田百義 雪丹 黃美麗

（北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

全電推進(jìn)GEO衛(wèi)星的變軌策略研究

田百義 雪丹 黃美麗

（北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

針對采用全電推進(jìn)平臺的GEO衛(wèi)星的軌道轉(zhuǎn)移問題，在給定電推進(jìn)軌道控制模型的基礎(chǔ)上，開展衛(wèi)星由GTO向GEO的變軌策略研究。首先，在軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)高度不變的基礎(chǔ)上，給出了給定控制解析解的變軌策略，并給出了該種策略軌道控制律的解析解。其次，文章基于李雅普諾夫優(yōu)化原理給出了優(yōu)化的變軌策略，并結(jié)合仿真算例計(jì)算了該種策略控制律的數(shù)值解。在電推進(jìn)優(yōu)化轉(zhuǎn)移策略研究的基礎(chǔ)上，還分析了全電推進(jìn)平臺衛(wèi)星在不同推力下的變軌時間需求。文章的變軌策略可為電推進(jìn)系統(tǒng)在航天領(lǐng)域的應(yīng)用提供參考。

全電推進(jìn)；小推力；地球靜止軌道；軌道轉(zhuǎn)移

1 引言

從20世紀(jì)60年代至今，電推進(jìn)技術(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了原理樣機(jī)研制、在軌飛行驗(yàn)證、工程化應(yīng)用三個主要階段，隨著技術(shù)發(fā)展的深化和不斷的改進(jìn)優(yōu)化，電推進(jìn)技術(shù)已日趨成熟，并且在軌得到了廣泛應(yīng)用。當(dāng)前，電推進(jìn)技術(shù)在地球靜止軌道（GEO）衛(wèi)星中主要應(yīng)用于南北位置保持，這是由于電推進(jìn)推力較小的特點(diǎn)決定的。隨著電推進(jìn)技術(shù)的成熟，電推進(jìn)技術(shù)的應(yīng)用已逐漸從控制靜止軌道南北位置保持向完成整個軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)的方向轉(zhuǎn)變，這類應(yīng)用擁有著巨大的發(fā)展前景，能夠顯著節(jié)省衛(wèi)星攜帶的推進(jìn)劑的質(zhì)量，提高有效載荷比。然而但軌道轉(zhuǎn)移與在軌位置保持的要求不同，它對電推力器的能力提出了更高的要求。電推進(jìn)系統(tǒng)推力較小，一般在幾十毫牛到幾百毫牛之間，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于化學(xué)推進(jìn)的幾百牛，因此使用電推進(jìn)從地球同步轉(zhuǎn)移軌道（GTO）變軌至GEO的時間將長達(dá)數(shù)月，且變軌策略與采用大推力化學(xué)推進(jìn)系統(tǒng)相比也有很大區(qū)別［1-4］。

2012年3月，波音衛(wèi)星系統(tǒng)公司在一次商業(yè)通信衛(wèi)星競標(biāo)中推出了全球首款全電推進(jìn)平臺——BSS-702SP平臺，拉開了全電推進(jìn)衛(wèi)星研制的序幕。所謂全電推進(jìn)，即放棄化學(xué)推進(jìn)，只依靠電推進(jìn)系統(tǒng)完成所有的軌道機(jī)動。全電推進(jìn)平臺正在成為未來地球靜止軌道衛(wèi)星的一個發(fā)展方向。

本文主要研究GEO衛(wèi)星采用全電推進(jìn)平臺的變軌策略問題［5-7］，并以GEO衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)為例，分析電推進(jìn)系統(tǒng)進(jìn)行軌道轉(zhuǎn)移的能力，并給出給定控制解析解和優(yōu)化的軌道轉(zhuǎn)移兩種策略，為我國電推進(jìn)系統(tǒng)在航天領(lǐng)域的應(yīng)用研究提供參考。

2 軌道控制模型

由于電推進(jìn)系統(tǒng)提供的推力加速度位于10—3～10—5m/s2的量級，與航天器自身受到的攝動加速度處于同一量級，因此，可將電推進(jìn)加速度作為攝動加速度進(jìn)行處理。本文采用高斯攝動方程作為軌道控制模型［6］，形式如下:

