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        對一道常見習題解法的糾正

        2015-10-27 12:16:40劉遠輝
        物理教學探討 2015年9期
        關鍵詞:圓盤

        劉遠輝

        摘 ? 要:指出通常資料上對一道圓周運動中的臨界問題的錯誤解法,并通過嚴謹分析,給出正確完整的解法。

        關鍵詞:勻速圓周運動;圓盤;最大靜摩擦力;相對滑動

        中圖分類號:G633.7 文獻標識碼:A ? ?文章編號:1003-6148(2015)9-0040-2

        在很多教學資料中,常出現(xiàn)這樣一道題:如圖1所示,傾斜放置的圓盤繞著中軸勻速轉動,圓盤的傾角為37 °,在距轉動中心r=0.1 m處放一個小木塊,小木塊跟隨圓盤一起轉動,小木塊與圓盤間的動摩擦因數(shù)μ=0.8,假設木塊與圓盤的最大靜摩擦力與相同條件下的滑動摩擦力相同。若要保持小木塊不相對圓盤滑動,圓盤轉動的角速度最大不能超過( )

        A.2 rad/s ? ? ? B.8 rad/s

        C.?rad/s ? ? D.rad/s

        幾乎所有的資料都是給出類似如下的解答:

        “只要小木塊轉過最低點時不發(fā)生相對滑動就能始終不發(fā)生相對滑動,設其經(jīng)過最低點時所受靜摩擦力為f,由牛頓第二定律有f-mgsinθ=mrω2;為保證不發(fā)生相對滑動,需要滿足f≤μmgcosθ,聯(lián)立解得ω≤2 rad/s。故A正確,B、C、D錯誤?!?/p>

        上述解法的前提是:“只要小木塊轉過最低點時不發(fā)生相對滑動就能始終不發(fā)生相對滑動”,只要知道了這個前提,接下來的解答過程就簡單了,只要按照上述資料的解法就可以了。但是,這個前提是怎么來的呢?幾乎所有資料的解答都沒有給出。筆者認為,此題應從一般情況入手分析,才夠嚴謹。解答過程如下:

        解析:作沿轉軸方向的俯視圖,如圖2所示。

        過O點作圓周軌跡的水平直徑AOB。顯然,最易滑動的位置應在直徑AOB之下的半圓部分。在下半圓任意位置P,對小木塊受力分析如圖。其中,G1是小木塊重力沿斜面向下的分力,有G1=mgsin37 °。f1是小木塊所受靜摩擦力在圓半徑方向的分力,f2是小木塊所受靜摩擦力在圓切線方向的分力。二者的合力為小木塊實際所受靜摩擦力f(圖中未畫出)。

        因小木塊做勻速圓周運動,所以在切線方向上,應有:

        f2=G1cosθ(1)

        在半徑方向上,應有:

        f1-G1sinθ=mω2r (2)

        實際靜摩擦力可表示為:

        f=f+f(3)

        設最大靜摩擦力為fm,則應有:

        f2≤f(4)

        再結合(1)(2)(3)式,可得:

        (G1sinθ+mω2r)2+(G1cosθ)2≤f,

        其中,fm=μmgcos37 °。

        將所有已知數(shù)據(jù)代入后,并化簡可得方程:

        ω4+120sinθω2-496≤0

        或sinθ≤(5)

        依照題意,θ的取值范圍是0≤θ≤90 °,因而0≤sinθ≤1。欲使(5)式恒成立(即小木塊相對圓盤始終靜止),只需1≤,或ω4+120ω2-496≤0。

        此不等式的解為:0≤ω2≤4。

        所以,小木塊的角速度的取值范圍應該是:0≤ω≤2 rad/s。顯然角速度的最大值為2 rad/s,且此時對應的sinθ=1,即θ=90 °。也就是說,小木塊在最低點位置時最易滑動,且在ω=2 rad/s時開始滑動。本題選A,解畢。

        如果按照上述完整解法來解決此題,難度較大。但如果因為難度大,就忽略了對問題的嚴謹分析,而是粗略地認為最低點先達到最大靜摩擦力,顯然不利于培養(yǎng)學生嚴謹思考的習慣。所以筆者建議,在日常教學中,為學生選題要慎重,給學生留作業(yè)之前教師自己應該先做一遍。

        參考文獻:

        [1]物理課程教材研究開發(fā)中心 課程教材研究所·物理·必修2[M].北京:人民教育出版社,2010.

        [2]孫慧.物體做圓周運動的向心力[J].物理教學探討,2007,25(3):11-13,15.

        (欄目編輯 ?羅琬華)

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