常定勇　方躍法

北京交通大學(xué)，北京，100044

多輸出3D打印冗余并聯(lián)機(jī)器人的設(shè)計(jì)與分析

常定勇方躍法

北京交通大學(xué)，北京，100044

設(shè)計(jì)了一種新型多輸出3D打印機(jī)器人，該機(jī)器人機(jī)構(gòu)以Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)為主構(gòu)型，以Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)為輔助構(gòu)型，在末端執(zhí)行器上布置多個(gè)打印頭，實(shí)現(xiàn)多輸出。根據(jù)建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，分析了該機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，得到速度雅可比矩陣，解得各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的速度和加速度。給定動(dòng)平臺的運(yùn)動(dòng)軌跡，仿真分析了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)性，并對機(jī)構(gòu)的靈巧性與靜剛度進(jìn)行了分析。

3D打印機(jī)器人；并聯(lián)機(jī)構(gòu)；雅可比矩陣；靈巧性；靜剛度

0　引言

打印材料和設(shè)備的不斷創(chuàng)新和發(fā)展使得3D打印技術(shù)在電子產(chǎn)品、汽車、航空、醫(yī)療、地理信息及藝術(shù)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域得到越來越廣泛的應(yīng)用[1-3]。由于3D打印高端RP系統(tǒng)價(jià)格昂貴， 運(yùn)行成本高，對環(huán)境要求比較高，且需要專人操作和維護(hù)，而基于噴射技術(shù)的三維打印(3DP)成形技術(shù)設(shè)備和材料便宜，運(yùn)行成本低，操作簡單，成形過程無污染，打印速度快，且適合辦公室環(huán)境，可制作精細(xì)復(fù)雜零件，故基于噴射技術(shù)的3D打印技術(shù)成為RP行業(yè)近幾年的研究熱點(diǎn)。1993年麻省理工學(xué)院(MIT)獲3D實(shí)體印刷技術(shù)專利，為3D打印技術(shù)迅速發(fā)展提供了平臺[1，4]。2005年Z Corp.公司成功研制了基于噴墨技術(shù)的高清彩色打印機(jī)Spectrum Z510[5]，該公司的Z系列打印機(jī)是采用MIT發(fā)明的基于噴射黏結(jié)劑粉末工藝的3DP設(shè)備，其構(gòu)型均為串聯(lián)機(jī)構(gòu)，相關(guān)研究人員對該3D打印機(jī)的打印精度進(jìn)行了分析[6]。RepRap項(xiàng)目已經(jīng)發(fā)布了4個(gè)版本的3D立體打印機(jī)，分別為：2007年3月發(fā)布的Darwin、2009年10月發(fā)布的Mendel、2010年發(fā)布的Prusa Mendel和Huxley，這些3D打印機(jī)是基于笛卡兒坐標(biāo)的串聯(lián)結(jié)構(gòu)打印機(jī)[7]。美國Fab@home實(shí)驗(yàn)室于2009年研制出第一臺具有兩個(gè)打印頭的串聯(lián)結(jié)構(gòu)開源雙色3D打印機(jī)Model 2，這種打印機(jī)價(jià)格便宜、體積小，適合家庭桌面辦公[8-9]。最近幾年，國內(nèi)外出現(xiàn)了采用聚乳酸(Polylacitc Acid)材料打印實(shí)體模型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)3D打印機(jī)，如3D打印Delta機(jī)器人[10]等，能夠滿足一般性產(chǎn)品的打印要求。

現(xiàn)有的大部分3D打印機(jī)只有一個(gè)打印頭一個(gè)輸出，一臺打印機(jī)只能生產(chǎn)制造一個(gè)產(chǎn)品，不能同時(shí)打印多個(gè)產(chǎn)品，打印批量產(chǎn)品耗費(fèi)時(shí)間長、生產(chǎn)成本高。本文設(shè)計(jì)一種新型基于噴射技術(shù)的3DP成形技術(shù)多輸出3D打印并聯(lián)機(jī)器人，其結(jié)構(gòu)以Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)為主構(gòu)型，為了確保打印機(jī)末端執(zhí)行器的剛度和運(yùn)動(dòng)的精度，通過3組對稱分布的平行雙聯(lián)滾珠絲杠副將每根剛性連接桿與定平臺連接，構(gòu)成Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)，為動(dòng)平臺提供支撐力，并且通過控制動(dòng)平臺運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)提高打印機(jī)末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性。

