加工中心雙懸浮系統(tǒng)支持向量機(jī)α階逆解耦時(shí)變滑?？刂?/h1>
2015-10-28 10:59:46劉春芳
中國(guó)機(jī)械工程 2015年5期 關(guān)鍵詞：系統(tǒng)
劉春芳 榮 剛
沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，沈陽(yáng)，110870
加工中心雙懸浮系統(tǒng)支持向量機(jī)α階逆解耦時(shí)變滑模控制
劉春芳榮剛
沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，沈陽(yáng)，110870
龍門數(shù)控加工中心移動(dòng)機(jī)械橫梁可采用雙電磁懸浮系統(tǒng)共同懸浮來(lái)消除摩擦的影響，而這兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)存在著一定的耦合關(guān)系。當(dāng)數(shù)控機(jī)床工作時(shí)，由于受力不平衡或者擾動(dòng)等因素影響，這種耦合的存在會(huì)使兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的懸浮氣隙受到影響，并降低加工精度。分析得出了橫梁發(fā)生繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)和上下平移時(shí)兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的耦合定量關(guān)系，為了消除耦合的影響，采用支持向量機(jī)逼近雙電磁懸浮系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)，將所得到的α階逆系統(tǒng)串聯(lián)在原系統(tǒng)前構(gòu)成偽線性復(fù)合系統(tǒng)，從而將原系統(tǒng)解耦成兩個(gè)獨(dú)立的SISO偽線性系統(tǒng)。針對(duì)解耦后的偽線性SISO系統(tǒng)設(shè)計(jì)了時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制器，可使系統(tǒng)在任意初始狀態(tài)下系統(tǒng)狀態(tài)變量都能直接到達(dá)系統(tǒng)的滑模面上，消除了狀態(tài)變量到達(dá)滑模面的過(guò)程，以最短的時(shí)間實(shí)現(xiàn)了滑模變結(jié)構(gòu)控制，實(shí)現(xiàn)了對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾的全局魯棒性。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方案不需要被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型即可采用支持向量機(jī)逼近被控系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)，可有效地對(duì)耦合的懸浮系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦。解耦后的SISO偽線性系統(tǒng)采用時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制具有響應(yīng)速度快和魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)。
α階逆系統(tǒng)；解耦；支持向量機(jī)；時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)
0 引言
隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)零件加工精度的要求也越來(lái)越高。傳統(tǒng)的龍門移動(dòng)數(shù)控機(jī)床移動(dòng)橫梁與導(dǎo)軌完全接觸存在著摩擦，即使加入潤(rùn)滑劑也不能完全消除摩擦影響。為了消除摩擦的影響，利用兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)將移動(dòng)橫梁懸浮起來(lái)，可提高加工精度。由于兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)控制同一個(gè)移動(dòng)機(jī)械橫梁，所以它們之間存在著一定的耦合關(guān)系，即當(dāng)橫梁傾斜或旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的懸浮氣隙會(huì)同時(shí)發(fā)生變化，從而兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的電磁力和其他參數(shù)也會(huì)受到影響。以往的文獻(xiàn)忽略了兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的耦合關(guān)系，只是通過(guò)設(shè)計(jì)良好的同步控制器來(lái)減小兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的同步誤差[1]。耦合的存在會(huì)降低工件的加工精度，從而降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
針對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)存在的耦合關(guān)系，本文采用α階逆系統(tǒng)解耦控制方法消除耦合對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮的影響，其原理為：將原系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)與原系統(tǒng)串聯(lián)就可將雙電磁耦合懸浮系統(tǒng)解耦成兩個(gè)獨(dú)立的SISO系統(tǒng)，并可將獨(dú)立的系統(tǒng)簡(jiǎn)化為偽線性系統(tǒng)，降低SISO系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)難度[2]。逆系統(tǒng)解耦方法需要被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型精確可知，但在工程實(shí)踐中很難做到，而且非線性被控對(duì)象復(fù)雜多變，所以逆系統(tǒng)模型就更加難以建立了。
