潘柏松　謝少軍　Du Xiaoping　梁利華

1.浙江工業(yè)大學(xué),杭州,3100142.Missouri University of Science and Technology,Rolla,USA

隨機變量和非獨立區(qū)間變量下的可靠性序列迭代算法

潘柏松1謝少軍1Du Xiaoping2梁利華1

1.浙江工業(yè)大學(xué),杭州,3100142.Missouri University of Science and Technology,Rolla,USA

針對機械系統(tǒng)中輸入變量存在隨機變量和區(qū)間變量混合的情況，考慮區(qū)間變量的非獨立性，提出高效混合可靠性分析方法。區(qū)間變量使可靠性分析問題變?yōu)殡p層優(yōu)化問題。為降低雙層優(yōu)化和非獨立區(qū)間變量對可靠性計算效率的影響，提出了高效序列迭代計算策略，基于橢球模型描述的非獨立區(qū)間變量，提出將非獨立區(qū)間變量轉(zhuǎn)換為獨立區(qū)間變量的方法，并利用二次泰勒近似方法，將區(qū)間分析問題轉(zhuǎn)換為易求解的二次規(guī)劃問題。算例結(jié)果表明，所提出的可靠性序列迭代算法具有較高的計算效率和精度；可靠性分析結(jié)果受區(qū)間變量獨立性假設(shè)的影響，區(qū)間變量獨立可導(dǎo)致較保守的可靠性分析結(jié)果。

可靠性分析;橢球模型;非獨立區(qū)間變量;序列迭代算法

0　引言

為克服傳統(tǒng)可靠性分析及設(shè)計在處理認(rèn)知不確定性方面的不足，學(xué)者們發(fā)展了較多非概率建模理論,如可能性理論[3]、證據(jù)理論[4]、凸集模型[5],以及概率建模理論——貝葉斯理論[6]。作為凸集模型的特例，區(qū)間模型[7]在實數(shù)軸上規(guī)定了認(rèn)知不確定性變量可變區(qū)間的上下限。在工程應(yīng)用中,僅有的信息為不確定性變量處于某個區(qū)間內(nèi)的情況十分常見,如結(jié)構(gòu)幾何尺寸、運動副間隙、測量誤差、計算誤差等，基于區(qū)間模型的可靠性研究已有諸多報道。如Du等[8]提出了隨機變量和區(qū)間變量混合型可靠性設(shè)計方法;江濤等[9]基于區(qū)間模型提出了非概率可靠性指標(biāo)的一維優(yōu)化方法;姜潮等[10]針對分布參數(shù)存在區(qū)間變量的混合不確定問題，提出了一種時變可靠性分析方法。為提高區(qū)間模型計算效率,Du[11]基于一次二階矩法提出了一種高效的混合型可靠性分析方法;Jiang等[12]提出了序列非線性區(qū)間規(guī)劃方法。

但上述文獻均假設(shè)區(qū)間變量是相互獨立的,而在實際工程中,某些區(qū)間變量存在一定的相關(guān)性，是非獨立的，如描述結(jié)構(gòu)幾何尺寸的區(qū)間變量和結(jié)構(gòu)質(zhì)量的區(qū)間變量一般存在相關(guān)性，較大的幾何尺寸區(qū)間變量意味著較大的結(jié)構(gòu)質(zhì)量區(qū)間變量,反之亦然；兩個區(qū)間變量可單獨取區(qū)間的最大值或最小值，但兩者不同時為最大值或最小值;與幾何尺寸區(qū)間變量和結(jié)構(gòu)質(zhì)量區(qū)間變量的相關(guān)性相反,某區(qū)間變量取值較大表明另一個區(qū)間變量較小。在一般常識意義上,本文將這三種情況的相關(guān)性分別稱為正相關(guān)性、零相關(guān)性和負(fù)相關(guān)性?？紤]區(qū)間變量的非獨立性具有非常重要的研究意義,但目前關(guān)于非獨立區(qū)間變量的可靠性研究較少。Du[13]針對機構(gòu)運動副,基于物理關(guān)系式推導(dǎo)獲得非獨立區(qū)間變量描述模型——等式與不等式約束條件,提出了一種隨機變量和非獨立區(qū)間變量的混合型可靠性設(shè)計方法。Jiang等[14]采用多維度平行六面體區(qū)間模型，考慮了區(qū)間變量為獨立或非獨立的情況,提出了一種新的非線性區(qū)間規(guī)劃方法，但該規(guī)劃方法未考慮系統(tǒng)中同時存在隨機變量和區(qū)間變量的混合情況。

