唐 壤　吳德林　叢健生　魏 倩

（1中國科學(xué)院聲學(xué)研究所聲場聲信息國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室　北京　100190）

（2中國科學(xué)院大學(xué)　北京　100049）

結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)偶極聲波換能器諧振頻率的影響?

唐 壤1，2?吳德林1，2叢健生1魏 倩1

（1中國科學(xué)院聲學(xué)研究所聲場聲信息國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室北京100190）

（2中國科學(xué)院大學(xué)北京100049）

偶極橫波遠(yuǎn)探測技術(shù)在我國復(fù)雜地質(zhì)結(jié)的構(gòu)油氣勘探中具有十分廣闊的應(yīng)用前景。換能器的工作頻率直接影響聲波測井的探測深度。本文對(duì)正交偶極聲波測井換能器彎曲模態(tài)的諧振頻率進(jìn)行了解析計(jì)算，并利用有限元方法研究了其結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)諧振頻率的影響。計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)壓電陶瓷片的長度增加時(shí)，換能器一階諧振頻率先降低后升高，三階諧振頻率先升高再降低之后又上升；當(dāng)金屬基片厚度增加時(shí)，換能器一階與三階諧振頻率均升高；當(dāng)壓電陶瓷片厚度增加時(shí)，換能器諧振頻率的變化方向與幅度還與壓電陶瓷片長度等其他參數(shù)相關(guān)，有可能升高或降低。

聲波遠(yuǎn)探測，偶極聲波，聲學(xué)換能器，低頻

1　引言

聲波遠(yuǎn)探測是利用反射聲波識(shí)別井周地質(zhì)構(gòu)造的技術(shù)，探測范圍從常規(guī)測井技術(shù)的井周1 m左右提高到幾十米，該技術(shù)在我國陸相沉積盆地的油氣勘探中具有十分廣闊的應(yīng)用前景。2004年，Tang首次提出偶極橫波遠(yuǎn)探測聲波成像方法，使用具有指向性的偶極聲源解決了單極測量無法判斷反射體方位的問題，并且借助偶極聲源較低的工作頻率（約2～5 kHz）獲得了較高的探測深度［1-3］。

由于我國油田井下地質(zhì)結(jié)構(gòu)變化復(fù)雜，鉆探費(fèi)用高，這就需要在現(xiàn)有探井中進(jìn)行測井作業(yè)時(shí)盡可能地提高探測范圍。換能器的工作頻率直接影響聲波測井的探測深度。在不改變現(xiàn)有多極子陣列聲波成像測井儀器機(jī)械結(jié)構(gòu)的前提下，降低其工作頻率，突出低頻成分，利用橫波遠(yuǎn)探測處理方法，可以提高井周的聲探測范圍［4］。

偶極聲波測井換能器大多采用彎曲振子產(chǎn)生聲波，這種工作模式能夠在較小尺度就獲得較低的工作頻率。近幾年，國內(nèi)一些學(xué)者在偶極聲波測井換能器方面做了一定的研究工作。陳雪蓮采用數(shù)值方法分析了偶極聲波換能器在不同邊界條件下的振動(dòng)模態(tài)和頻率響應(yīng)［5］；喬文孝等研究了邊界條件對(duì)彎曲振子振動(dòng)模態(tài)的影響，并對(duì)比了數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果［6］；鄭林等利用數(shù)值方法研究了三疊片型偶極聲波測井換能器，并就換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)換能器的工作模態(tài)、諧振頻率發(fā)射效率等性能指標(biāo)的影響進(jìn)行了討論，其中對(duì)諧振頻率的分析主要針對(duì)一階頻率［7］。由于偶極聲源在低頻時(shí)的輻射效率偏低［8-9］，目前換能器的實(shí)際工作通常需要一階和三階模態(tài)配合使用。但有關(guān)偶極子換能器三階模態(tài)的研究還少有報(bào)道。