支持向量機(jī)(SVM)的出現(xiàn)為解決非線性系統(tǒng)的逆系統(tǒng)建模難的問(wèn)題提供了一種有效的方法。支持向量機(jī)可以逼近任意非線性函數(shù)，這為其用于對(duì)系統(tǒng)的辨識(shí)提供了理論依據(jù)[3-4]。
本文在分析了龍門數(shù)控加工中心雙電磁懸浮系統(tǒng)耦合情況的基礎(chǔ)上，證明了系統(tǒng)的可逆性。由于被控系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型難以建立，所以利用支持向量機(jī)可以逼近任意非線性函數(shù)的特點(diǎn)，可辨識(shí)出被控系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)。得到的逆系統(tǒng)與被控對(duì)象串聯(lián)構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，從而將MIMO系統(tǒng)解耦成多個(gè)SISO。解耦后的單系統(tǒng)采用專家PID閉環(huán)控制，增加了懸浮系統(tǒng)的快速性和魯棒性。仿真實(shí)驗(yàn)表明，支持向量機(jī)α階逆系統(tǒng)可以很好地解決系統(tǒng)的耦合問(wèn)題。
1 雙電磁懸浮系統(tǒng)耦合數(shù)學(xué)模型
1.1單電磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
圖1為龍門移動(dòng)數(shù)控加工中心機(jī)械結(jié)構(gòu)圖。
1.主軸單元 2.懸浮氣隙 3.箱式橫梁 4.X方向直線電機(jī) 5.導(dǎo)向單元 6.伺服單元 7.懸浮電磁鐵 8.切削刀具圖1 雙懸浮系統(tǒng)數(shù)控機(jī)床部分結(jié)構(gòu)圖
從圖1可以看出，移動(dòng)橫梁由兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)共同懸浮，為了分析得出兩個(gè)電懸浮系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系，首先需要從建立單電磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型開始。圖2為單電磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，圖中，Φ1為漏磁通；Φm為氣隙磁通。
圖2 單電磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
由文獻(xiàn)[1]得單電磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式為
(1)
式中，c(t)為氣隙高度；F(i,c)為電磁力；Fd為外部干擾；m為橫梁的質(zhì)量；i(t)、u(t)分別為控制電流和電壓；μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7；A為鐵芯面積；N為線圈匝數(shù)；R為有效的氣隙磁阻。
由式(1)可以看出，電磁懸浮系統(tǒng)由運(yùn)動(dòng)方程、電磁力方程和電壓方程組成，其中電磁力與電流的平方成正比，與懸浮氣隙的平方成反比，因此電磁懸浮系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)。
1.2橫梁雙懸浮系統(tǒng)耦合分析
雙電磁懸浮系統(tǒng)耦合示意圖見(jiàn)圖3，圖3中，c1、c2、f1、f2、l、θ分別為兩個(gè)電磁鐵的傳感器位移、兩個(gè)電磁鐵的電磁力、橫梁的一半長(zhǎng)度和橫梁旋轉(zhuǎn)的角度。
圖3 雙電磁懸浮系統(tǒng)耦合示意圖
其中，轉(zhuǎn)動(dòng)角：
(2)
豎直方向上的位移：
(3)
旋轉(zhuǎn)方向上位移：
(4)
由式(3)、式(4)得
(5)
豎直方向上的合力：
fg=f1+f2
(6)
質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程分別為
(7)
(8)
(9)
經(jīng)過(guò)力的坐標(biāo)與傳感器中坐標(biāo)之間的變換及式(7)、式(9)得加速度與力的關(guān)系為
(10)
式(10)表明兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的加速度存在著耦合關(guān)系。
2 雙電懸浮系統(tǒng)可逆性分析
根據(jù)式(1)可以得出電磁力與電壓之間的關(guān)系為
(11)
式中，l0為電磁力系數(shù)；i1、i2為雙電磁鐵線圈的控制電流；u0為真空磁導(dǎo)率。
通過(guò)式(1)和式(10)可以得出系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：
(12)
計(jì)算輸出變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可以得到:
(13)
將式(11)代入式(13)，式(13)會(huì)直接變?yōu)檩斎胱兞繛閡1、u2的方程組。
Jacobi矩陣
(14)
(15)
3 雙懸浮系統(tǒng)支持向量機(jī)α階逆解耦
對(duì)于耦合的雙電磁懸浮系統(tǒng)，可采用α階逆系統(tǒng)方法進(jìn)行解耦，其基本思想為：將建立的MIMO被控系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)串聯(lián)在原系統(tǒng)前構(gòu)成偽線性復(fù)合系統(tǒng)，原系統(tǒng)會(huì)被解耦成多個(gè)獨(dú)立的SISO系統(tǒng)，并且獨(dú)立系統(tǒng)具有線性傳遞性質(zhì)，即偽線性系統(tǒng)。解耦后的獨(dú)立子系統(tǒng)可以采用線性控制方法，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，適合于工程實(shí)踐。
則稱系統(tǒng)Πα為Σ系統(tǒng)的逆系統(tǒng)。