本文針對系統(tǒng)輸入變量存在隨機變量和非獨立區(qū)間變量混合的情況，基于條件概率法和橢球模型，提出了混合型可靠性分析模型及高效可靠性分析算法。為解決非獨立區(qū)間變量對計算效率的影響,利用線性變換,將非獨立區(qū)間變量轉(zhuǎn)換為獨立區(qū)間變量；為解決概率分析和區(qū)間分析雙層循環(huán)計算效率低下難題，提出了序列迭代算法。

1　橢球模型

橢球模型屬于凸集模型,最早由Ben-Haim等[5,15]提出。橢球模型可方便地描述非獨立區(qū)間變量,在許多實際應(yīng)用中,橢球模型較其他模型具有更多的優(yōu)點[16-17]。

設(shè)Y=(Y1,Y2,…,YNY)T為區(qū)間變量矢量,區(qū)間變量個數(shù)為NY。由于在復(fù)雜機械系統(tǒng)中,區(qū)間變量的維度一般較高,而且區(qū)間變量之間的非獨立關(guān)系往往不同(如某些區(qū)間變量服從正相關(guān)關(guān)系,而某些區(qū)間變量是相互獨立的),因此,需根據(jù)不同的獨立性特點,將區(qū)間變量歸入不同的組。設(shè)經(jīng)分組后,區(qū)間變量矢量可表示為Y=(Y1,Y2,…,YNg)T,其中Ng為組的數(shù)量,Yi為第i組區(qū)間變量矢量?；诜纸M后的區(qū)間變量,橢球模型可描述為

(1)

因可行域S由Ng個橢球組成,故該模型也稱為多橢球模型,單個橢球模型的變量不超過3個。多橢球模型可方便地描述具有不同獨立特性的區(qū)間變量。如當(dāng)某區(qū)間變量是獨立的，則橢球模型可退化為區(qū)間模型；當(dāng)兩個區(qū)間變量存在相關(guān)性，則橢球模型可退化為橢圓模型。圖1給出了3個區(qū)間變量構(gòu)成的不同幾何形狀的可行域S：在圖1a中，3個變量是相互獨立的；在圖1b中,Y3是獨立的變量,Y1和Y2存在相關(guān)性,是非獨立的;在圖1c中,3個變量存在相關(guān)性,是非獨立的。

(a)三變量相關(guān)獨立(b)一變量獨立，兩變量相關(guān)(c)三變量相關(guān)圖1　橢球模型

因各個區(qū)間變量的單位不同,區(qū)間大小不同,不便于分析計算,故將區(qū)間變量轉(zhuǎn)換為量綱一變量:

(2)

則分組后的區(qū)間變量矢量Y=(Y1,Y2,…,YNg)T轉(zhuǎn)換為V=(V1,V2,…,VNg)T。

多橢球模型可相應(yīng)地表示為

(3)

(4)

(5)

2　可靠性分析模型

設(shè)系統(tǒng)極限狀態(tài)函數(shù)為

G=g(X,Y)

(6)

其中,X=(X1,X2,…,XNX)T為隨機變量矢量,隨機變量的個數(shù)為NX;Y=(Y1,Y2,…,YNY)T為區(qū)間變量矢量,區(qū)間變量的個數(shù)為NY。

將區(qū)間變量的變換關(guān)系式代入式(6),則極限狀態(tài)函數(shù)可寫為G=g(X,E)。設(shè)G<0時系統(tǒng)失效,則系統(tǒng)失效概率Pf可表示為Pf=Pr{g(X,E)<0}。因未知區(qū)間變量V的概率分布,故不能獲得準(zhǔn)確的失效概率Pf。利用條件概率公式,可得失效概率Pf的最小值Pf min和最大值Pf max的計算公式:

Pf min=Pr{gmax(X,E)<0|E∈S|

(7)