式中:a為軌道半長軸；e為軌道偏心率；i為軌道傾角；Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)；ω為近地點(diǎn)幅角；M為平近點(diǎn)角；m為衛(wèi)星質(zhì)量；θ為真近點(diǎn)角；u=ω+θ，為緯度幅角；p=a（1—e2），為軌道半通徑；為軌道角動量大小；為衛(wèi)星地心距大??；fr，ft，fn分別為航天器徑向、橫向和法向控制加速度；T為發(fā)動機(jī)推力大??；Isp為發(fā)動機(jī)比沖；μ為地球引力常數(shù)。

定義控制推力角α為推力矢量在軌道面內(nèi)投影與航天器地心矢徑垂線方向的夾角，推力矢量指向徑向?yàn)檎?；定義控制推力角β為推力矢量與軌道面的夾角，推力矢量指向角動量方向?yàn)檎?，則fr，ft，fn可表示如下。

對于GTO—GEO變軌任務(wù)，衛(wèi)星的目標(biāo)軌道傾角和偏心率為零，但在工程中，可對目標(biāo)軌道偏心率和傾角作如下處理:

（1）當(dāng)偏心率e≤1×10—5時，認(rèn)為軌道偏心率到達(dá)目標(biāo)值零；

（2）當(dāng)傾角|i|≤1×10—5時，認(rèn)為傾角到達(dá)目標(biāo)值零。

由于電推進(jìn)加速度大小與地球J2項(xiàng)攝動加速度處于同一量級，因此，本文的軌道動力學(xué)模型引入地球J2攝動模型，J2項(xiàng)攝動加速度在徑向、橫向和法向的分量如下:

式中:常數(shù)J2取1 082.63×10—6；RE為地球赤道半徑，取6 378.14 km。如果需要考慮更多的攝動力，只需在式（1）右端增加更多的攝動項(xiàng)，不影響本文變軌策略的制定。

3 GEO衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)描述

本文針對采用全電推進(jìn)方式將衛(wèi)星由GTO向GEO轉(zhuǎn)移的任務(wù)進(jìn)行分析，給出不同軌道轉(zhuǎn)移策略所需的時間和推進(jìn)劑消耗。假設(shè)衛(wèi)星初始軌道（GTO）參數(shù)和目標(biāo)軌道（GEO）參數(shù)如表1所示。

表1 初始軌道和目標(biāo)軌道參數(shù)Table 1 Initial and target orbit elements

在固定推力情況下，變軌策略的制定，主要是選擇點(diǎn)火時間、每次點(diǎn)火時長及點(diǎn)火時的推力方向，不同的組合可以得到不同結(jié)果，對應(yīng)著不同的轉(zhuǎn)移時間和推進(jìn)劑消耗，可按任務(wù)需求選取其中推進(jìn)劑或轉(zhuǎn)移時間最優(yōu)的策略。GTO—GEO軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)只需要調(diào)整以下3個參數(shù):半長軸、偏心率和傾角，下面針對這3個參數(shù)的調(diào)整提供不同的策略。

4 軌道轉(zhuǎn)移策略

4.1 軌道轉(zhuǎn)移解析解策略

發(fā)動機(jī)推力可分解為軌道面內(nèi)和軌道法向2個分力，分別進(jìn)行軌道面內(nèi)調(diào)整和軌道面外調(diào)整，暫時忽略兩者之間的耦合，可以分別得到控制推力角的解析解，以此作為已知控制律的變軌策略。該策略由于采用解析解，可以方便星載計(jì)算機(jī)自動控制參考使用。

4.1.1 α角解析解

軌道面內(nèi)調(diào)整時，只改變GTO的近地點(diǎn)高度，而遠(yuǎn)地點(diǎn)高度不變，因此，應(yīng)選擇在軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)附近弧段進(jìn)行變軌。

變軌過程中，軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)高度Ra始終不變，即Ra=a（1+e）為常值，該等式兩邊微分，即0?？傻玫?/p>

