殷為洋　王　琥　馮　慧　湯　龍

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙,410082

基于解耦型GMDH的車身材料參數(shù)反求

殷為洋王琥馮慧湯龍

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室,長沙,410082

動態(tài)載荷作用時,具有應(yīng)變率效應(yīng)的材料在碰撞仿真中會展現(xiàn)出不同于靜態(tài)載荷時的性能,準(zhǔn)確的材料參數(shù)是獲得可靠仿真結(jié)果的前提。主流的近似模型優(yōu)化方法忽略了對變量間耦合關(guān)系的判定,造成近似模型中存在不必要的耦合項,增大誤差項所占比重,降低模型的效率和泛化能力。為此,提出了解耦型數(shù)據(jù)分組處理方法(GMDH),在建模初期判斷變量之間的耦合關(guān)系,進(jìn)而確定模型的耦合項。在高維非線性函數(shù)測試中,該方法表現(xiàn)出優(yōu)良的建模性能;將該方法與臺車試驗結(jié)合,反求出兩種材料構(gòu)成的拼焊板參數(shù),與試驗結(jié)果的對比表明,該反求方法具有較高的精度。

應(yīng)變率效應(yīng);耦合關(guān)系;解耦型數(shù)據(jù)分組處理方法(GMDH);近似模型

0　引言

汽車輕量化是涉及到安全、節(jié)能和環(huán)保的綜合性課題。車體減重10%可節(jié)省燃料8%～10%[1]。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步,新型材料不斷涌現(xiàn),這為汽車輕量化開辟了廣闊的發(fā)展空間。大部分車身材料具有應(yīng)變率效應(yīng),即在動載荷作用時會呈現(xiàn)出不同于靜載荷作用時的力學(xué)特性。汽車碰撞是以大位移、大轉(zhuǎn)動及大應(yīng)變?yōu)樘卣鞯膹?fù)雜非線性動力學(xué)問題。在傳統(tǒng)的材料參數(shù)確定中,材料參數(shù)是在標(biāo)準(zhǔn)試樣件拉伸試驗的基礎(chǔ)上通過測試解析關(guān)系得到的,不能反映材料在汽車碰撞仿真中的動態(tài)性能，在仿真時會造成相當(dāng)大的誤差。因此,選擇合適的應(yīng)變率模型并獲得正確的材料參數(shù)是汽車碰撞仿真的前提[2]。

目前,國際上主流的參數(shù)反求方法是試驗與仿真結(jié)合的混合數(shù)值方法，即將材料參數(shù)反求轉(zhuǎn)化為工程優(yōu)化問題：以試驗測試結(jié)果為目標(biāo)依據(jù)，利用計算機(jī)對真實試驗進(jìn)行仿真，將仿真值與試驗值之間的誤差函數(shù)最小化，從而得到材料參數(shù)。曹銀峰等[3]介紹了參數(shù)反求的基本公式和關(guān)鍵算法,并將試驗點的活度規(guī)則與試驗結(jié)合反求出材料參數(shù);Eggertsen等[4]將周期屈服試驗與響應(yīng)面結(jié)合，反求出模擬回彈的材料參數(shù);Sedighi等[5]將Levenberg-Marquardt算法與高速拉伸試驗結(jié)合，反求了兩種鋼的材料參數(shù);李恩穎等[6]將最小二乘支持向量機(jī)回歸(least squares support vector regression,LS-SVR)與碰撞試驗結(jié)合，反求出了DP600高強(qiáng)鋼的材料參數(shù)。

隨復(fù)雜度的增大,花費(fèi)在仿真計算的時間成本大幅度增加，為了提高效率和節(jié)省成本，有效方法是建立近似模型。目前,國內(nèi)外構(gòu)造近似模型的方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、多項式響應(yīng)面及移動最小二乘等[7]。通過驗證,發(fā)現(xiàn)這些近似模型方法應(yīng)用于低維問題時有較好的效果,然而,隨著問題維數(shù)的增加,用于構(gòu)造這些近似模型的樣本點數(shù)目及計算成本會急劇增加,同時變量之間不必要的耦合項會變成冗雜項,增加網(wǎng)絡(luò)的冗雜度,大大降低模型的效率和泛化能力。

