曹勁然　馮　毅　陸寶春　張登峰　吳　建　石勝征　關德壯

1.南京理工大學，南京，210094　　2.南通潤邦重機股份有限公司，南通，226013

基于組合核函數OSVR算法的起重機減速齒輪箱磨損趨勢預測

曹勁然1馮毅1陸寶春1張登峰1吳建2石勝征2關德壯2

1.南京理工大學，南京，2100942.南通潤邦重機股份有限公司，南通，226013

針對起重機減速齒輪箱的磨損過程具有非線性與時變性，傳統磨損趨勢預測方法無法有效兼顧預測精度與執(zhí)行效率的問題，提出了一種基于組合核函數的在線支持向量機回歸(online support vector regression，OSVR)預測算法。OSVR的在線學習算法能夠適應時間序列的時變性并提高執(zhí)行效率，同時可利用不同的核函數性能，通過組合模型提高預測精度。采用實際齒輪箱鐵譜數據對預測算法進行驗證，結果表明，基于組合核函數的OSVR預測算法具有很好的預測精度和適應性，能有效預測起重機齒輪箱的磨損故障，且相比于單一OSVR算法和灰色神經網絡組合算法有更高的效率和預測精度。

齒輪箱；磨損趨勢預測；在線支持向量機回歸；核函數

0　引言

減速齒輪箱是起重機執(zhí)行起升、變幅、回轉等動作的關鍵傳動部件之一。在工作過程中，齒輪箱經常受到重載、沖擊和交變載荷的作用，容易發(fā)生磨損故障，導致齒輪箱失效[1]。齒輪箱的潤滑油中蘊含著豐富的齒輪磨損信息[2]，通過對潤滑油的在線油液監(jiān)測，可以掌握其磨損狀態(tài)變化規(guī)律并提前作出故障預警，所以基于油液監(jiān)測數據的在線磨損趨勢預測對齒輪箱及起重機的安全維護具有重要意義。

目前磨損趨勢預測模型主要有灰色模型、時間序列模型和神經網絡模型等。文獻[3]采用灰色模型對發(fā)動機鐵譜分析值進行了磨損趨勢分析，但該模型只適用于小樣本趨勢預測，難以預測非線性磨損過程；文獻[4]通過自回歸求和滑動平均時間序列來預測齒輪箱的非平穩(wěn)磨損趨勢，但預測效率較低，且模型參數確定后不能對非線性時變序列進行跟蹤預測；文獻[5]將基于BP神經網絡的多變量模型應用于航空發(fā)動機磨損趨勢預測，但同樣預測效率低，只適用于離線長期趨勢預測。起重機減速齒輪箱的磨損機制復雜，其磨損狀態(tài)變化往往具有時變性與非線性，因此傳統的預測模型難以獲得滿意的效果；對于復雜時間序列，單一模型預測精度較低，而多模型組合可以提高預測精度[6]。文獻[6]提出了一種BP神經網絡修正灰色殘差的組合模型預測方法，獲得了較好的預測結果，但神經網絡訓練過程易陷入局部最小，且預測結果不穩(wěn)定。支持向量回歸(support vector regression，SVR)算法能有效解決小樣本、非線性、高維數和局部極小等問題[7]，而且隨著在線SVR算法的研究與發(fā)展，在線最小二乘SVR、OSVR等能夠在線學習并動態(tài)調整模型參數，具有在線自適應性[8]。針對起重機齒輪箱的磨損趨勢預測問題，本文提出一種組合核函數的OSVR算法，利用支持向量機局部核函數與全局核函數的特性，先采用全局核函數OSVR算法在線預測整體趨勢，再用局部核函數OSVR算法對殘差進行實時修正，從而提高總體預測精度與效率。

1　算法理論基礎

1.1支持向量回歸原理

將支持向量機推廣到非線性回歸估計中，稱為回歸型支持向量機。T為給定數據集：

T={(xi,yi)|xi∈Rd,yi∈R,i=1,2,…,n}

把輸入樣本通過φ(·)非線性映射到高維特征空間，構造回歸函數為

f(x)=(w·φ(x))+b

(1)

其中，w∈Rd，b∈R，可以通過求解如下凸二次規(guī)劃問題得到：

(2)

引入拉格朗日乘子可將原凸二次規(guī)劃問題(式(2))轉化為對偶二次規(guī)劃問題：

(3)

Qij=φ(xi)Tφ(xj)=K(xi,xj)

(4)

1.2OSVR在線學習算法

普通的SVR模型是在離線情況下對數據集進行批量訓練的，效率較低，而基于增量式在線學習的OSVR模型是逐一加入新數據進行優(yōu)化訓練的，當數據在線更新時，能夠通過增加或刪除一個樣本實現模型的動態(tài)調整[9]。