Pf max=Pr{gmin(X,E)<0|E∈S}

(8)

其中,gmax(X,E)和gmin(X,E)分別表示在可行域S內(nèi)極限狀態(tài)函數(shù)的全局最大值和最小值。

由式(7)和式(8)可見,當(dāng)系統(tǒng)極限狀態(tài)函數(shù)的不確定性輸入變量存在隨機變量和區(qū)間變量時，系統(tǒng)失效概率的最小值和最大值分別為最大極限狀態(tài)函數(shù)和最小極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率。相對于傳統(tǒng)可靠性分析問題，該可靠性分析問題涉及雙層分析循環(huán)：內(nèi)循環(huán)為區(qū)間分析，在可行域S內(nèi)搜尋極限狀態(tài)函數(shù)的極限值；外循環(huán)為概率分析，求解最大極限狀態(tài)函數(shù)或最小極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率。雙層分析循環(huán)增加了可靠性分析問題的復(fù)雜性，降低了可靠性分析的計算效率，尤其當(dāng)極限狀態(tài)函數(shù)由計算機數(shù)值仿真模型(如有限元模型、流體動力學(xué)模型等)隱式表述時。為提高隨機變量和非獨立區(qū)間變量混合情況下的可靠性分析計算效率，本文提出了基于一次二階矩法的高效可靠性分析方法。

3　可靠性分析方法

一次二階矩法是一種針對不確定性輸入變量均為隨機變量的近似可靠性分析方法,它包括兩個關(guān)鍵步驟:將隨機變量轉(zhuǎn)換為獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量;搜尋最大概率點(MPP),在最大概率點對極限狀態(tài)函數(shù)作線性近似,最后求得可靠性指標(biāo)。

因一次二階矩法的計算效率和準(zhǔn)確度令人滿意,故在實際工程中已獲大量應(yīng)用，在此選用一次二階矩法進行可靠性分析。在一次二階矩法中，最大概率點u*的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型為

(9)

其中,U=(U1,U2,…,UNX)T為獨立的隨機變量矢量,服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,由隨機矢量X經(jīng)Rosenblatt變換獲得。

e*為經(jīng)變換后的區(qū)間變量最優(yōu)點,由內(nèi)層區(qū)間分析求得:

(10)

或

(11)

一旦尋得最大概率點,則系統(tǒng)失效概率的最小值和最大值分別為

Pf min=Pr{(gmax(X,E)<0|E∈S}=

Φ(-((u*)Tu*)1/2)

(12)

Pf max=Pr{gmin(X,E)<0|E∈S}=

Φ(-((u*)Tu*)1/2)

(13)

其中,Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

圖2給出了失效概率的計算流程,內(nèi)層區(qū)間循環(huán)嵌于外層概率分析循環(huán)。由圖2可見，概率分析和區(qū)間分析的算法效率共同決定了可靠性分析的整體計算效率，為此，本文提出了高效的序列迭代算法，該算法由隨機變量迭代和區(qū)間變量迭代兩部分組成。在隨機變量迭代中，采用了高效的iHLRF迭代算法；在區(qū)間變量迭代中，將非獨立區(qū)間變量轉(zhuǎn)換為獨立變量，對極限狀態(tài)函數(shù)作二次近似，將區(qū)間分析問題轉(zhuǎn)換為二次規(guī)劃問題，最終利用梯度投影法，求得極限狀態(tài)函數(shù)的極限值。

圖2　雙層循環(huán)計算流程

3.1iHLRF迭代算法[18]

作為HLRF算法的改進算法，iHLRF算法引入了評價函數(shù)，用于調(diào)整每一步的迭代步長，解決了HLRF在處理高非線性響應(yīng)函數(shù)時收斂困難的問題。因iHLRF算法收斂快速，并具有較好的穩(wěn)健性,故在工程中被廣泛應(yīng)用。

設(shè)當(dāng)前迭代步驟為k+1，則最大概率點的迭代公式為

uk+1=uk+αkdk

(14)

其中,αk為迭代步長，dk為迭代方向，其計算式為

(15)

迭代步長αk通過求評價函數(shù)最小值獲得，評價函數(shù)為

(16)