結(jié)合樣本點成本問題與高維變量間耦合性問題,本文提出解耦型數(shù)據(jù)分組處理方法(group method of data handling, GMDH)近似模型：在傳統(tǒng)GMDH的基礎(chǔ)上，引入耦合性判斷機(jī)制，根據(jù)判斷結(jié)果決定是否保留耦合項。在高維測試函數(shù)算例中，算法表現(xiàn)出較高的精度。最后將該算法成功運(yùn)用到車身拼焊板材料參數(shù)的反求中。

1　GMDH近似模型

GMDH的基本思想是用模擬生物有機(jī)體演化的方式來構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,它不要求模型開發(fā)者完全掌握系統(tǒng)的內(nèi)部變化機(jī)理,不需要事先確定模型及其參數(shù),而是利用輸入、輸出的實測數(shù)據(jù)確定模型輸入變量及其參數(shù)。在建模過程中并非利用人為事先確定的函數(shù)關(guān)系式，而是利用所提供的建模數(shù)據(jù)通過計算機(jī)自動尋找數(shù)據(jù)間的函數(shù)關(guān)系。

GMDH近似模型的構(gòu)造過程[8]如下:

(1)確定輸入變量xi(i=1,2,…,N)和目標(biāo)變量y,輸入變量即構(gòu)成第一層的各個活動節(jié)點。

(2)將輸入變量兩兩配對,組成N(N-1)/2個活動節(jié)點,以完全二次多項式作為活動節(jié)點的部分描述,并對該層所有的節(jié)點進(jìn)行精度評估,保留一定數(shù)目的節(jié)點作為母本進(jìn)入下一層節(jié)點的構(gòu)造中,直至滿足終止準(zhǔn)則。

(3)終止準(zhǔn)則。滿足下列兩個條件中的任何一個即終止GMDH網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造:①當(dāng)只有一個節(jié)點時；②當(dāng)本層中的最小準(zhǔn)則值大于上一層的最小準(zhǔn)則值時(此時選擇上層中最小準(zhǔn)則值對應(yīng)的節(jié)點)。

傳統(tǒng)的GMDH模型沒有判斷變量間的耦合關(guān)系而直接加入耦合項,對于沒有耦合關(guān)系的變量會增加不必要的耦合項即誤差項。隨著構(gòu)造進(jìn)程的推進(jìn)，不必要的耦合項經(jīng)過多次再耦合，模型中的不必要項所占比重也逐漸增大,導(dǎo)致誤差項增大，大大降低近似模型的效率和精度。

2　解耦型GMDH近似模型

傳統(tǒng)GMDH模型在構(gòu)建初期不判斷耦合關(guān)系就引入耦合項,最終影響近似模型精度。解耦型GMDH模型則在構(gòu)造第二層各個活動節(jié)點之前，首先利用高維模型表示(high dimensional model representation,HDMR)方法[9]判斷變量間的耦合關(guān)系，根據(jù)判斷結(jié)果決定是否加入耦合項，其構(gòu)造過程如下：

(1)所有變量xi構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的第一層節(jié)點。

(2)取問題域中心點并計算樣本值f0,該樣本點作為構(gòu)造單變量非耦合項的評價準(zhǔn)則。

(3)在單變量xi∈X(X=(y1,y2,…,xi,…,yN))的定義區(qū)間為構(gòu)造其非耦合項fi(xi)=f(XT)-f0布點,然后利用徑向基函數(shù)(radialbasisfunction,RBF)方法[10]構(gòu)造fi(xi)。與其他插值方法相比,RBF插值方法特別適合多維離散點的插值，不會因為插值點的位置關(guān)系而產(chǎn)生病態(tài)的系數(shù)矩陣，而且使用比較少的網(wǎng)格點即可得到同最小二乘方法相當(dāng)?shù)木取?/p>