將軌道控制模型公式（1）代入，可得發(fā)動機(jī)工作在真近點(diǎn)角θ時的控制推力角

以GTO為例，一個軌道周期內(nèi)，α角的取值變化情況如圖1所示。

計(jì)算過程中，當(dāng)軌道近地點(diǎn)高度到達(dá)目標(biāo)值之后，應(yīng)取衛(wèi)星徑向和橫向推力加速度為零，即fr=0，ft=0。

圖1 一個軌道周期內(nèi)α角的取值變化曲線Fig.1 Pitch steering over one period

4.1.2 β角解析解

軌道面外的轉(zhuǎn)移主要表現(xiàn)為傾角的調(diào)整，由軌道控制模型可知，傾角調(diào)整最有效的位置位于升交點(diǎn)或降交點(diǎn)處，即衛(wèi)星緯度幅角u=0或π時，取|β|=。當(dāng)時，傾角的調(diào)整效率為零，此時應(yīng)取|β|=0。

因此，控制推力角β可設(shè)計(jì)如下:

當(dāng)發(fā)動機(jī)全弧段工作時，一個軌道周期內(nèi)，β角的取值變化情況如圖2所示。

圖2 發(fā)動機(jī)全弧段工作時β角在一個軌道周期內(nèi)的取值變化曲線Fig.2 Yaw steering over one period for all thrusting arc

計(jì)算過程中，當(dāng)軌道傾角到達(dá)目標(biāo)值之后，應(yīng)取β=0，也就是fn=0。

4.1.3 變軌仿真計(jì)算結(jié)果

當(dāng)衛(wèi)星控制推力角α和β確定之后，衛(wèi)星徑向、橫向和法向的推力加速度可由式（2）得出。衛(wèi)星變軌過程如圖3所示，變軌過程為:在時發(fā)動機(jī)開機(jī)，在時發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)，φ表示發(fā)動機(jī)工作弧段的長度。

圖3 GTO—GEO控制示意圖Fig.3 Thrusting around apogee for GTO—GEO transfer

表2 給定解析解的變軌策略所需軌道轉(zhuǎn)移時間和推進(jìn)劑預(yù)算Table 2 Time and propellant budget for a given strategy GTO—GEO transfer

由表2可知，發(fā)動機(jī)工作弧段越長，所需的軌道轉(zhuǎn)移時間越短，但所需的推進(jìn)劑和速度增量越大。當(dāng)發(fā)動機(jī)全弧段工作時，即φ=2π時，軌道轉(zhuǎn)移時間最短，為417.21 d，但所需的推進(jìn)劑最多，為367.67 kg。在工程中，可根據(jù)任務(wù)時間和推進(jìn)劑需求情況，綜合選擇發(fā)動機(jī)工作弧段的長度。

以φ=2π為例，軌道半長軸、偏心率、傾角和軌道高度變化歷程如圖4所示。

圖4 變軌期間軌道參數(shù)變化歷程Fig.4 Element variation over the transfers for the given strategy GTO—GEO transfer

由圖4可知，采用該策略的變軌過程中，前期表現(xiàn)為軌道近地點(diǎn)高度和傾角的同時調(diào)整，待傾角到達(dá)目標(biāo)值后，只進(jìn)行近地點(diǎn)高度的調(diào)整。整個變軌過程，軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)高度不變，說明了近似解析解的正確性。

4.2 軌道轉(zhuǎn)移數(shù)值解析策略

4.1節(jié)給出了一種給定控制解析解的策略，所需最短變軌時間為417.21 d，對應(yīng)的推進(jìn)劑消耗為367.67 kg，為了進(jìn)一步減少軌道轉(zhuǎn)移時間，轉(zhuǎn)移軌道的優(yōu)化設(shè)計(jì)便顯得尤為重要。本節(jié)基于李雅普諾夫優(yōu)化原理進(jìn)行GTO—GEO轉(zhuǎn)移軌道的優(yōu)化設(shè)計(jì)分析，從而得到優(yōu)化的軌道控制律［8-9］。