本文運(yùn)用薄板理論推導(dǎo)三疊片型換能器在空氣中的諧振頻率。在現(xiàn)有正交偶極聲波測井換能器機(jī)電結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，利用有限元方法研究換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其諧振頻率的影響，并與解析解進(jìn)行比較。上述研究工作的開展，對(duì)于目前正交偶極子聲波測井儀器的升級(jí)改造和功能提升可提供參考依據(jù)，也有助于聲波遠(yuǎn)探測儀器的研發(fā)工作。

2　三疊片型偶極聲波測井換能器

三疊片型偶極聲波測井換能器的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。上下兩片+z方向極化的壓電陶瓷，與中間金屬基片黏結(jié)而成。金屬基片接電源負(fù)極，壓電陶瓷外側(cè)面接電源正極，工作在長度方向彎曲振動(dòng)模式。

圖1　三疊片型偶極聲波測井換能器示意圖Fig.1 Dipole trilaminar bar transducer

本文的算例以多極子陣列聲波成像測井儀偶極子發(fā)射換能器（以下稱參考模型）為參考，采用的壓電陶瓷材料為PZT-4，金屬基片材料為硬鋁。參考模型中壓電陶瓷片的長度為L=101 mm，寬度b=38 mm，每片厚度p=3.4 mm。金屬基片總長度192 mm，考慮到兩端均有打孔并以螺栓固定，有效振動(dòng)長度為l=182mm，厚度m=3.2 mm，寬度仍為b。換能器總厚度為h。數(shù)值計(jì)算中金屬基片兩端按鉗定邊界處理，并忽略了粘膠、引線等裝配結(jié)構(gòu)。

用有限元方法模擬空氣介質(zhì)中三疊片的諧振頻率，得到的一階與三階彎曲振動(dòng)模態(tài)如圖2（a）、2（b）所示，諧振頻率分別為462 Hz、3693 Hz。

圖2　換能器長度方向彎曲振動(dòng)模態(tài)Fig.2　Flexural vibration of the transducer in length

3　換能器諧振頻率的解析分析與有限元計(jì)算

3.1彎曲振動(dòng)三疊片換能器的理論分析

應(yīng)用薄板理論推導(dǎo)圖1中三疊片型換能器的諧振頻率，有以下假設(shè)條件［10-12］：（1）換能器的長度l遠(yuǎn)大于其橫向尺寸b與h；（2）換能器各部分的形變看成是中性面的一邊被拉長，而另一邊被壓縮，不考慮剪切形變；（3）只考慮換能器垂直于其中性面的位移，即撓度w，不考慮其旋轉(zhuǎn)慣性。

設(shè)壓電陶瓷的密度為ρp，柔性常數(shù)矩陣機(jī)電耦合系數(shù)k31。金屬基片密度為ρm，柔性系數(shù)為sm。三疊片作彎曲振動(dòng)。其有源部分（|x|＜L/2）為I段，其余部分（|x|＞L/2）為II段。I段滿足波動(dòng)方程

II段為無源的金屬基片部分，滿足波動(dòng)方程［8］

只考慮w（x）=w（-x）的對(duì)稱模態(tài)，可以設(shè)

x=L/2的銜接處應(yīng)滿足彎曲位移、彎角、彎矩及剪應(yīng)力連續(xù)［12］：

要求得A1，C1，A2～D2的非零解，需要其系數(shù)行列式為零，即

由此可解出ω進(jìn)而得到三疊片的諧振頻率。

3.2計(jì)算實(shí)例及結(jié)果對(duì)比

對(duì)于參考模型，根據(jù)（8）式求解其前三階諧振頻率，并與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見表1。參考模型的幾何尺寸和材料參數(shù)分別見表2、表3。由于上述推導(dǎo)中已經(jīng)假定三疊片為對(duì)稱振動(dòng)，因此求得的均為奇數(shù)階諧振頻率。