(4)判斷fi(xi)的線性與非線性。如果滿足收斂條件:

(1)

則單變量的非耦合項構(gòu)造完成;否則,繼續(xù)采樣構(gòu)造單變量的非耦合項直至滿足收斂條件。由于實際工程問題中不確定因素的增多以及系統(tǒng)誤差的存在,在運(yùn)用解耦型GMDH算法解決工程問題時,可將收斂條件適當(dāng)放寬。

(5)循環(huán)執(zhí)行步驟(3)和(4)直至所有變量的非耦合項構(gòu)造完畢。

(6)判斷兩兩變量間是否存在耦合關(guān)系。識別變量之間的耦合性,構(gòu)造新樣本點WT=(y1,y2,…xi,…,xj,…yN)T(i≠j)并計算其真實樣本值f(WT)。在精度允許的誤差范圍內(nèi)(即設(shè)定一較小的閾值，如0.0001),若滿足關(guān)系f(WT)=f0+fi(xi)+fj(xj),即常數(shù)項和非耦合項構(gòu)成的近似模型已能夠模擬真實值,則認(rèn)為輸入變量xi與xj之間不存在耦合關(guān)系,否則兩變量之間存在耦合關(guān)系。

(7)構(gòu)建GMDH模型第二層的活動節(jié)點。以兩變量的完全二次多項式為基本表達(dá)式,根據(jù)步驟(6)中的判斷結(jié)果,靈活決定活動節(jié)點的部分表達(dá)式是否剔除耦合項a5x1x2。

(8)篩選并確定母本。利用AIC準(zhǔn)則(Akaike’s information criterion)[11]對步驟(7)中構(gòu)造出的所有節(jié)點進(jìn)行評價,在本層所生成的所有活動節(jié)點中,選擇AIC值最小的5個節(jié)點作為母本繼續(xù)構(gòu)造下一層，直至達(dá)到收斂條件。

AIC準(zhǔn)則是由Akaike在研究信息論特別是在解決時間序列定階問題時提出來的[12],其顯著特點之一是“吝嗇原理(principle of parsimony)”的具體化,公式為

PAIC=-2lnP+2Q

(2)

式中,PAIC為AIC值;P為模型的極大似然函數(shù);Q為模型的獨立參數(shù)個數(shù)。

當(dāng)從待選擇模型中選擇最佳模型時,AIC值最小的模型是最佳的。當(dāng)兩個模型之間存在相當(dāng)大的差異時，這個差異在式(2)右邊第一項得到表現(xiàn);而當(dāng)兩個模型之間的差異幾乎沒有時,則式(2)第二項起作用，從而參數(shù)個數(shù)小的模型是好的模型。

解耦型GMDH近似模型構(gòu)建流程見圖1。

圖1　解耦型GMDH近似模型構(gòu)建流程圖

3　高維測試函數(shù)測試

為驗證解耦型GMDH近似模型的精度,采用高維函數(shù)進(jìn)行測試。

3.1近似模型評價指標(biāo)[13]

(1)判定系數(shù)R2為

(3)

R2是一個整體指標(biāo),其值越接近1,模型越精確。

(2)平均絕對誤差ERAAE(relative average absolute error)為

(4)

式中,STD為標(biāo)準(zhǔn)差。

ERAAE是一個整體指標(biāo),其值越小,模型越精確。

(3)最大絕對誤差ERMAE(relative maximum absolute error)為

(5)

ERMAE是一個局部指標(biāo),它描述了設(shè)計空間中的局部誤差,其值越小模型精度越高。

3.2所用測試函數(shù)及結(jié)果

對每個測試函數(shù)建立其10維問題的近似模型,均用隨機(jī)生成的樣本連續(xù)測試30次,其中De-GMDH代表解耦型GMDH方法,GMDH代表傳統(tǒng)數(shù)據(jù)組處理方法,PR代表多項式方法,RBF代表徑向基函數(shù)方法。