其中,c為常數(shù),滿足c>‖u‖/‖gu(u,e)‖。

在實際應(yīng)用中，為減小計算量,在確定αk時無需準(zhǔn)確搜尋評價函數(shù)最小值,而只需滿足評價函數(shù)足夠小條件，迭代步長αk由以下計算式確定：

(17)

在此取b=0.5,c=2(‖u‖/‖gu(u,e)‖)。

3.2區(qū)間迭代算法

為提高效率,利用Karush-Kuhn-Tucker最優(yōu)化條件(KKT條件)事先判斷區(qū)間變量迭代初始點是否為優(yōu)化點。若滿足KKT條件，則跳過區(qū)間迭代;若不滿足,則實施區(qū)間迭代。因在可靠性分析中工程師往往關(guān)心最壞的情況,即最大失效概率，故以下僅具體描述了求解Pf max的區(qū)間迭代算法。

基于式(5)給出多橢球模型的參數(shù)化表達(dá)式,將非獨立區(qū)間變量E轉(zhuǎn)換為相互獨立的區(qū)間變量P,轉(zhuǎn)換關(guān)系式表示為P=h(E),具體表達(dá)分以下三種情況：

(1)當(dāng)i個橢球模型中有三個區(qū)間變量Ei1、Ei2和Ei3，則令Ei1=Pi1sinPi2cosPi3,Ei2=Pi1sinPi2sinPi3，Ei3=Pi1cosPi2,其中Pi1∈[0,1],Pi2∈[0,π]，Pi3∈[0,2π]；

(2)當(dāng)i個橢球模型中有兩個區(qū)間變量Ei1、Ei2,即橢球模型退化為橢圓模型,則令Ei1=Pi1cosPi2,Ei2=Pi1sinPi2,其中Pi1∈[0,1],Pi2∈[0,2π]；

(3)當(dāng)橢球模型中只有單個區(qū)間變量,即橢球模型退化為區(qū)間模型,表明該區(qū)間變量是獨立的,則Ei1=Pi1,其中Pi1∈[-1,1]。

將經(jīng)上述變換后的區(qū)間變量代入極限狀態(tài)函數(shù)g(U,E),g(U,E)可表述為g(U,P),則式(11)可重寫為

(18)

設(shè)l為區(qū)間迭代循環(huán)次數(shù),在迭代初始時,令l=0,初始點pl=0=h(ek)。在區(qū)間迭代循環(huán)中,隨機變量uk+1保持不變，故在以下給出的區(qū)間迭代算法中,省略隨機變量。設(shè)當(dāng)前區(qū)間分析循環(huán)次數(shù)為l,在當(dāng)前迭代點pl,極限狀態(tài)函數(shù)作二次泰勒近似,式(18)轉(zhuǎn)換為二次規(guī)劃問題：

(19)

其中,Hl為海森矩陣。因計算Hl需求極限狀態(tài)函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),計算效率較低,故本文采用阻尼BFGS公式近似Hl。

(20)

其中,κl為迭代步長,為保證全局收斂性,利用回代法求解κl,即重復(fù)κl←κlρ,直至新迭代點滿足Armijo條件,即

(21)

在此取ρ=0.8,η=1×10-4。

若新迭代點pl+1滿足KKT條件,則區(qū)間迭代停止,令ek+1=h-1(pl+1),其中h-1(·)表示區(qū)間變量變換關(guān)系式的逆變換;否則,令l←l+1,繼續(xù)區(qū)間迭代。

本文提出的基于一次二階矩法的可靠性序列迭代算法的步驟可整理如下：

(1)輸入初始點u0和e0,初始化迭代次數(shù)k=0,初始點均取為零向量；

(2)計算uk+1=uk+αkdk;

(3)判斷ek是否滿足KKT條件，若滿足,則令ek+1←ek,轉(zhuǎn)步驟(7),若不滿足,則進入下一步,實施區(qū)間分析；

(4)初始化區(qū)間分析迭代次數(shù)l=0,利用轉(zhuǎn)換關(guān)系式,計算pl=h(ek);

(6)判斷pl+1是否滿足KKT條件,若滿足,則令ek+1=h-1(pl+1),進入下一步,若不滿足,則令l←l+1,返回步驟(5);