表1　參考模型諧振頻率解析計(jì)算與有限元結(jié)果對(duì)比Table 1　Comparison of analytical and FEM results on reference model

表2　參考模型尺寸Table 2 Dimensions of the reference model

表3　參考模型材料參數(shù)Table 3 Materials of the reference model

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，有限元模擬與解析方法求得的基頻相差很小。三階頻率誤差最大，超過了5%。高階頻率的解析解與有限元模擬結(jié)果偏差較大的原因可能是波長變短，不滿足薄板假設(shè)。

4　結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)三疊片型換能器諧振頻率的影響

為使改進(jìn)后的換能器可以在現(xiàn)有的多極子陣列聲波成像測井儀器上裝配使用，需要保持換能器金屬基片的長度、寬度和開孔位置不變，即l、b不變。在此情況下，分別改變?nèi)B片的金屬基片厚度（m）、壓電陶瓷片厚度（p）、壓電陶瓷片長度（L），用有限元方法計(jì)算這三者的尺寸變化對(duì)三疊片換能器一階與三階諧振頻率的影響。

4.1金屬基片厚度、壓電陶瓷片長度對(duì)換能器諧振頻率的影響

首先保持壓電陶瓷片厚度不變，只改變金屬基片厚度（m）和壓電陶瓷片長度（L），計(jì)算變化尺寸下?lián)Q能器長度方向的前兩階諧振頻率，關(guān)系曲線如圖3。其中圖3（a）、3（b）分別為一階頻率、三階頻率與金屬基片厚度以及壓電陶瓷片長度的關(guān)系。

圖3　換能器諧振頻率與金屬基片厚度和壓電陶瓷片長度的關(guān)系Fig.3　Impact of thickness of metal layer and length of piezoelectric ceramics on the resonant frequencies

圖3中橫坐標(biāo)為壓電陶瓷片的長度L與金屬基片有效長度l之比，每條曲線表示了換能器諧振頻率隨L/l的變化情況。從圖3中可以看出，隨著壓電陶瓷片長度增加，換能器的一階諧振頻率先下降后上升；而三階諧振頻率先上升再下降，之后又上升。三階諧振頻率在L/l=0.4附近有極大值，在L/l=0.7附近有極小值。

圖3中各條曲線代表金屬基片厚度不同的情況下?lián)Q能器的諧振頻率，從下往上基片厚度依次增大。這表明換能器的一階、三階諧振頻率均隨金屬基片厚度增大而增大。

4.2壓電陶瓷片厚度與長度對(duì)換能器諧振頻率的影響

保持金屬基片厚度不變，只改變壓電陶瓷片厚度（p）和壓電陶瓷片長度（L），計(jì)算變化尺寸下?lián)Q能器長度方向的一、三階諧振頻率，結(jié)果如圖4。

圖4　換能器諧振頻率與壓電陶瓷片厚度和長度的關(guān)系Fig.4 Impact of thickness and length of piezoelectric ceramics on the resonant frequencies

圖4中每條曲線表示了換能器諧振頻率隨L/l的變化情況。從圖4中也可以看出，換能器的一階諧振頻率隨著壓電陶瓷片長度增加先下降后上升；而三階諧振頻率先上升再下降，之后又上升。這與圖3的結(jié)果是一致的。

圖4中各條曲線代表壓電陶瓷片厚度不同的情況下?lián)Q能器的諧振頻率。從圖4（a）可見，在壓電陶瓷片長度較小時(shí)，換能器的一階諧振頻率隨壓電陶瓷片厚度增大而減小；壓電陶瓷片長度較大時(shí)，一階頻率隨壓電陶瓷片厚度增大而增大。從圖4（b）可見，除了在L/l很小時(shí)換能器的三階諧振頻率隨壓電陶瓷片厚度增大而略有減小，其余部分三階諧振頻率隨壓電陶瓷片厚度增大而增大，但變化的幅度還因L/l的不同而不同。