1　機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)描述

設(shè)計(jì)的多輸出3D打印并聯(lián)機(jī)器人樣機(jī)模型如圖1所示。由定平臺1、動(dòng)平臺11、3條由滾珠絲桿副7和桿端關(guān)節(jié)軸承從動(dòng)桿4組成的運(yùn)動(dòng)支鏈、驅(qū)動(dòng)電機(jī)和聯(lián)軸器8構(gòu)成Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)(主體機(jī)構(gòu))；由3根剛性連桿10、6條由3組雙聯(lián)滾珠絲桿副3和球副5以及連桿組成的運(yùn)動(dòng)支鏈、驅(qū)動(dòng)電機(jī)2構(gòu)成Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)(輔助機(jī)構(gòu))；設(shè)置有4個(gè)打印頭6、4個(gè)工作臺9。結(jié)合以上各部分，整體構(gòu)成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。

1.定平臺　2.驅(qū)動(dòng)電機(jī)　3.雙聯(lián)滾珠絲桿副　4.從動(dòng)桿5.球副　6.打印頭　7.滾珠絲桿副　8.聯(lián)軸器9.工作臺　10.剛性連桿　11.動(dòng)平臺圖1　多輸出3D打印并聯(lián)機(jī)器人樣機(jī)模型

為了簡化機(jī)構(gòu)模型，提取圖1中機(jī)構(gòu)的一條支鏈進(jìn)行具體表達(dá)，見圖2。ΔA1A2A3與ΔB1B2B3為等邊三角形，固定坐標(biāo)系Oxyz與動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系O1x1y1z1的原點(diǎn)分別為定平臺和動(dòng)平臺的幾何中心，x軸(x1軸)與OA1(O1B1)共線，y軸(y1軸)平行于邊A2A3(B2B3), z軸(z1軸)垂直向上，定平臺與動(dòng)平臺的外接圓半徑分別為R和r，即|OA1|=|OA2|=|OA3|=R，|O1B1|=|O1B2|=|O1B3|=r，并且R>r。O1Q3過點(diǎn)N3，|O1Q3|=d>R。設(shè)計(jì)時(shí)每組對應(yīng)的平行雙聯(lián)滾珠絲桿副采用同步驅(qū)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，兩根驅(qū)動(dòng)絲桿始終保持平行，限制輔助機(jī)構(gòu)3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，該機(jī)器人機(jī)構(gòu)只有3個(gè)純移動(dòng)自由度。

圖2　定動(dòng)平臺及運(yùn)動(dòng)支鏈的幾何位置關(guān)系

2　運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1位置反解分析

由向量OAn、AnPn、PnBn、BnO1、O1O構(gòu)成主體機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)支鏈閉環(huán)，n=1,2,3。

在固定坐標(biāo)系Oxyz中，An的位置坐標(biāo)為

θn=2(n-1)π/3n=1,2,3

同樣，在固定坐標(biāo)系Oxyz中，Bn的位置坐標(biāo)為

根據(jù)空間幾何關(guān)系，令|AnPn|=Lbn，那么,點(diǎn)Pn在固定坐標(biāo)系Oxyz中的位置矢量可以表示為

在固定坐標(biāo)系Oxyz中，Mn的位置坐標(biāo)為

γn=(2n-1)π/3n=1,2,3

同樣，在固定坐標(biāo)系Oxyz中,Qn的位置坐標(biāo)為

(x+rcosθn-Rcosθn)2+

(1)

(x+dcosγn-Rcosγn)2+

(2)

為了滿足動(dòng)平臺的運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)要求，輔助機(jī)構(gòu)每組對稱分布的平行雙聯(lián)滾珠絲杠副對應(yīng)的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)徑向輸入速度應(yīng)是一致的，將θn=2(n-1)π/3，γn=(2n-1)π/3代入式(1)和式(2)可得包含6個(gè)未知數(shù)的6個(gè)約束方程：

(3)

(4)

分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，可以確定驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的位移范圍，得到機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺運(yùn)動(dòng)范圍即可達(dá)工作空間。工作空間的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)應(yīng)滿足如下條件：

此時(shí)，動(dòng)平臺的幾何中心在固定坐標(biāo)系的z軸上。

給定結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1　多輸出3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù) mm