(1)不含耦合項的測試函數(shù)如下：

(6)

(7)

(8)

上述3個函數(shù)的各指標(biāo)結(jié)果對比分別見表1～表3。

表1　式(6)函數(shù)各指標(biāo)結(jié)果對比

表2　式(7)函數(shù)各指標(biāo)結(jié)果對比

表3　式(8)函數(shù)各指標(biāo)結(jié)果對比

以上各個函數(shù)中變量之間不存在耦合關(guān)系,采用解耦型GMDH構(gòu)建近似模型過程中均能準(zhǔn)確判斷變量的耦合性，在初始建模階段就剔除了耦合項，不僅簡化了模型結(jié)構(gòu),還減小了誤差項的比重，提高了精度,即使樣本點數(shù)目減少一半，各個指標(biāo)值也均優(yōu)于傳統(tǒng)的GMDH。

(2)含有耦合項的測試函數(shù)如下：

(9)

(10)

(11)

上述3個函數(shù)的各指標(biāo)結(jié)果對比分別見表4～表6。

表4　式(9)函數(shù)各指標(biāo)結(jié)果對比

表5　式(10)函數(shù)各指標(biāo)結(jié)果對比

表6　式(11)函數(shù)各指標(biāo)結(jié)果對比

以上各個函數(shù)中變量之間存在耦合關(guān)系,解耦型GMDH保留了部分表達(dá)式中的耦合項，整個建模過程與傳統(tǒng)GMDH幾乎一樣,即樣本數(shù)目與精度基本保持一致。

根據(jù)上述兩種類型的高維測試函數(shù)測試結(jié)果可以得到：在構(gòu)建上述近似模型過程中，解耦型GMDH能夠準(zhǔn)確判定出各個變量之間的耦合關(guān)系，進(jìn)而在構(gòu)建第二層活動節(jié)點時只需決定是否添加耦合項，從而達(dá)到了減小誤差項比重、提高擬合精度的效果。

4　建立薄壁吸能筒近似模型

4.1吸能筒的幾何參數(shù)

圖2　四部分構(gòu)成的薄壁吸能梁撞擊剛性墻

圖3　橫截面尺寸

根據(jù)實際的吸能筒臺車碰撞試驗中所用吸能筒的幾何尺寸及材料匹配情況,建立雙吸能筒有限元模型，如圖2所示。其中，前后兩個吸能筒的材料分別為DP590和DP780,厚度分別為1.0 mm和1.5 mm,每個吸能筒由上下兩部分焊接組合而成,具體的橫截面幾何參數(shù)如圖3所示。圖3中各部分長度如表7所示。此外每個吸能筒的長度為200 mm。

表7　吸能筒橫截面尺寸　mm

4.2吸能筒臺車碰撞有限元模型

參照試驗條件下的臺車結(jié)構(gòu)，在Hypermesh中建立八邊形主機(jī)吸能前縱梁-臺車結(jié)構(gòu)的有限元模型(圖4)。吸能筒的單元尺寸設(shè)置為5 mm, 臺車的速度設(shè)置為30 km/h。臺車部分的屬性設(shè)置為不變形的剛體,采用第20號剛性殼體,調(diào)整模型質(zhì)心位置,使之與實際臺車質(zhì)心位置一致。

圖4　吸能筒臺車碰撞的有限元仿真模型

在臺車碰撞仿真中,輪胎是臺車模型中比較重要的部件。為了提高模型的精度,在臺車模型中考慮車輪模型高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和摩擦特性，使車輪由高速旋轉(zhuǎn)逐漸停止。為實現(xiàn)仿真與試驗中輪胎剛度的擬合,綜合考慮了輪胎單元屬性、材料參數(shù)、輪胎氣壓等，本文中的輪胎厚度與材料參數(shù)均為實際輪胎數(shù)據(jù)，輪胎剛度擬合參照文獻(xiàn)[14]。