逆系統(tǒng)方法的實(shí)現(xiàn)必須滿足兩個(gè)條件：第一，被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型精確可知，第二，非線性模型的逆必須求解出來(lái)。非線性模型復(fù)雜多變，逆系統(tǒng)模型不易求出。由于支持向量機(jī)具有逼近任意非線性函數(shù)的功能且具有風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)最小化的特點(diǎn)，因此本文采用支持向量機(jī)來(lái)逼近雙電磁懸浮系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)來(lái)達(dá)到對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行解耦的目的。其基本原理為：通過(guò)非線性內(nèi)積核函數(shù)將數(shù)據(jù)從低維空間Rn映射到Hilbert高維特征空間，然后在高維空間建立一個(gè)線性回歸函數(shù)，其表達(dá)形式為
f(x)=wTφ(x)+b
(16)
式中，w為權(quán)值；φ(x)為非線性映射；b為閾值。
當(dāng)輸入樣本訓(xùn)練集(xi,ui)時(shí)(i=1,2,…,j)，其中，xi為懸浮氣隙采集點(diǎn)，ui為依據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理，則支持向量機(jī)回歸學(xué)習(xí)最優(yōu)逼近應(yīng)使得風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)最?。?/p>
(17)
通過(guò)引用對(duì)偶定理、拉格朗日函數(shù)及核函數(shù)，將式(17)等價(jià)為如下凸二次規(guī)劃問(wèn)題：
(18)
(19)
最后可以構(gòu)造非線性回歸函數(shù)[5-6]如下：
(20)
支持向量機(jī)擬合α階逆系統(tǒng)流程如圖4所示。
圖4 支持向量機(jī)擬合α階逆系統(tǒng)流程
4 時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制
本文設(shè)計(jì)了時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制器對(duì)解耦后的單懸浮系統(tǒng)進(jìn)行控制。時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)改進(jìn)了滑模變結(jié)構(gòu)控制或其改進(jìn)方法在系統(tǒng)的狀態(tài)變量未到達(dá)設(shè)定的滑模面之前無(wú)法實(shí)現(xiàn)的不足，使系統(tǒng)在任意初始狀態(tài)下的狀態(tài)變量都能直接到達(dá)系統(tǒng)的滑模面上，取消了狀態(tài)變量到達(dá)滑模面的過(guò)程，以最短的時(shí)間實(shí)現(xiàn)滑模變結(jié)構(gòu)控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾的全局魯棒性[7]。時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)如下：
由式(1)可知，該磁懸浮系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，為設(shè)計(jì)方便，可以通過(guò)相應(yīng)的坐標(biāo)變換，將其變換為仿射型非線性系統(tǒng)。
(21)
設(shè)位置指令為r，選取位置誤差z1、速度誤差z2、加速度誤差z3為狀態(tài)變量，則誤差表達(dá)式可表示為
(22)
因此可得到新坐標(biāo)系下的磁懸浮系統(tǒng)仿射非線性模型表達(dá)式：
(23)
為了討論問(wèn)題方便，這里作如下假設(shè)。
(1)φ(z,t)和d(z,t)滿足：
φmin≤φi(z,t)≤φmax
(24)
dmin≤d(z,t)≤dmax
(25)
(2)b(z,t)滿足：
bmin≤b(z,t)≤bmaxb(z,t)>0
(26)
時(shí)變滑模面可設(shè)計(jì)為
(27)
f(t)=f(0)e-λ tλ>0
(28)
根據(jù)上述時(shí)變滑模面選取原則，懸浮系統(tǒng)的時(shí)變滑模面設(shè)計(jì)為
σ(z)=σ1(z)-σ0(z)e-λ t
(29)
σ1(z)=a1z1+a2z2+a3z3
時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制律由線性控制和切換控制兩部分組成，即ud=uc+uvss。其中，線性控制律為
(30)
(31)
式中，kc為正的常數(shù)。
切換控制律為
uvss=(εs+|λσ0e-λ t|/bmin)sgnσ
(32)
其中，λ為嚴(yán)格正常數(shù)，σ0為約束函數(shù)，式(32)中的增益項(xiàng)εs滿足如下條件：
(33)
5 仿真實(shí)驗(yàn)
雙電磁懸浮系統(tǒng)參數(shù)如下：懸浮橫梁質(zhì)量m=568 kg；等效質(zhì)量mθ=0.79 kg；鐵芯面積A=0.0125 m2；電磁鐵繞組匝數(shù)N=340；電阻R=0.65 Ω；期望懸浮氣隙c=0.002 m。本支持向量機(jī)核函數(shù)選擇高斯函數(shù)，高斯核函數(shù)第一個(gè)參數(shù)v=0.05，第二個(gè)參數(shù)w=0.01。懲罰因子C=0.6，不敏感損失函數(shù)參數(shù)ε=0.02，時(shí)變滑?？刂破鞯膮?shù)a1=300,a2=30,a3=1,k=3000,λ=10。仿真系統(tǒng)見(jiàn)圖5。其中封裝的雙電磁懸浮系統(tǒng)見(jiàn)圖6。
圖5 支持向量機(jī)α階逆系統(tǒng)解耦系統(tǒng)框圖
圖6 雙電磁懸浮系統(tǒng)仿真框圖
對(duì)單懸浮系統(tǒng)施加1000N干擾雙電磁懸浮系統(tǒng)PID控制仿真結(jié)果見(jiàn)圖7。
1.受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng) 2.未受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng)圖7 雙電磁懸浮系統(tǒng)未解耦PID控制仿真曲線
由圖7可得，單電磁懸浮系統(tǒng)受到干擾時(shí)另一個(gè)系統(tǒng)也會(huì)受到影響，這說(shuō)明兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)存在明顯的耦合關(guān)系。