(5)

根據h(xi)與θi的情況可以將樣本分為三個子集，即支持向量集S、錯誤支持向量集E和樣本保留集R：

(6)

增量式在線學習算法包括遞增算法和遞減算法。遞增算法的基本思想是當新樣本加入訓練集{xc,yc}時，需要對新樣本加入θc，并逐步調整θi和θc使新樣本加入式(6)中的三個集合之一，同時要使所有樣本滿足KKT條件。具體方法是：當|h(xc)|<ε時，新樣本加入R集，原樣本集的θi不需改變；當|h(xc)| ≥ε時，新樣本加入S集或E集，加入前應確保原樣本仍滿足KKT條件，否則對原有集合作樣本移動，直至所有樣本滿足KKT條件。遞減算法的基本思想與遞增算法類似，即遺忘訓練集中的一些樣本，然后通過調整剩余樣本的參數使其滿足KKT條件。由此可以實現SVR模型的動態(tài)調整以及訓練樣本的在線更新。

1.3相空間重構理論

Takens[10]的相空間重構理論中提出，系統中任一分量的演化是由與之相互作用的其他分量決定的，因此起重機齒輪箱的磨損時間序列應該隱含著齒輪箱的摩擦學運動規(guī)律。根據相空間重構理論，假設觀測到的時間序列為{x(k),k=1,2,…,N}，重構相空間后的狀態(tài)向量可表示為

X(k)=(x(k),x(k-τ),…,x(k-(m-1)τ))

(7)

式中，τ為延遲時間；m為嵌入維數(即重構相空間維數)。

由Takens定理可知，復雜非線性時間序列預測的實質便是通過運動系統的狀態(tài)逆向重構原系統的模型，所以對下一步進行預測就是構建以下預測模型：

X(k+τ)=F(X(k))

(8)

其中，F(·)是重構的預測模型，即通過相空間重構方法將非線性時間序列映射到了高維空間。而支持向量機能有效解決非線性、高維數等問題，因此將重構預測模型與支持向量回歸模型結合起來可以有效提高時間序列的預測精度。

1.4核函數的類型及影響

支持向量機通過核函數的內積映射，將高維特征空間的運算問題轉化到原始空間進行，因此核函數決定了支持向量機的非線性映射能力，而核函數類型及其參數的確定會對SVR模型產生不同的影響。核函數主要可分為兩種類型，即局部核函數與全局核函數。核函數的常用形式有三種：多項式核函數(polynomial)、徑向基核函數(RBF)、Sigmoid核函數。根據文獻[11]分類方法，一般多項式核函數屬于全局核函數，徑向基核函數與Sigmoid核函數都屬于局部核函數。

核函數映射形式的不同會導致全局核函數與局部核函數的外推能力與學習能力等函數特性也有所區(qū)別。全局核函數能夠獲取待預測樣本較大范圍內的全局信息，具有較強的外推能力，但學習能力較弱；局部核函數能夠有效提取樣本點附近的信息，有較強的非線性逼近能力，但外推能力較弱。對于磨損趨勢預測的在線建模問題，單一的核函數SVR模型在預測能力上有局限性，因此本文考慮將兩種互補性的核函數模型組合起來，充分利用兩種核函數的優(yōu)點，提高預測精度。

2　基于組合核函數的OSVR算法

2.1算法基本思路

一般核函數組合的方式是將兩種類型核函數加權組合，構造新的組合核函數后進行建模和預測，但對于在線動態(tài)建模問題，采用該方式權值較難確定。因此本文決定采用基于兩種類型核函數的OSVR模型同時預測，首先通過基于全局核函數的OSVR模型在線預測當前樣本的整體趨勢走向，再對預測結果的殘差進行相空間重構，并通過基于局部核函數的OSVR模型對殘差進行預測，最后將預測的殘差實時修正全局核函數OSVR模型的預測值，從而實現組合核函數的OSVR算法在線預測。

首先考慮單步預測。假設在線建模時，當前數據窗口中的時間序列為{xt,t=1,2,…,n}，預測目標值為{xn+1}。首先對當前時間序列進行相空間重構，若嵌入維數為m，則可建立映射Rm→R，表示輸入x={xt,xt-1,…,xt-m-1}與輸出y={xn+1}之間的映射關系，并擴充為矩陣的形式即獲得SVR模型的訓練樣本：

(9)

對訓練樣本按照如下的回歸函數，采用OSVR算法在線訓練：

(10)

t=m+1,m+2,…,n

(11)

(12)

式中，Kδ(·)為局部核函數，一般選用RBF核函數。

因此對于非線性時變的時間序列{xt,t=1,2,…,n+1}，一定可以分解為一個平滑的趨勢項序列與一個去趨勢項的非線性序列，即

(13)

i=m+1,m+2,…,n

(14)