結(jié)合表1所給的設(shè)計(jì)參數(shù)及所建立的約束方程式(3)和式(4)，求得該機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間邊界曲面如圖3所示。工作空間的最大截面與該截面上外接圓的關(guān)系如圖4所示，外接圓半徑為S。為避免剛性連桿與主體機(jī)構(gòu)滾珠絲桿副的直線導(dǎo)軌發(fā)生干涉，剛性連桿的最大水平寬度為h(0

圖3　打印機(jī)器人工作空間邊界曲面

圖4　工作空間最大截面與其外接圓的位置關(guān)系

給定機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺幾何中心O1在可達(dá)工作空間內(nèi)的位置坐標(biāo)，如表2所示。結(jié)合式(3)和式(4)求得機(jī)構(gòu)對應(yīng)輸入關(guān)節(jié)位置的數(shù)值解，如表3所示。

表2　動(dòng)平臺幾何中心在固定坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)　mm

表3　機(jī)構(gòu)輸入關(guān)節(jié)位置的數(shù)值解　mm

根據(jù)機(jī)構(gòu)給定的輸入范圍，求得的4組位置數(shù)值解符合設(shè)計(jì)要求。為了使兩種組成機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)支鏈驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺同步運(yùn)動(dòng)，需要分析輸入關(guān)節(jié)速度和加速度的對應(yīng)關(guān)系。

2.2雅可比矩陣分析

雅可比矩陣能夠?qū)?dòng)平臺的運(yùn)動(dòng)速度與支鏈各個(gè)關(guān)節(jié)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)速度和加速度相關(guān)聯(lián)，這里主要分析驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)速度和加速度。將式(1)對x，y，z，θn，Lbn分別求關(guān)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，寫成矩陣形式為

(5)

式中，J1為主體機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣。

將式(2)對x，y，z，γn，Ln分別求關(guān)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，寫成矩陣形式為

(6)

式中，J2為輔助機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣。

由式(5)和式(6)得到多輸出3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣為

(7)

那么有

(8)

當(dāng)給定機(jī)構(gòu)參數(shù)以及動(dòng)平臺速度時(shí)，由式(8)即可求得各支鏈驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的瞬時(shí)輸入速度。同樣，其余各個(gè)關(guān)節(jié)的瞬時(shí)速度也可以根據(jù)此方法求得。

將式(5)和式(6)兩邊分別求關(guān)于時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，即可得到加速度模型：

(9)

由式(9)可知，各個(gè)支鏈的輸入加速度的變化與其處于該位置時(shí)的輸入速度和加速度都相關(guān)。

2.3運(yùn)動(dòng)仿真分析

為了滿足打印機(jī)末端執(zhí)行器在工作空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)要求，設(shè)定打印機(jī)噴頭直徑為0.4 mm，給定一個(gè)打印頭運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖5所示，為順時(shí)針上升螺紋線，直徑為60 mm，螺距為0.4 mm，圈數(shù)為20。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，多輸出3D打印機(jī)器人的4個(gè)打印頭運(yùn)動(dòng)軌跡是一樣的，如圖6所示。打印頭做速度為30 mm/s的勻速運(yùn)動(dòng)。

圖5　設(shè)定的打印頭運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖

圖6　打印頭運(yùn)動(dòng)軌跡

(a)主體機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)線位移

(b)主體機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)線速度

(c)主體機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)線加速度

圖7主體機(jī)構(gòu)輸入關(guān)節(jié)線位移、速度和加速度隨時(shí)間變化曲線

分析結(jié)果表明，在給定動(dòng)平臺的運(yùn)動(dòng)和軌跡時(shí)，主體機(jī)構(gòu)和輔助機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位置、速度和加速度隨時(shí)間的變化曲線是分別對應(yīng)呈一定相位變化的。這樣的變化是由各運(yùn)動(dòng)支鏈在動(dòng)定平臺上的相對位置決定的。將加速度變化曲線(圖7c、圖8c)與式(9)對比發(fā)現(xiàn)，機(jī)構(gòu)不同支鏈相應(yīng)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的加速度變化是一致的。若要實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)控制打印機(jī)的輸出，必須精確控制打印機(jī)器人輸入電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。