圖8表明支持向量機(jī)α階逆系統(tǒng)解耦控制可以很好地使兩個(gè)耦合的電磁懸浮系統(tǒng)解耦成兩個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)互不干擾。圖9表明時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制較PID控制具有響應(yīng)速度快、超調(diào)小、魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)。
1.受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng) 2.未受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng)圖8 支持向量機(jī)α階逆解耦PID控制仿真曲線
1.受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng) 2.未受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng)圖9 支持向量機(jī)α階逆解耦時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)仿真曲線
6 結(jié)語(yǔ)
本文對(duì)龍門雙電磁懸浮系統(tǒng)耦合情況進(jìn)行了分析，得出了兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的耦合關(guān)系，通過(guò)可逆性分析，證明了耦合雙電磁懸浮系統(tǒng)是可逆的。為了使耦合的雙電磁懸浮系統(tǒng)解耦出兩個(gè)獨(dú)立的單系統(tǒng)，本文采用α階逆系統(tǒng)對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行解耦。由于非線電磁懸浮系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)的精確模型不易得出，因此本文采用支持向量機(jī)逼近雙電磁懸浮系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)。解耦后的獨(dú)立偽線性系統(tǒng)采用時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制。仿真結(jié)果表明，支持向量機(jī)α階逆系統(tǒng)具有很好的解耦控制效果，使兩個(gè)懸浮系統(tǒng)互不干擾；時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制的獨(dú)立偽線性系統(tǒng)具有響應(yīng)速度快、魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)。
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(編輯王艷麗)
SVMαOrder Inverse System Decoupling Time-varying Sliding Mode Control of Double Suspension Systems of Machining Center
Liu ChunfangRong Gang
Shenyang University of Technology,Shenyang,110870
In order to eliminate the friction between moving beam and guide rail in gantry CNC machine, two suspension systems were adopted to suspend the moving beam jointly, so there were coupling relation between two suspension systems. When the beam suffering unbalance force or external disturbance as the CNC machine working, the existing coupling relationship would influence the two suspension system’s air gap, so the machining accuracy of compent was reduced. This paper analysed and concluded the coupling quantitative relationship when beam rolling around the center of mass and moving up and down.In order to eliminate the influence of coupling this paper adopted SVM to approach the two coupling suspension systems’sαorder inverse system. The obtainedαorder inverse system in series to coupling systems will be decoupled to two SISO pseudo linear systems.The decoupled SISO system adopted time-varying sliding mode control method. The method can make the system reach to the sliding mode surface directly at any original state, eliminating the process of original state reach to the sliding mode surface. So the sliding control can be achieved using shortest time and can realize global robustness of parameter perturbation and external disturbance. The simulation results show that the proposed method can decouple the coupling system effectively and can approach to the controlled object’sαorder inverse system without precise mathematical model. The time-varying sliding mode control method has fast response speed and strong robustness ability.