確定了一步預測的方法之后，利用遞推預測和滾動優(yōu)化的思想，可以將其推廣到N步預測。若當前時間序列{xt,t=1,2,…,n}的N步預測目標值為{xn+1,xn+2,…,xn+N}，其中，N小于嵌入維數m，則N步預測問題可以表示成如下的連續(xù)單步預測問題：

(15)

即在嵌入維數m的步數內，將上一步的預測值代入到原訓練模型中代替新樣本更新，然后以此為基礎繼續(xù)預測下步預測值，如此循環(huán)來實現N步預測。

2.2算法具體流程圖

將不同特性的核函數組合的OSVR預測模型相對于單一的OSVR模型預測精度會有所提高，同時OSVR在線的增量與減量學習算法相比于傳統SVR模型效率也有所提高?；镜乃惴鞒倘鐖D1所示。

圖1　在線預測流程圖

2.3算法具體實現步驟

(1)首先對數據預處理，通過相空間重構方法構造初始訓練樣本。

(2)初始化訓練全局OSVR模型，并用訓練的殘差初始化訓練局部OSVR模型。

(3)在線更新窗口時間序列{xt,t=1,2,…,n}，經過相空間重構得到新樣本，用全局OSVR模型在線訓練，在線訓練包括對新樣本的增量訓練和舊樣本的減量訓練。

(5)同步更新全局OSVR模型的殘差，經相空間重構后用局部OSVR模型在線訓練殘差序列。

(9)輸入新序列值xn+1，重復步驟(3)～步驟(9)，實現連續(xù)N步預測。

3　組合核函數OSVR模型在起重機減速齒輪箱磨損趨勢預測中的應用

為了驗證組合核函數OSVR模型在磨損趨勢預測中的效果，以某大型起重機用的主起升減速齒輪箱潤滑油的鐵譜監(jiān)測數據為例，對采集到的鐵元素含量的時間序列進行在線預測。仿真實驗環(huán)境為普通臺式電腦，CPU為i5-3470，3.20GHz，內存2GB，軟件平臺為MATLAB7.0。

可以看出齒輪箱工作一段時間后產生了劇烈磨損，因此磨粒的監(jiān)測序列有較強的非線性與時變特征，具有一定隨機性和突變性，通過在線預測可以提前發(fā)現磨損異常，進而作出相關檢查與維護。為了便于預測算法的運算以及后續(xù)不同算法比較，首先對原始數據作歸一化處理。之后給出具體模型預測參數：全局核函數OSVR算法選用多項式核函數，p=2，ε1=0.1，C1=1000；局部核函數OSVR算法選用RBF核函數，σ=0.2，ε2=0.01，C2=1000。在線時間序列的長度n與嵌入維數m對于時間序列的預測精度和效率起著關鍵作用。采用最終誤差預報準則結合交叉驗證[12]的方法確定最佳在線時間序列的在線建模長度n1=13、嵌入維數m1=5，進而確定鄰域殘差序列的建模長度n2=8、嵌入維數m2=5。樣本數據為46個，用前13個數據作為初始訓練樣本，通過實時更新，在線單步預測之后的14～46個數據。其單步預測值與原始值如圖2所示，虛線左側為初始訓練數據，右側為預測值與原始數據。

圖2　組合核函數OSVR算法預測結果

從圖2可以看出原始數據初始狀態(tài)平穩(wěn)，在第23個樣本后有急劇上升趨勢，在第30個樣本之后波動較大，而在此過程中模型很好地跟蹤預測了磨粒監(jiān)測的單步變化情況。由于是在線樣本實時滾動建模，所以歷史數據影響較小，采用的組合核函數OSVR算法能動態(tài)修正模型參數適應數據變化，說明模型具有較強的在線自適應能力及較好的預測精度。

為了比較新算法性能，采用單一核函數OSVR算法和灰色BP神經網絡(GMBP)組合算法[6]對相同序列在線對比預測，其中單一核函數OSVR算法分別采用全局核函數模型與局部核函數模型，全局核函數選用多項式核函數，局部核函數選用RBF核函數，其余參數設置與上文組合核函數中的相關參數相同；GMBP組合算法的參數選取參考文獻[6]，趨勢項模型為新陳代謝GM(1,1)模型， 殘差模型為5×20×1的BP神經網絡模型，輸入層、隱含層采用tansig函數，輸出層采用purelin函數。采用三種算法對后33個樣本做單步預測并與新算法對比，結果如圖3所示。