(a)輔助機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)線位移

(b)輔助機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)線速度

(c)輔助機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)線加速度

圖8輔助機(jī)構(gòu)輸入關(guān)節(jié)線位移、速度和加速度隨時(shí)間的變化曲線

3　運(yùn)動(dòng)性能分析

3.1奇異和靈巧性分析

機(jī)器人的可操作度定義為雅可比矩陣及其轉(zhuǎn)置的乘積的行列式的開方[11]，即

(10)

當(dāng)ω=0時(shí)，機(jī)構(gòu)處于奇異位置；當(dāng)ω≠0時(shí)，機(jī)構(gòu)處于非奇異位置。用機(jī)器人的可操作度來衡量機(jī)構(gòu)的整體靈巧性。結(jié)合表1所給參數(shù)，給定輸入關(guān)節(jié)變量數(shù)值，如表4所示。求得機(jī)構(gòu)的可操作度ω值在工作空間截面z=-400 mm,z=-200 mm處的分布，如圖9所示?？梢钥闯靓刈钚≈挡粸?,該機(jī)構(gòu)不存在奇異位置，具有良好的可操作性能。

表4　3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)輸入關(guān)節(jié)參數(shù)　mm

(a)z=-400 mm

(b)z=-200 mm圖9　ω值在工作空間截面上的分布

(11)

將式(11)減去式(8)得到：

(12)

(13)

其中，‖J‖‖J-1‖即為雅可比矩陣的條件數(shù)，記為κ(J),且1<κ(J)<∞，κ(J)越大，機(jī)構(gòu)輸入速度變化對輸出的影響越大；當(dāng)κ(J)=1時(shí)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)傳遞性能最好。

目前常用譜范數(shù)計(jì)算矩陣的條件數(shù)定義為

(1) 本實(shí)驗(yàn)中光照強(qiáng)度的大小是通過控制____________來實(shí)現(xiàn)的；光合作用速率是通過____________反映出來的；產(chǎn)生的氣泡中的氣體主要是____________。

κ(J)=‖J‖‖J-1‖

(14)

(15)

式中，x為任意列向量，其元素個(gè)數(shù)與J的列數(shù)相同。

對式(15)兩邊取平方可得

(16)

‖J‖2即為矩陣JTJ的最大特征值。如果J為非奇異矩陣，那么JTJ為正定矩陣，特征值都為正數(shù)。

(17)

在工作空間z=-400 mm,z=-200 mm截面上，機(jī)構(gòu)條件數(shù)隨著x、y變化,多輸出3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)條件數(shù)分布如圖10所示，主體機(jī)構(gòu)的雅可比條件數(shù)分布如圖11所示，輔助機(jī)構(gòu)的雅可比條件數(shù)分布如圖12所示。

(a)z=-400 mm

(b)z=-200 mm圖10　多輸出3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣條件數(shù)分布

(a)z=-400 mm

(b)z=-200 mm圖11　主體機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣條件數(shù)分布

(a)z=-400 mm

(b)z=-200 mm圖12　輔助機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣條件數(shù)分布

從圖10～圖12中可以看出，在接近截面的原點(diǎn)處κ值最小，機(jī)構(gòu)的靈巧性最好，在工作空間截面邊界處κ值最大，機(jī)構(gòu)的靈巧性降低。多輸出3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)雅可比矩陣J的條件數(shù)要小于主體機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣J1的條件數(shù)，稍大于輔助機(jī)構(gòu)雅可比矩陣J2的條件數(shù)，具有良好的靈巧性。

3.2靜剛度分析

對于并聯(lián)機(jī)器人，其靜剛度是指動(dòng)平臺處的輸出剛度，剛度性能指標(biāo)能評估機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的輸入輸出性能[12-13]。一般通過建立驅(qū)動(dòng)傳動(dòng)系統(tǒng)的輸入剛度與動(dòng)平臺的輸出剛度之間的映射關(guān)系求解并聯(lián)機(jī)器人的靜剛度問題，在此過程中，假設(shè)各桿件是沒有柔性的。

令τ=(τ1,τ2,…,τi)T為各個(gè)支鏈中主動(dòng)副處的驅(qū)動(dòng)力旋量，Δqi為相應(yīng)關(guān)節(jié)的變形，χ=diag(k1,k2,…,ki)，ki為等效彈簧常數(shù)，寫成矩陣形式為

τ=χΔq

機(jī)器人機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣可以表示為

(18)

將式(18)用微分形式可表示為

Δq=JΔX

(19)