(7)判斷是否收斂。若|g(uk+1,ek+1)|≤ε1和‖uk+1-uk‖≤ε2(ε1和ε2為非常小的正常數(shù)),則迭代停止,令u*=uk+1,否則,令k←k+1,轉(zhuǎn)步驟(2)。

圖3給出了該算法的流程示意圖。

圖3　求解Pf max的序列迭代流程

4　算例

在MATLAB下,編寫了本文提出的序列迭代算法的可執(zhí)行程序。為驗證本文提出的序列迭代算法的有效性和計算效率，在本節(jié)中給出了兩個混合型可靠性分析算例。盡管兩個算例的極限狀態(tài)函數(shù)均以顯式表達(dá)式給出，但都編寫成了可執(zhí)行程序,故對于調(diào)用函數(shù)，極限狀態(tài)函數(shù)是隱式的。采用前向有限差分法計算極限狀態(tài)函數(shù)關(guān)于隨機變量和區(qū)間變量的梯度。

4.1懸臂梁算例

某懸臂梁末端受外部載荷，水平方向分量為Px,垂直方向分量為Py,如圖4所示。考慮兩種失效模式,當(dāng)梁承受的最大應(yīng)力超出材料屈服強度σs，則認(rèn)為強度失效；當(dāng)梁末端位移大于末端許用位移D0,則認(rèn)為剛度失效。極限狀態(tài)函數(shù)分別為

式中,E為材料彈性模量。

圖4　懸臂梁示意圖

已知臂長L=2000 mm，矩形梁截面的寬度B和高度H均為隨機變量,服從正態(tài)分布：B～N(55,2)mm,H～N(110,5)mm。材料屈服強度σs=295 MPa,末端許用位移D0=65 mm,材料彈性模量E=210 GPa。載荷分量Px和Py為非獨立區(qū)間變量,滿足負(fù)相關(guān)關(guān)系，令Y=(Y1,Y2)T=(Px,Py)T(單位為N),其橢球模型為

Y∈S=

圖5給出了Px和Py滿足負(fù)相關(guān)和獨立關(guān)系時的不同可行域。

(a)負(fù)相關(guān)關(guān)系

(b)獨立關(guān)系圖5　Px和Py的可行域

表1給出了兩種失效工況的最大失效概率,并采用了蒙特卡羅法驗證分析結(jié)果。為比較計算效率,表1給出了各分析方法調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)的次數(shù)Nc。同時,表1給出Px和Py假設(shè)為獨立區(qū)間變量時,Px∈[4200,4300]N和Py∈[2200,2300]N兩種失效工況的最大失效概率。

由表1可見,本文提出的方法能較高效地求得兩種失效模式的最大失效概率。在蒙特卡羅法中，將每個區(qū)間變量的可行區(qū)間等分為50份,在區(qū)間變量的組合值下取隨機變量的抽樣數(shù)為1×106次,則極限狀態(tài)函數(shù)的調(diào)用次數(shù)為Nc=2.5×108?；诒?給出的蒙特卡羅法結(jié)果和相對誤差百分比可見，提出的方法具較高的精度。由區(qū)間變量滿足非獨立和獨立關(guān)系時的分析結(jié)果可見，區(qū)間變量的獨立性對可靠性分析結(jié)果的影響較大，假設(shè)區(qū)間變量獨立會導(dǎo)致較保守的分析結(jié)果。

表1　兩種工況的最大失效概率

4.2懸臂圓筒算例

某懸臂圓筒受外部載荷如圖6所示:集中力F1、F2、P和扭矩T。當(dāng)最大等效von-Mises應(yīng)力σmax超出材料屈服極限σs,認(rèn)為懸臂圓筒強度失效,極限狀態(tài)函數(shù)可寫為

