角為0°2、±45°或90°2(即Δθ=45°)的雙層鋪層組鋪設(shè)而成。l1=1時(shí)DSA算法和改進(jìn)DSA算法基于式(4)和里茲法獲得的優(yōu)化結(jié)果分別見表1和表2,表中Nfa為平均目標(biāo)函數(shù)評(píng)估次數(shù),Nit為平均迭代次數(shù),成功率為所獲優(yōu)化解與理論最優(yōu)值的絕對誤差小于設(shè)定精度(本文設(shè)為0.5)的次數(shù)與50次統(tǒng)計(jì)次數(shù)之比。

表1中DSA算法、改進(jìn)DSA算法以及SA算法[9]的優(yōu)化結(jié)果為獨(dú)立運(yùn)行50次統(tǒng)計(jì)所得,而GA算法[6]的優(yōu)化數(shù)據(jù)是獨(dú)立運(yùn)行200次統(tǒng)計(jì)結(jié)果。結(jié)果顯示改進(jìn)DSA算法獲得了與SA算法[9]、GA算法[6]相同的7個(gè)全局最優(yōu)解，而DSA算法僅獲得了其中3個(gè),且GA算法[6]獲得的優(yōu)化解③和⑥實(shí)為局部極值，說明本文改進(jìn)措施提高了DSA算法的全局搜索能力,能有效求解層合板屈曲優(yōu)化問題。

表1　基于式(4)的λcb優(yōu)化結(jié)果(l1=1)

表2數(shù)據(jù)顯示DSA算法與改進(jìn)DSA算法雖然均獲得3個(gè)優(yōu)化鋪層，但改進(jìn)DSA僅用了DSA所需Nfa和Nit的約1%的計(jì)算成本，獲得了高于DSA的收斂成功率和優(yōu)于DSA算法的λcb優(yōu)化結(jié)果,說明本文改進(jìn)措施有效避免了DSA算法易陷入局部極值和迭代后期收斂緩慢的不足,提高了DSA算法的計(jì)算效率和穩(wěn)定性。另外,表1中基于式(4)所獲優(yōu)化鋪層按里茲法計(jì)算獲得的λcb基本各不相同,且均小于表2中基于里茲法獲得的λcb,說明層合板屈曲優(yōu)化結(jié)果受響應(yīng)分析方法計(jì)算精度的影響明顯,考慮彎扭耦合的里茲法提高了計(jì)算精度,能獲得更好的優(yōu)化結(jié)果。

假設(shè)上述64層對稱層合板由單層鋪層鋪設(shè)而成,且θk∈[0°,90°],Δθ分別為30°、15°、10°、5°,l1分別為0.25、0.5、1.0、2.0時(shí)改進(jìn)DSA算法求解式(10)的優(yōu)化結(jié)果見表3和表4。

表3　基于式(4)的λcb優(yōu)化結(jié)果(l1=0.25)

表4　不同l1時(shí)基于里茲法的λcb優(yōu)化結(jié)果

算例2四邊簡支兩軸向承壓的對稱層合板,長a=50.8 mm,長寬比為a/b,Nx=0.175 N/mm,Ny=l1Nx。鋪層角度取值范圍為[-90°,90°],總鋪層數(shù)為N?；诶锲澐ê透倪M(jìn)DSA算法求解式(10),獲得單軸(l1=0)和雙軸(l1=1)向壓力作用下,不同N、a/b及Δθ時(shí)的優(yōu)化結(jié)果(見表5～表8),表中Nopt、Iopt分別為50次獨(dú)立運(yùn)算中獲得全局優(yōu)化解的個(gè)數(shù)和次數(shù)。

表3中基于式(4)的優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)[9]的最優(yōu)鋪層完全一致,但其對應(yīng)的λcb與按里茲法計(jì)算的λcb差異較大,與表4中l(wèi)1=0.25時(shí)的優(yōu)化結(jié)果相比,可發(fā)現(xiàn)基于里茲法獲得的λcb均高于基于式(4)所獲最優(yōu)鋪層的里茲法解,說明對于彎扭耦合不可忽視的層合板,式(4)因忽略彎扭耦合產(chǎn)生較大計(jì)算偏差而不能獲得優(yōu)化解,考慮彎扭耦合的里茲法能有效獲得問題優(yōu)化解。