4.3吸能筒的本構(gòu)模型

常用的率相關(guān)本構(gòu)模型主要有Johnson-Cook(JC)模型、Zerilli-Armstrong(ZA)模型、Cowper-Symonds(CS)模型及Piecewise-Linear(PL)模型等。其中JC模型引入了材料的應(yīng)變率強(qiáng)化及熱軟化參數(shù)，適用于大多數(shù)金屬材料的準(zhǔn)靜態(tài)變形到高速變形的仿真，如彈道穿透、碰撞等。本文選擇JC模型：

(12)

(13)

在不考慮溫度效應(yīng)的情況下忽略式(13)，JC模型簡化為

(14)

4.4吸能筒的材料參數(shù)反求

在該焊接雙吸能筒的材料反求中,以兩種材料的JC模型參數(shù)為自變量(DP590的A、B、n、C和DP780的A、B、n、C),均勻選取21個加速度仿真值與對應(yīng)試驗值的平均相對誤差作為目標(biāo)變量：

(15)

式中,ati為第i個試驗數(shù)據(jù)加速度值;asi為第i個仿真數(shù)據(jù)加速度值；M為加速度值取樣點數(shù)。

各個加速度值是加速度曲線經(jīng)濾波處理后均勻截取的。目標(biāo)函數(shù)與各個待匹配參數(shù)的關(guān)系為

F=min(S(A1i,B1i,n1i,C1i,A2i,B2i,

n2i,C2i)-atest)=S(Xbest)-atest

(16)

(A1i,B1i,n1i,C1i,A2i,B2i,n2i,C2i)∈Di=1,2,…,M

式中,A1、B1、n1、C1、A2、B2、n2、C2為待求參數(shù);S(A1,B1,n1,C1,A2,B2,n2,C2)為該組參數(shù)對應(yīng)的仿真計算值;atest為試驗值;Xbest為參數(shù)的最佳組合值；D為參數(shù)區(qū)間。

以R2為收斂條件,逐漸增加樣本點,當(dāng)滿足R2>0.9時即停止構(gòu)造，并結(jié)合遺傳算法完成材料參數(shù)的反求。

DP590和DP780的JC模型參數(shù)取值區(qū)間設(shè)置分別如表8、表9所示。

表8　DP590的JC模型參數(shù)取值區(qū)間

表9　DP780的JC模型參數(shù)取值區(qū)間

采用解耦型GMDH和傳統(tǒng)GMDH兩種方法分別構(gòu)造近似模型,并與遺傳算法結(jié)合來反求材料參數(shù)。設(shè)置種群大小為100,迭代次數(shù)為50,樣本點成本及收斂結(jié)果對比如表10所示。

表10　兩種方法收斂結(jié)果對比

反求得到的8個參數(shù)對比結(jié)果如表11所示。

表11　參數(shù)反求對比結(jié)果

5　試驗驗證

為了檢驗參數(shù)的可靠度,將反求的8個參數(shù)輸入有限元模型中，并將仿真結(jié)果與試驗結(jié)果進(jìn)行對比，圖5為碰撞試驗的變形結(jié)果圖。

圖5　雙焊接吸能筒的臺車碰撞試驗

分別將有限元模型的加速度與試驗過程中的加速度在Original中繪制成圖形,對比結(jié)果如圖6和表12所示。

圖6　吸能筒碰撞仿真與試驗對比加速度曲線

試驗值(g)DeGMDHGMDH仿真值(g)相對誤差(%)仿真值(g)相對誤差(%)最大值28.243228.24030.010330.21526.9822平均值13.964814.79485.943516.137715.5598

進(jìn)一步探究仿真加速度結(jié)果與試驗加速度結(jié)果之間的誤差,由近似模型技術(shù)反求得到的參數(shù)計算得到的仿真加速度與試驗加速度之間的誤差見表12。