αorder inverse system; decoupling; support vector machine(SVM); time-varying sliding mode
2013-07-16
國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50805098)
TP273< class="emphasis_italic">DOI
：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.05.018
劉春芳，女，1975年生。沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院教授。主要研究方向?yàn)樗欧到y(tǒng)先進(jìn)控制策略及應(yīng)用。榮剛，男，1988年生。沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院碩士研究生。
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劉春芳 榮 剛
沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，沈陽(yáng)，110870
加工中心雙懸浮系統(tǒng)支持向量機(jī)α階逆解耦時(shí)變滑模控制
劉春芳榮剛
沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，沈陽(yáng)，110870
龍門數(shù)控加工中心移動(dòng)機(jī)械橫梁可采用雙電磁懸浮系統(tǒng)共同懸浮來(lái)消除摩擦的影響，而這兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)存在著一定的耦合關(guān)系。當(dāng)數(shù)控機(jī)床工作時(shí)，由于受力不平衡或者擾動(dòng)等因素影響，這種耦合的存在會(huì)使兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的懸浮氣隙受到影響，并降低加工精度。分析得出了橫梁發(fā)生繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)和上下平移時(shí)兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的耦合定量關(guān)系，為了消除耦合的影響，采用支持向量機(jī)逼近雙電磁懸浮系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)，將所得到的α階逆系統(tǒng)串聯(lián)在原系統(tǒng)前構(gòu)成偽線性復(fù)合系統(tǒng)，從而將原系統(tǒng)解耦成兩個(gè)獨(dú)立的SISO偽線性系統(tǒng)。針對(duì)解耦后的偽線性SISO系統(tǒng)設(shè)計(jì)了時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制器，可使系統(tǒng)在任意初始狀態(tài)下系統(tǒng)狀態(tài)變量都能直接到達(dá)系統(tǒng)的滑模面上，消除了狀態(tài)變量到達(dá)滑模面的過(guò)程，以最短的時(shí)間實(shí)現(xiàn)了滑模變結(jié)構(gòu)控制，實(shí)現(xiàn)了對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾的全局魯棒性。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方案不需要被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型即可采用支持向量機(jī)逼近被控系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)，可有效地對(duì)耦合的懸浮系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦。解耦后的SISO偽線性系統(tǒng)采用時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制具有響應(yīng)速度快和魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)。
α階逆系統(tǒng)；解耦；支持向量機(jī)；時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)
0 引言
隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)零件加工精度的要求也越來(lái)越高。傳統(tǒng)的龍門移動(dòng)數(shù)控機(jī)床移動(dòng)橫梁與導(dǎo)軌完全接觸存在著摩擦，即使加入潤(rùn)滑劑也不能完全消除摩擦影響。為了消除摩擦的影響，利用兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)將移動(dòng)橫梁懸浮起來(lái)，可提高加工精度。由于兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)控制同一個(gè)移動(dòng)機(jī)械橫梁，所以它們之間存在著一定的耦合關(guān)系，即當(dāng)橫梁傾斜或旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的懸浮氣隙會(huì)同時(shí)發(fā)生變化，從而兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的電磁力和其他參數(shù)也會(huì)受到影響。以往的文獻(xiàn)忽略了兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的耦合關(guān)系，只是通過(guò)設(shè)計(jì)良好的同步控制器來(lái)減小兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的同步誤差[1]。耦合的存在會(huì)降低工件的加工精度，從而降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
針對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)存在的耦合關(guān)系，本文采用α階逆系統(tǒng)解耦控制方法消除耦合對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮的影響，其原理為：將原系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)與原系統(tǒng)串聯(lián)就可將雙電磁耦合懸浮系統(tǒng)解耦成兩個(gè)獨(dú)立的SISO系統(tǒng)，并可將獨(dú)立的系統(tǒng)簡(jiǎn)化為偽線性系統(tǒng)，降低SISO系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)難度[2]。逆系統(tǒng)解耦方法需要被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型精確可知，但在工程實(shí)踐中很難做到，而且非線性被控對(duì)象復(fù)雜多變，所以逆系統(tǒng)模型就更加難以建立了。