(a)全局核函數OSVR模型與新模型預測結果對比

(b)局部核函數OSVR模型與新模型預測結果對比

(c)GMBP模型與新模型預測結果對比圖3　各模型預測結果對比

從圖3可以看出，全局核函數OSVR模型的預測值雖然能預測出原始數據總體趨勢，但對數據的波動不敏感，在數據轉折或大幅變化時不能做出較為準確的預判，預測誤差較大；局部核函數OSVR模型能夠對故障數據的大幅變化趨勢做出相對準確的預測，但對于局部非線性較弱的數據反而出現過訓練的情況，有較大偏差；GMBP組合模型的預測值總體能貼合原始數據趨勢，但仍比組合核函數OSVR模型的波動性大，且每次預測值不穩(wěn)定，與原始數據貼合程度比新算法低。

為了全面比較與衡量算法的性能，采用平均絕對誤差eMAE與標準均方根誤差eNRMSE作為衡量性能的指標：

(16)

(17)

預測結果的衡量指標比較如表1所示。

表1　預測結果對比

表1中組合核函數OSVR算法的平均絕對誤差與標準均方根誤差最小，由eMAE指標可見在預測精度上較全局核函數OSVR算法提高了46%，較局部核函數OSVR算法提高25%，較GMBP組合算法提高31%；組合核函數OSVR算法的eNRMSE指標最小，即該算法的預測曲線最貼合原始曲線。在執(zhí)行效率方面雖然全局核函數執(zhí)行速度最快，用時0.7734s，但相對的eMAE與eNRMSE最大，即預測精度與擬合程度最低；GMBP組合算法由于BP神經網絡的在線訓練耗時較多，所以在線預測的執(zhí)行效率最低；組合核函數OSVR算法比局部核函數(RBF核函數)OSVR模型稍快一點，原因在于單一的局部核函數OSVR算法的在線樣本規(guī)模較大且計算復雜，而全局核函數OSVR預測時支持向量較少，且殘差序列規(guī)模也比較小，計算復雜度相對較低，因此執(zhí)行效率會有所提高。組合核函數OSVR算法的單步平均預測時間為0.0398s，遠小于原始數據單個樣本采樣時間，完全可以實現在線預測。綜合比較來看，組合核函數OSVR算法能夠在保證預測效率的同時具有最高的預測精度，完全能對非線性時變的磨損時間序列進行在線預測，并為起重機減速齒輪箱磨損故障預報提供有力依據。

4　結語

本文針對起重機減速齒輪箱的磨損趨勢預測提出了一種組合核函數OSVR算法，采用OSVR的增量式學習算法使預測模型能夠在線動態(tài)調整模型參數，并將不同特性核函數的OSVR預測模型以殘差補償的形式組合，在保證算法預測效率的同時提高了預測精度。實驗研究說明組合核函數OSVR算法有較強的在線自適應能力，即使監(jiān)測的金屬元素含量急劇變化與波動仍能快速有效地跟蹤預測，在預測性能上優(yōu)于單一核函數模型和GMBP組合模型，對于起重機減速齒輪箱的在線故障預測有一定的參考價值。后續(xù)研究將討論算法中組合核函數OSVR模型中各參數的最優(yōu)選取問題以及對于核函數非線性組合的情況下預測效果問題。

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(編輯王艷麗)

Wear Trend Prediction of Crane Gearbox Based on OSVR Method with Combined Kernel Functions

Cao Jinran1Feng Yi1Lu Baochun1Zhang Dengfeng1Wu Jian2Shi Shengzheng2Guan Dezhuang2

1.Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，210094 2.Nantong Rainbow Heavy Machine Company，Nantong，Jiangsu,226013

For the nonlinear and nonstationary crane gearbox wear process, prediction precision and efficiency cannot be effectively balanced by using traditional prediction methods. An OSVR prediction method based on combined kernel functions was proposed. The OSVR algorithm can be adapted to time-varying time series and the efficiency can be improved. Simultaneously, the kernel-combined model would be able to improve the prediction accuracy. Experimental results show that the trend of the crane gearbox wear process can be predicted effectively by using the new method, and the prediction is more accurate than the results of the OSVR method with single kernel function and the gray-neural network method.

gearbox; wear trend prediction;online support vector regression(OSVR); kernel function

2013-12-17

國家自然科學基金資助項目(51275245，61374133)

TP181DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.05.013

曹勁然，男，1989年生。南京理工大學機械工程學院博士研究生。主要研究方向為大型工程機械故障診斷與預測。馮毅，男，1989年生。南京理工大學機械工程學院博士研究生。陸寶春，男，1965年生。南京理工大學機械工程學院教授、博士研究生導師。張登峰，男，1973年生。南京理工大學機械工程學院副研究員、博士研究生導師。吳建，男，1967年生。南通潤邦重機有限公司董事長。石勝征，男，1971年生。南通潤邦重機有限公司海工技術總監(jiān)。關德壯，男，1969年生。南通潤邦重機有限公司設計部主任。