式中,ΔX為動(dòng)平臺的微小變形。

并且定義動(dòng)平臺的等效力旋量F為

F=KΔX

(20)

可以推導(dǎo)出：

K=JTχ J

(21)

可以看出機(jī)器人的剛度矩陣K也是對稱矩陣,其結(jié)果與機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)剛度和雅可比矩陣有關(guān)。因此,機(jī)器人機(jī)構(gòu)的靜剛度與機(jī)器人的位形參數(shù)和坐標(biāo)系選擇有關(guān)。

利用表1中的設(shè)計(jì)參數(shù)及表4中給定的機(jī)構(gòu)輸入?yún)?shù)，選取工作空間截面z=-300 mm，取等效彈簧系數(shù)k=1000,分析此時(shí)機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣的特征值隨x、y的變化。多輸出3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)、主體機(jī)構(gòu)和輔助機(jī)構(gòu)剛度矩陣最大特征值和最小特征值分布如圖13、圖14所示。

(a)機(jī)器人機(jī)構(gòu)

(b)主體機(jī)構(gòu)

(c)輔助機(jī)構(gòu)圖13　剛度矩陣最大特征值分布

(a)機(jī)器人機(jī)構(gòu)

(b)主體機(jī)構(gòu)

(c)輔助機(jī)構(gòu)圖14　剛度矩陣最小特征值分布

在實(shí)際情況中,為了使末端執(zhí)行器在該工作空間截面上具有更高的精度,最小靜剛度要大于某個(gè)特定值,一般選用最小特征值表示此位置機(jī)構(gòu)的整體靜剛度。從圖13、圖14中分析可知:①在此工作空間截面上,多輸出3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)的剛度矩陣的最大特征值遠(yuǎn)大于主體機(jī)構(gòu)和輔助機(jī)構(gòu)的剛度矩陣最大特征值,說明此處3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺最大靜剛度性能較好;②多輸出3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)的剛度矩陣的最小特征值大于主體機(jī)構(gòu)和輔助機(jī)構(gòu)的剛度矩陣最小特征值，且遠(yuǎn)大于0，說明機(jī)器人機(jī)構(gòu)相對于主體機(jī)構(gòu)和輔助機(jī)構(gòu)整體靜剛度有所增大,能夠提供更好的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。

4　結(jié)論

(1)通過建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解約束方程，求得3D打印機(jī)器人機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣，將動(dòng)平臺的運(yùn)動(dòng)速度與支鏈各個(gè)關(guān)節(jié)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)速度和加速度相關(guān)聯(lián)。

(2)給定3D打印并聯(lián)機(jī)器人執(zhí)行器末端的運(yùn)動(dòng)速度和軌跡，通過仿真分析可反求得各個(gè)輸入關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)速度，為實(shí)現(xiàn)機(jī)器人控制提供依據(jù)。

(3)結(jié)合雅可比矩陣分析可操作度和靈巧性，機(jī)構(gòu)不存在奇異位置，具有良好的靈巧性。

(4)分析剛度矩陣，得到的結(jié)果滿足設(shè)計(jì)要求，輔助機(jī)構(gòu)在為剛性連桿提供拉力的同時(shí)，還能夠提高設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺的穩(wěn)定性及剛度。

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(編輯袁興玲)

Design and Analysis of a Multiple Output 3D Printing Redundant Parallel Manipulator

Chang DingyongFang Yuefa

Beijing Jiaotong University,Beijing,100044

A multiple output 3D printing robot was designed. The main configuration of this robot was Delta parallel manipulator, the Stewart parallel manipulator was served as an auxiliary configuration. In order to achieve multiple output ability, more extruders on the end effector of the robot were arranged. Based on the established kinematics model, the inverse kinematics of the proposed redundant parallel manipulator was analyzed and the velocity Jacobian matrix was obtained. Then, the velocity and acceleration of each actuated joint were solved.The motion coordination of the mechanism with a prescribed motion trajectory was analyzed, which was based on the simulation model. In addition, dexterity and static stiffness of the mechanism were analyzed.

3D printing robot; parallel manipulator; the Jacobian matrix; dexterity;static stiffness

2015-01-28

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175029)；北京市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(3132019)

TH112< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.12.005

常定勇，男，1988年生。北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)及控制。方躍法，男，1958年生。北京交通大學(xué)機(jī)械與電子控制工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。