在軌道轉(zhuǎn)移過程中，主要控制對象為:半長軸a、偏心率e和傾角i，通過控制推力角α和β的設(shè)計(jì)，可實(shí)現(xiàn)3個變量的單獨(dú)控制或耦合控制的目的，因此，控制推力角α和β可通過3個權(quán)重系數(shù)wa、we和wi來表征:

式中:X0和Xf分別為衛(wèi)星初始時刻和末端時刻的狀態(tài)。

不同的權(quán)重系數(shù)分配，衛(wèi)星完成由初始軌道向目標(biāo)軌道轉(zhuǎn)移所需的時間和推進(jìn)劑消耗也不同，因此，為了獲得時間最優(yōu)的電推進(jìn)轉(zhuǎn)移軌道，需對權(quán)重系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。當(dāng)已知探測器初始時刻t0的狀態(tài)時，對軌道控制模型（公式（1））積分，得到探測器在末端時刻tf的狀態(tài)因此，當(dāng)給定衛(wèi)星目標(biāo)軌道參數(shù)［afefif］T時，對應(yīng)的電推進(jìn)轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問題便轉(zhuǎn)為如下的非線性規(guī)劃問題。

通過優(yōu)化設(shè)計(jì)，GTO—GEO軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)所需的軌道轉(zhuǎn)移時間和推進(jìn)劑消耗情況見表3。

表3 優(yōu)化的電推進(jìn)軌道轉(zhuǎn)移時間和推進(jìn)劑預(yù)算Table 3 Time and propellant budget for optimal transfer strategy

由表3可知，整個轉(zhuǎn)移任務(wù)所需的總時間為338.88 d，推進(jìn)劑消耗298.44 kg，對應(yīng)的速度增量為2.66 km/s。相對于給定控制律的軌道轉(zhuǎn)移策略，軌道轉(zhuǎn)移時間減少了18%以上，推進(jìn)劑消耗量也實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化。可見，通過軌道轉(zhuǎn)移策略的優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了進(jìn)一步減少軌道轉(zhuǎn)移時間的目的。

為方便衛(wèi)星總體設(shè)計(jì)參考，表4給出了200 mN、600 mN和800 mN推力對應(yīng)的優(yōu)化轉(zhuǎn)移時間。由數(shù)據(jù)可知，當(dāng)發(fā)動機(jī)推力減小至200 mN時，衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移所需時間增至638 d，而當(dāng)推力分別增大至600 m N和800 m N時，軌道轉(zhuǎn)移所需時間分別減少至192 d和149 d?？梢姡谛l(wèi)星質(zhì)量固定的情況下，推力越大，軌道轉(zhuǎn)移所需時間也就越短。建議衛(wèi)星總體設(shè)計(jì)時綜合考慮衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移時間需求，以及衛(wèi)星質(zhì)量大小和推力大小約束。

圖5給出了軌道半長軸、偏心率、傾角和軌道高度的變化歷程，控制推力角隨軌道轉(zhuǎn)移時間的變化情況如圖6所示。

由圖5可知，采用優(yōu)化轉(zhuǎn)移策略，整個變軌期間都在進(jìn)行軌道半長軸、傾角和偏心率的調(diào)整，三者以單調(diào)遞增或遞減的方式同時到達(dá)目標(biāo)值。變軌期間軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)高度表現(xiàn)為先增后減。

表4 200 mN、600 mN和800 mN推力所需的優(yōu)化轉(zhuǎn)移時間Table 4 Time budget for optimal transfer strategy with 200mN，600mN and 800mN thrust

由圖6可知，軌道轉(zhuǎn)移初期，控制推力角α在0°附近變化，隨著軌道轉(zhuǎn)移時間的增加，變化范圍逐漸增大，在190 d左右，α角開始在［—180°，+180°］范圍內(nèi)變化，直到變軌完成；控制推力角β前期以負(fù)值為主，約為—50°。隨著軌道轉(zhuǎn)移時間的增加，β角變化范圍逐漸增大，并呈現(xiàn)正負(fù)值持續(xù)時間各為變化周期的一半的現(xiàn)象，在190 d左右，變化范圍達(dá)到最大，為［—90°，+90°］，隨后，變化范圍逐漸減小，當(dāng)軌道傾角到達(dá)目標(biāo)值后，β角為0°。