支持向量機(jī)(SVM)的出現(xiàn)為解決非線性系統(tǒng)的逆系統(tǒng)建模難的問(wèn)題提供了一種有效的方法。支持向量機(jī)可以逼近任意非線性函數(shù)，這為其用于對(duì)系統(tǒng)的辨識(shí)提供了理論依據(jù)[3-4]。
本文在分析了龍門數(shù)控加工中心雙電磁懸浮系統(tǒng)耦合情況的基礎(chǔ)上，證明了系統(tǒng)的可逆性。由于被控系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型難以建立，所以利用支持向量機(jī)可以逼近任意非線性函數(shù)的特點(diǎn)，可辨識(shí)出被控系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)。得到的逆系統(tǒng)與被控對(duì)象串聯(lián)構(gòu)成偽線性系統(tǒng)，從而將MIMO系統(tǒng)解耦成多個(gè)SISO。解耦后的單系統(tǒng)采用專家PID閉環(huán)控制，增加了懸浮系統(tǒng)的快速性和魯棒性。仿真實(shí)驗(yàn)表明，支持向量機(jī)α階逆系統(tǒng)可以很好地解決系統(tǒng)的耦合問(wèn)題。
1 雙電磁懸浮系統(tǒng)耦合數(shù)學(xué)模型
1.1單電磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
圖1為龍門移動(dòng)數(shù)控加工中心機(jī)械結(jié)構(gòu)圖。
1.主軸單元 2.懸浮氣隙 3.箱式橫梁 4.X方向直線電機(jī) 5.導(dǎo)向單元 6.伺服單元 7.懸浮電磁鐵 8.切削刀具圖1 雙懸浮系統(tǒng)數(shù)控機(jī)床部分結(jié)構(gòu)圖
從圖1可以看出，移動(dòng)橫梁由兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)共同懸浮，為了分析得出兩個(gè)電懸浮系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系，首先需要從建立單電磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型開始。圖2為單電磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，圖中，Φ1為漏磁通；Φm為氣隙磁通。
圖2 單電磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
由文獻(xiàn)[1]得單電磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式為
(1)
式中，c(t)為氣隙高度；F(i,c)為電磁力；Fd為外部干擾；m為橫梁的質(zhì)量；i(t)、u(t)分別為控制電流和電壓；μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7；A為鐵芯面積；N為線圈匝數(shù)；R為有效的氣隙磁阻。
由式(1)可以看出，電磁懸浮系統(tǒng)由運(yùn)動(dòng)方程、電磁力方程和電壓方程組成，其中電磁力與電流的平方成正比，與懸浮氣隙的平方成反比，因此電磁懸浮系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)。
1.2橫梁雙懸浮系統(tǒng)耦合分析
雙電磁懸浮系統(tǒng)耦合示意圖見(jiàn)圖3，圖3中，c1、c2、f1、f2、l、θ分別為兩個(gè)電磁鐵的傳感器位移、兩個(gè)電磁鐵的電磁力、橫梁的一半長(zhǎng)度和橫梁旋轉(zhuǎn)的角度。
圖3 雙電磁懸浮系統(tǒng)耦合示意圖
其中，轉(zhuǎn)動(dòng)角：
(2)
豎直方向上的位移：
(3)
旋轉(zhuǎn)方向上位移：
(4)
由式(3)、式(4)得
(5)
豎直方向上的合力：
fg=f1+f2
(6)
質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程分別為
(7)
(8)
(9)
經(jīng)過(guò)力的坐標(biāo)與傳感器中坐標(biāo)之間的變換及式(7)、式(9)得加速度與力的關(guān)系為
(10)
式(10)表明兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的加速度存在著耦合關(guān)系。
2 雙電懸浮系統(tǒng)可逆性分析
根據(jù)式(1)可以得出電磁力與電壓之間的關(guān)系為
(11)
式中，l0為電磁力系數(shù)；i1、i2為雙電磁鐵線圈的控制電流；u0為真空磁導(dǎo)率。
通過(guò)式(1)和式(10)可以得出系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：
(12)
計(jì)算輸出變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可以得到:
(13)
將式(11)代入式(13)，式(13)會(huì)直接變?yōu)檩斎胱兞繛閡1、u2的方程組。
Jacobi矩陣
(14)
(15)
3 雙懸浮系統(tǒng)支持向量機(jī)α階逆解耦
對(duì)于耦合的雙電磁懸浮系統(tǒng)，可采用α階逆系統(tǒng)方法進(jìn)行解耦，其基本思想為：將建立的MIMO被控系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)串聯(lián)在原系統(tǒng)前構(gòu)成偽線性復(fù)合系統(tǒng)，原系統(tǒng)會(huì)被解耦成多個(gè)獨(dú)立的SISO系統(tǒng)，并且獨(dú)立系統(tǒng)具有線性傳遞性質(zhì)，即偽線性系統(tǒng)。解耦后的獨(dú)立子系統(tǒng)可以采用線性控制方法，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，適合于工程實(shí)踐。
則稱系統(tǒng)Πα為Σ系統(tǒng)的逆系統(tǒng)。