表4數(shù)據(jù)顯示，l1一定時(shí)λcb隨Δθ減小而增大，說明增大設(shè)計(jì)空間能獲得更好的優(yōu)化結(jié)果。隨著l1增大,λcb逐漸減小且受Δθ的影響減弱,層合板趨于用較大的鋪層角來增強(qiáng)窄邊承載能力以提高屈曲穩(wěn)定性。

表5為l1=0的優(yōu)化結(jié)果,可以看到,給定N和a/b時(shí),Δθ分別取45°、15°、5°均獲得相同的優(yōu)化鋪層,獲得的λcb隨N減小而減小，隨a/b增大而增大,當(dāng)a/b=0.5時(shí)0°鋪層角最優(yōu),而a/b≥1時(shí)優(yōu)化鋪層角為45°和-45°的不同組合。

表6～表8則給出l1=1時(shí)N分別取32、64和128時(shí)的優(yōu)化結(jié)果，數(shù)據(jù)顯示,N一定時(shí),λab隨a/b增大而增大,鋪層角隨a/b增大逐漸從接近x軸向分布趨于接近y軸向分布,當(dāng)a/b=1時(shí)的優(yōu)化鋪層角為45°和-45°的不同組合。

表5　基于里茲法的λcb優(yōu)化結(jié)果(l1=0)

表7　基于里茲法的λcb優(yōu)化結(jié)果(l1=1,N=64)

表8　基于里茲法的λcb優(yōu)化結(jié)果(l1=1,N=32)

另外,從表5～表8中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，給定N、a/b和Δθ下的優(yōu)化問題50次獨(dú)立運(yùn)算所獲得的λcb差異均較小,相對波動(dòng)幅值小于1%,說明改進(jìn)DSA算法具有較好的計(jì)算穩(wěn)定性，能穩(wěn)定地進(jìn)行層合板屈曲問題的鋪層順序優(yōu)化；而給定N和a/b時(shí),隨著Δθ減小,Iopt逐步減小,表6～表8中的λcb及其波動(dòng)幅值逐漸增大,說明小Δθ值增大了設(shè)計(jì)空間有利于獲得更好的優(yōu)化解,但也因設(shè)計(jì)空間的擴(kuò)大降低了算法搜索到全局優(yōu)化解的概率和算法的計(jì)算穩(wěn)定性。

4　結(jié)論

本文采用改進(jìn)的直接搜索模擬退火算法開展了最大化層合板屈曲承載力的鋪層順序優(yōu)化研究。改進(jìn)的直接搜索模擬退火算法通過調(diào)整初始溫度確定方法和引入搜索范圍動(dòng)態(tài)調(diào)整的新點(diǎn)產(chǎn)生方式,有效地改善了直接搜索模擬退火算法的計(jì)算效率和穩(wěn)定性，提高了算法全局搜索能力。典型多極值屈曲優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證了算法改進(jìn)措施的有效性，揭示了考慮層合板彎扭耦合能更好地獲得問題的優(yōu)化結(jié)果,而不同的角度增量、鋪層數(shù)以及長寬比層合板在不同比例軸壓載荷作用下的優(yōu)化結(jié)果表明，本文改進(jìn)算法能穩(wěn)定有效地求解層合板最優(yōu)鋪層順序。

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(編輯盧湘帆)

Buckling Optimization of Composite Laminates Based on Improved Simulated Annealing Algorithm

Sun ShipingZeng QinglongWu Jianjun

Nanchang Hangkong University,Nanchang,330063

An improved direct search SA algorithm was presented to find globally stacking sequence design of symmetrically composite laminates with maximum buckling load.A new point generation mechanism was introduced into improved SA to enhance the stability and efficiency of the algorithm,which the variational search area for generating new point was proposed to realize global and local search consistent.The design variable was as discrete ply angle and buckling response of laminate was analyzed by Ritz method to consider the bend-twist coupling.A multiple-global optimal problem known was explored to comparative investigate the performance of improved SA.Further,the numerical examples were conducted for different angle increments,layer numbers,aspect ratio and load ratios,the results show that the presented algrothm is capable to optimize the stacking sequence of composite laminates.

buckling optimization;simulated anealing(SA) algorrthm;composite laminates;Ritz method;optimal design

2014-08-07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11362017);江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(GJJ13520,GJJ13494)

TB33DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.12.020

孫士平,男,1972年生。南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)椴牧?結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。發(fā)表論文20余篇。曾慶龍，男，1989年生。南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院碩士研究生。吳建軍，男，1983年生。南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院碩士研究生。