綜合比較圖3與圖4可以發(fā)現(xiàn)，隨著金屬基片厚度增大，三疊片型換能器在長度方向的一階與三階諧振頻率都增大；隨著壓電陶瓷片長度增大，換能器長度方向的一階諧振頻率先減小后增大，三階頻率先增大再減小后又增大。隨著壓電陶瓷片厚度增大，換能器諧振頻率的變化方向還與壓電陶瓷片的長度等其他參數(shù)有關(guān)，有可能增大或減小。

4.3與解析計(jì)算結(jié)果對(duì)比，壓電陶瓷片長度對(duì)諧振頻率的影響

改變壓電陶瓷片長度L，根據(jù)方程組（7）求解換能器的諧振頻率，并與有限元分析的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖5（a）、5（b）分別為一階、三階諧振頻率。

圖5　換能器諧振頻率與壓電陶瓷片長度的關(guān)系Fig.5 Impact of length of piezoelectric ceramics on the resonant frequencies

計(jì)算結(jié)果表明，有限元分析與解析計(jì)算結(jié)果基本吻合。L/l較小時(shí)兩者相差較小，L/l較大時(shí)誤差略有增大。一階頻率最大誤差4.3%，三階頻率最大誤差9.3%。三階諧振頻率在L/l較大時(shí)誤差較大，原因可能是波長與厚度之比變小，不再滿足薄板理論的假設(shè)條件。

5　討論與結(jié)論

本文對(duì)三疊片型偶極聲波測井換能器在空氣中的諧振頻率進(jìn)行了理論與數(shù)值仿真，推導(dǎo)了三疊片型換能器諧振頻率的解析計(jì)算方法。分析了壓電陶瓷片長度、厚度、金屬基片厚度對(duì)換能器長度方向彎曲振動(dòng)的一階與三階諧振頻率的影響。數(shù)值分析表明，當(dāng)金屬基片厚度增加時(shí)，換能器一階與三階諧振頻率均增加；隨著壓電陶瓷片長度增加，換能器的一階頻率先下降后上升，三階頻率先上升再下降后又上升。在原模型的基礎(chǔ)上如要降低換能器長度方向三階諧振頻率，可適當(dāng)增加壓電陶瓷片長度，但不宜超過三階諧振頻率取得極小值處的長度；也可以適當(dāng)減小壓電陶瓷的厚度和金屬基片的厚度，但考慮機(jī)械加工以及壓電陶瓷電極限等因素，不宜太薄。

致謝 感謝中國科學(xué)院聲學(xué)研究所王秀明研究員、張海瀾研究員對(duì)本文的指導(dǎo)。

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Impact of structure parameters on resonant frequencies of dipole transducer

TANG Rang1,2WU Delin1,2CONG Jiansheng1WEI Qian1
（1 State Key Laboratory of Acoustics，Institute of Acoustics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China）
（2 University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China）

Remote sensing logging using dipole shear wave has broad prospects in oil and gas exploration in China.Frequency of the transducer directly affects the detecting depth.In this paper the resonant frequencies of dipole transducer are studied with both analytical and finite element method.The effects of modifying the transducer's structural dimensions on its resonant frequencies are discussed.Results demonstrate that，as the length of piezoelectric ceramic layers increases，the 1st-order frequency increases after decreases first，while 3rd-order frequency at first increases then decreases and finally rises again.As the metal layer gets thicker，both 1st and 3rd-order frequencies increase.Impact of thickness of the piezoelectric ceramic layers on the resonant frequencies varies with other parameters.

Remote sensing logging，Dipole，Acoustic transducer，Low frequency

TB552

A

1000-310X（2015）02-0107-06

10.11684/j.issn.1000-310X.2015.02.003

2014-05-14收稿；2014-07-23定稿

?國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41474160）

唐壤（1989-），女，重慶人，碩士研究生，研究方向：超聲換能器。

E-mail：tangrang11@mails.ucas.ac.cn