吸能筒的碰撞涉及眾多復(fù)雜的因素,計算不可避免地產(chǎn)生誤差。在綜合各個影響因素的基礎(chǔ)上,從上述結(jié)果比較可以看出,仿真加速度與試驗加速度相差不大，且加速度曲線變化趨勢一致,加速度最大值及加速度平均值的誤差較小:將基于解耦型GMDH方法得到的材料參數(shù)輸入有限元模型并計算,與試驗結(jié)果對比,最大加速度的相對誤差為0.0103%;加速度平均值的相對誤差為5.9435%。這說明，材料參數(shù)精度較高，滿足工程應(yīng)用，同時驗證了該近似模型方法在實際工程問題中的可靠度。

6　結(jié)論

(1)在傳統(tǒng)GMDH算法基礎(chǔ)上，提出了基于高維模型表示(HDMR)方法判斷變量間耦合關(guān)系的解耦型GMDH模型：在構(gòu)造第二層活動節(jié)點時利用HDMR方法判斷變量間耦合關(guān)系，根據(jù)結(jié)果智能選取耦合項。該模型不但繼承了GMDH自組織的進(jìn)化建模思想，還能在建模初期即可明確變量間的耦合性，提前剔除不必要的耦合項。

(2)由高維測試函數(shù)評價結(jié)果可以看出：對于不含耦合項的測試函數(shù)，解耦型GMDH在準(zhǔn)確判定兩變量之間不存在耦合性的基礎(chǔ)上剔除了耦合項，與傳統(tǒng)GMDH相比，可以在樣本點減少一半的情況下各個指標(biāo)仍能優(yōu)于傳統(tǒng)GMDH所得結(jié)果；對于含有耦合項的測試函數(shù)，解耦型GMDH在準(zhǔn)確判斷耦合項存在的基礎(chǔ)上保留了耦合項，此時的近似模型構(gòu)造過程與傳統(tǒng)GMDH基本一致。

(3)試驗操作、試驗環(huán)境、試驗設(shè)備、試件制作及數(shù)據(jù)處理等存在大量的不確定因素,在綜合各個實際因素的基礎(chǔ)上，與試驗結(jié)果對比表明，反求得到的參數(shù)滿足實際工程精度要求，證明了基于解耦型GMDH近似模型的材料反求方法的可行性。

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(編輯蘇衛(wèi)國)

Inverse Determination of Material Parameters Based on Decoupled GMDH Algorithm

Yin WeiyangWang HuFeng HuiTang Long

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082

Since materials with strain rate effect showed different performances in crash simulation compared with they were under static conditions,accurate constitutive model parameters were the premise of reliable simulation results.The determination for the coupling relationship among the input variables was ignored during the construction program in traditional metamodel method,there would be coupled terms which were not necessary,on the contrary the proportion of the error term could be increased and efficiency and generalization ability of the metamodel were reduced.To deal with this problem,a decoupled GMDH algorithm was proposed:there would be a judgment process for the coupling relationship of all the input variables before the construction process,and the results are taken to determine whether choose the coupled term.In the test program of high dimension functions,the algorithm could provide accurate metamodel.Based on the trolley test,the method was implemented into match of the material parameters for two kinds advanced high-strength steel,and the results show that this algorithm owns good modeling performance.

strain rate effect;coupling relationship;decoupled GMDH(group method of data handling);metamodel

2013-12-20

國家自然科學(xué)基金資助項目(11172097,61232014);新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃資助項目(NCET-11-0131);湖南省自然科學(xué)基金資助項目(11JJA001);國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)資助項目(2012AA111802)

U467DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.09.016

殷為洋,男,1989年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室碩士研究生。研究方向為汽車被動安全與工程優(yōu)化。王琥，男,1975年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室副教授、博士。馮慧,女,1989年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室博士研究生。湯龍,男,1986年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室博士研究生。