逆系統(tǒng)方法的實(shí)現(xiàn)必須滿足兩個(gè)條件：第一，被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型精確可知，第二，非線性模型的逆必須求解出來(lái)。非線性模型復(fù)雜多變，逆系統(tǒng)模型不易求出。由于支持向量機(jī)具有逼近任意非線性函數(shù)的功能且具有風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)最小化的特點(diǎn)，因此本文采用支持向量機(jī)來(lái)逼近雙電磁懸浮系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)來(lái)達(dá)到對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行解耦的目的。其基本原理為：通過(guò)非線性內(nèi)積核函數(shù)將數(shù)據(jù)從低維空間Rn映射到Hilbert高維特征空間，然后在高維空間建立一個(gè)線性回歸函數(shù)，其表達(dá)形式為
f(x)=wTφ(x)+b
(16)
式中，w為權(quán)值；φ(x)為非線性映射；b為閾值。
當(dāng)輸入樣本訓(xùn)練集(xi,ui)時(shí)(i=1,2,…,j)，其中，xi為懸浮氣隙采集點(diǎn)，ui為依據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理，則支持向量機(jī)回歸學(xué)習(xí)最優(yōu)逼近應(yīng)使得風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)最?。?/p>
(17)
通過(guò)引用對(duì)偶定理、拉格朗日函數(shù)及核函數(shù)，將式(17)等價(jià)為如下凸二次規(guī)劃問(wèn)題：
(18)
(19)
最后可以構(gòu)造非線性回歸函數(shù)[5-6]如下：
(20)
支持向量機(jī)擬合α階逆系統(tǒng)流程如圖4所示。
圖4 支持向量機(jī)擬合α階逆系統(tǒng)流程
4 時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制
本文設(shè)計(jì)了時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制器對(duì)解耦后的單懸浮系統(tǒng)進(jìn)行控制。時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)改進(jìn)了滑模變結(jié)構(gòu)控制或其改進(jìn)方法在系統(tǒng)的狀態(tài)變量未到達(dá)設(shè)定的滑模面之前無(wú)法實(shí)現(xiàn)的不足，使系統(tǒng)在任意初始狀態(tài)下的狀態(tài)變量都能直接到達(dá)系統(tǒng)的滑模面上，取消了狀態(tài)變量到達(dá)滑模面的過(guò)程，以最短的時(shí)間實(shí)現(xiàn)滑模變結(jié)構(gòu)控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾的全局魯棒性[7]。時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)如下：
由式(1)可知，該磁懸浮系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性系統(tǒng)，為設(shè)計(jì)方便，可以通過(guò)相應(yīng)的坐標(biāo)變換，將其變換為仿射型非線性系統(tǒng)。
(21)
設(shè)位置指令為r，選取位置誤差z1、速度誤差z2、加速度誤差z3為狀態(tài)變量，則誤差表達(dá)式可表示為
(22)
因此可得到新坐標(biāo)系下的磁懸浮系統(tǒng)仿射非線性模型表達(dá)式：
(23)
為了討論問(wèn)題方便，這里作如下假設(shè)。
(1)φ(z,t)和d(z,t)滿足：
φmin≤φi(z,t)≤φmax
(24)
dmin≤d(z,t)≤dmax
(25)
(2)b(z,t)滿足：
bmin≤b(z,t)≤bmaxb(z,t)>0
(26)
時(shí)變滑模面可設(shè)計(jì)為
(27)
f(t)=f(0)e-λ tλ>0
(28)
根據(jù)上述時(shí)變滑模面選取原則，懸浮系統(tǒng)的時(shí)變滑模面設(shè)計(jì)為
σ(z)=σ1(z)-σ0(z)e-λ t
(29)
σ1(z)=a1z1+a2z2+a3z3
時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制律由線性控制和切換控制兩部分組成，即ud=uc+uvss。其中，線性控制律為
(30)
(31)
式中，kc為正的常數(shù)。
切換控制律為
uvss=(εs+|λσ0e-λ t|/bmin)sgnσ
(32)
其中，λ為嚴(yán)格正常數(shù)，σ0為約束函數(shù)，式(32)中的增益項(xiàng)εs滿足如下條件：
(33)
5 仿真實(shí)驗(yàn)
雙電磁懸浮系統(tǒng)參數(shù)如下：懸浮橫梁質(zhì)量m=568 kg；等效質(zhì)量mθ=0.79 kg；鐵芯面積A=0.0125 m2；電磁鐵繞組匝數(shù)N=340；電阻R=0.65 Ω；期望懸浮氣隙c=0.002 m。本支持向量機(jī)核函數(shù)選擇高斯函數(shù)，高斯核函數(shù)第一個(gè)參數(shù)v=0.05，第二個(gè)參數(shù)w=0.01。懲罰因子C=0.6，不敏感損失函數(shù)參數(shù)ε=0.02，時(shí)變滑?？刂破鞯膮?shù)a1=300,a2=30,a3=1,k=3000,λ=10。仿真系統(tǒng)見(jiàn)圖5。其中封裝的雙電磁懸浮系統(tǒng)見(jiàn)圖6。
圖5 支持向量機(jī)α階逆系統(tǒng)解耦系統(tǒng)框圖
圖6 雙電磁懸浮系統(tǒng)仿真框圖
對(duì)單懸浮系統(tǒng)施加1000N干擾雙電磁懸浮系統(tǒng)PID控制仿真結(jié)果見(jiàn)圖7。
1.受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng) 2.未受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng)圖7 雙電磁懸浮系統(tǒng)未解耦PID控制仿真曲線
由圖7可得，單電磁懸浮系統(tǒng)受到干擾時(shí)另一個(gè)系統(tǒng)也會(huì)受到影響，這說(shuō)明兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)存在明顯的耦合關(guān)系。
圖8表明支持向量機(jī)α階逆系統(tǒng)解耦控制可以很好地使兩個(gè)耦合的電磁懸浮系統(tǒng)解耦成兩個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)互不干擾。圖9表明時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制較PID控制具有響應(yīng)速度快、超調(diào)小、魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)。