G=g(X,Y)=σs-σmax

圖6　懸臂圓筒

最大等效von-Mises應(yīng)力位于懸臂圓筒根部截面上端點,其計算式為

其中,σx為該點處的正應(yīng)力,表達(dá)式為

其中,c=d/2,M為該截面處彎矩,A為截面面積,I為截面慣性矩,計算表達(dá)式分別為

M=F1L1cosθ1+F2L2cosθ2

τzx為該點的切應(yīng)力,表達(dá)式為

J=2I

表2給出了各隨機參數(shù)的分布函數(shù)及其參數(shù)。角度θ1和θ2為獨立區(qū)間變量(單位：(°))，長度L1和L2為非獨立區(qū)間變量(單位：mm),滿足零相關(guān)性。

表2　隨機變量分布參數(shù)

令Y=(Y1,Y2,Y3,Y4)T=(θ1,θ2,L1,L2)T,根據(jù)區(qū)間變量的獨立性特征，將區(qū)間變量分為三組,即Ng=3,則Y=(Y1,Y2，Y3)T=(Y1,Y2,(Y3,Y4)T)T,橢球模型為

圖7給出了L1和L2滿足零相關(guān)和獨立關(guān)系時的不同可行域。

(a)零相關(guān)關(guān)系

(b)獨立關(guān)系圖7　L1和L2的可行域

表3給出了基于本文提出的方法計算獲得的最大失效概率。由表3可見，本文提出的方法能較高效地求得懸臂圓筒的最大失效概率。為驗證分析結(jié)果的正確性，在蒙特卡羅法中，將每個區(qū)間變量的可行區(qū)間等分為10份,在區(qū)間變量的組合值下取隨機變量的抽樣數(shù)為1×106，則極限狀態(tài)函數(shù)的調(diào)用次數(shù)為Nc=1.0×1010?；诒?給出的蒙特卡羅法結(jié)果和相對誤差百分比可見,本文提出的方法具有較高的精度。同樣,由區(qū)間變量滿足非獨立和獨立關(guān)系時的分析結(jié)果可見,區(qū)間變量的獨立性對可靠性分析結(jié)果的影響較大，假設(shè)區(qū)間變量獨立會導(dǎo)致較保守的分析結(jié)果。

表3　最大失效概率

5　結(jié)論

針對機械系統(tǒng)中不確定性輸入變量同時存在隨機變量和區(qū)間變量的情況，考慮非獨立性區(qū)間變量，基于混合型可靠性分析模型，利用一次二階矩法，提出了一種可靠性序列迭代算法。算例結(jié)果表明：該迭代算法的計算效率較高，計算精度較好；不考慮區(qū)間變量的非獨立性可產(chǎn)生較保守的可靠性分析結(jié)果，可能導(dǎo)致過于保守的可靠性設(shè)計結(jié)果。

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(編輯盧湘帆)

A Sequential Iteration Algorithm for Reliability Analysis with Random and Dependent Interval Variables

Pan Baisong1Xie Shaojun1Du Xiaoping2Liang Lihua1

1.Zhejiang University of Technology,Hangzhou,310014 2.Missouri University of Science and Technology,Rolla,USA

Focusing on the mixed conditions of both random variables and dependent interval variables,an efficient hybrid reliability analysis method was proposed.Interval variables made the reliability analysis problem become a double-loop optimization problem.In order to reduce the impacts on the reliability analysis efficiency by the double-loop optimization and dependent interval variables, an efficient sequentially iterative strategy was proposed,and a formula to transform the dependent interval variables modelled by ellipsoid model was developed into independent interval variables,and the limit-state function was approximated during the inner loop in the second order form to make the optimization problem become a more solvable quadratic programming problem.The results show that the proposed sequential iteration algorithm has good efficiency and accuracy, and that the reliability analysis results are affected by the assumption of dependence between interval variables; results under the assumption of independence between interval variables can be more conservative than that of dependence.

reliability analysis;ellipsoid model;dependent interval variable;sequentially iterative algorithm

2015-01-14

國家自然科學(xué)基金資助項目(51475425,51075365)

TH122DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.12.002

潘柏松,男,1968年生。浙江工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向為可靠性設(shè)計、可靠性工程、現(xiàn)代設(shè)計方法。出版專著1部,發(fā)表論文40余篇。謝少軍,男,1986年生。浙江工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院博士研究生。Du Xiaoping，男，1963年生。美國密蘇里科技大學(xué)機械和航空航天工程系教授、博士研究生導(dǎo)師。梁利華，男，1973年生。浙江工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。