圖5 變軌期間軌道參數(shù)變化歷程Fig.5 Element variation during transfers for the optimal trajectory

圖6 優(yōu)化的控制推力角隨軌道轉(zhuǎn)移時間的變化情況（全過程及局部放大）Fig.6 Pitch and yaw steering over the transfers for the optimal trajectory

4.3 半數(shù)值半解析策略

優(yōu)化轉(zhuǎn)移策略是通過數(shù)值優(yōu)化的方法獲得軌道轉(zhuǎn)移控制律，所得結(jié)果較給定解析解的轉(zhuǎn)移策略節(jié)約轉(zhuǎn)移時間和推進(jìn)劑消耗，具有最優(yōu)的特性，但其計(jì)算量大，而且數(shù)值結(jié)果復(fù)雜，后續(xù)可根據(jù)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行控制推力角α和β的曲線擬合工作，從而獲得控制律的擬合公式，以便于星載計(jì)算機(jī)自動控制解算應(yīng)用。

5 結(jié)束語

針對GEO衛(wèi)星采用全電推進(jìn)平臺的變軌策略進(jìn)行了研究分析，給出了兩種軌道轉(zhuǎn)移策略，并對各策略的軌道控制律進(jìn)行了設(shè)計(jì)，其中給定控制解析解的軌道轉(zhuǎn)移策略，其控制律設(shè)計(jì)過程簡單，具有解析表達(dá)式，適用于項(xiàng)目論證階段電推進(jìn)系統(tǒng)能力的分析或者推進(jìn)劑約束較弱的軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)，而且方便星載計(jì)算機(jī)自動控制參考使用；而電推進(jìn)優(yōu)化轉(zhuǎn)移策略，具有軌道轉(zhuǎn)移時間和推進(jìn)劑消耗最優(yōu)的特性，但其控制律不具有解析表達(dá)式，需通過優(yōu)化獲得，設(shè)計(jì)過程復(fù)雜，可為電推進(jìn)系統(tǒng)在工程中的應(yīng)用提供依據(jù)。

本文研究表明，采用電推進(jìn)方式僅需要數(shù)百千克推進(jìn)劑即可完成GEO衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)，相對于傳統(tǒng)有限推力變軌方式而言，可以大量節(jié)省軌道轉(zhuǎn)移段的推進(jìn)劑消耗，但衛(wèi)星入軌時間也大幅度延長。對于本文給定的電推力器水平，優(yōu)化之后的軌道轉(zhuǎn)移策略所需時間長達(dá)百天之久，這對衛(wèi)星初始軌道需要重新定位，并對衛(wèi)星變軌期間的長期運(yùn)行管理和抗輻射等提出了新的技術(shù)挑戰(zhàn)。

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（編輯：張小琳）

Orbit Transfer Strategies for GEO Satellites Using All-electric Propulsion

TIAN Baiyi XUE Dan HUANG Meili
（Beijing Institute of Spacecraft System Engineering，Beijing 100094，China）

Based on the low-thrust orbit control model，orbit transfer strategies for GEO satellites that use all-electric propulsion from GTO to GEO are analysed in this paper.Firstly，the analytical strategy is investigated based on the fixed orbit apogee，and the analytical control law is given for this strategy.Secondly，the optimal transfer strategy is studied based on the Lyapunov feedback control law，and the numerical control law is given combined with an example.Besides，the transfer time required is evaluated for different thrust according to the optimal transfer strategy，which is helpful to providing advice for the application of electric propulsion in space exploration.

all-electric propulsion；low-thrust；GEO；orbit transfer

V474.3

A DOI：10.3969/j.issn.1673-8748.2015.02.002

2014-08-25；

2015-02-09

國家重大航天工程

田百義，男，工程師，從事航天器軌道設(shè)計(jì)工作。Email：tianbaiyi@163.com。