1.受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng) 2.未受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng)圖8 支持向量機(jī)α階逆解耦PID控制仿真曲線
1.受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng) 2.未受到干擾的電磁懸浮系統(tǒng)圖9 支持向量機(jī)α階逆解耦時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)仿真曲線
6 結(jié)語(yǔ)
本文對(duì)龍門雙電磁懸浮系統(tǒng)耦合情況進(jìn)行了分析，得出了兩個(gè)電磁懸浮系統(tǒng)的耦合關(guān)系，通過(guò)可逆性分析，證明了耦合雙電磁懸浮系統(tǒng)是可逆的。為了使耦合的雙電磁懸浮系統(tǒng)解耦出兩個(gè)獨(dú)立的單系統(tǒng)，本文采用α階逆系統(tǒng)對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行解耦。由于非線電磁懸浮系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)的精確模型不易得出，因此本文采用支持向量機(jī)逼近雙電磁懸浮系統(tǒng)的α階逆系統(tǒng)。解耦后的獨(dú)立偽線性系統(tǒng)采用時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制。仿真結(jié)果表明，支持向量機(jī)α階逆系統(tǒng)具有很好的解耦控制效果，使兩個(gè)懸浮系統(tǒng)互不干擾；時(shí)變滑模變結(jié)構(gòu)控制的獨(dú)立偽線性系統(tǒng)具有響應(yīng)速度快、魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)。
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(編輯王艷麗)
SVMαOrder Inverse System Decoupling Time-varying Sliding Mode Control of Double Suspension Systems of Machining Center
Liu ChunfangRong Gang
Shenyang University of Technology,Shenyang,110870
In order to eliminate the friction between moving beam and guide rail in gantry CNC machine, two suspension systems were adopted to suspend the moving beam jointly, so there were coupling relation between two suspension systems. When the beam suffering unbalance force or external disturbance as the CNC machine working, the existing coupling relationship would influence the two suspension system’s air gap, so the machining accuracy of compent was reduced. This paper analysed and concluded the coupling quantitative relationship when beam rolling around the center of mass and moving up and down.In order to eliminate the influence of coupling this paper adopted SVM to approach the two coupling suspension systems’sαorder inverse system. The obtainedαorder inverse system in series to coupling systems will be decoupled to two SISO pseudo linear systems.The decoupled SISO system adopted time-varying sliding mode control method. The method can make the system reach to the sliding mode surface directly at any original state, eliminating the process of original state reach to the sliding mode surface. So the sliding control can be achieved using shortest time and can realize global robustness of parameter perturbation and external disturbance. The simulation results show that the proposed method can decouple the coupling system effectively and can approach to the controlled object’sαorder inverse system without precise mathematical model. The time-varying sliding mode control method has fast response speed and strong robustness ability.
αorder inverse system; decoupling; support vector machine(SVM); time-varying sliding mode
2013-07-16
國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50805098)
TP273< class="emphasis_italic">DOI
：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.05.018
劉春芳，女，1975年生。沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院教授。主要研究方向?yàn)樗欧到y(tǒng)先進(jìn)控制策略及應(yīng)用。榮剛，男，1988年生。沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院碩士研究生。
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