沈輝

忽視三角函數(shù)值對角范圍的制約

例1 ?已知[sinα=55]，[sinβ=1010]，且[α]，[β]均為銳角，求[α+β]的值.

錯解 ?[∵α，β]均為銳角，

[∴cosα=1-sin2α=255，cosβ=1-sin2β=31010.]

[∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=22].

[∵α，β]均為銳角，即[0<α<π2]，[0<β<π2]，

[∴0<α+β<π].故[α+β=π4或3π4].

分析 ?本題錯解的原因是沒有注意題目中的條件對角范圍的限制.事實(shí)上，由題設(shè)中條件[sinα=55<12]，[sinβ=1010<12]，還可進(jìn)一步縮小[α，][β]的范圍，得到[α+β]的值惟一.

正解 ?由以上分析可知，[0<α<π6]，[0<β<π6]，[∴0<α+β<π3]. [∴α+β=π4].

點(diǎn)撥 ?在給值求角問題中，常常忽視角的范圍或不能發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值對角范圍的制約而擴(kuò)大角的范圍，出現(xiàn)增根不能排除的情況. 要避免這種情況發(fā)生，解題時要結(jié)合有關(guān)角的三角函數(shù)值把角的范圍盡可能地縮小. 同時，已知三角函數(shù)值求角，選函數(shù)時，要盡可能選擇在該角所在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的函數(shù).

忽視變換過程中對參數(shù)的討論

例2 ?化簡[cos（4n+14π+α）+cos（4n-14π-α）][（n∈Z）.]

錯解 ?[cos（4n+14π+α）+cos（4n-14π-α）]

[=cos（nπ+π4+α）+cos[nπ-（π4+α）]]

[=cos（π4+α）+cos[-（π4+α）]=2][cos（π4+α）.]

分析 ?造成錯解的原因是在應(yīng)用誘導(dǎo)公式變換時沒有對參數(shù)[n]進(jìn)行奇偶性討論.

正解 ?原式[=cos（nπ+π4+α）+cos[nπ-（π4+α）]].

當(dāng)[n]為偶數(shù)時，即[n=2k（k∈Z）]時，原式[=2cos（π4+α）.]

當(dāng)[n]為奇數(shù)時，即[n=2k+1（k∈Z）]時，

原式[=-2cos][（π4+α）.]

點(diǎn)撥 ?三角函數(shù)是周期函數(shù)，三角恒等變換中經(jīng)常涉及與自然數(shù)有關(guān)的周期性問題，而自然數(shù)不同的奇偶性會得到不同的結(jié)果. 因此，在含有參數(shù)的三角問題中，一定要注意對參數(shù)[n]的奇偶性的討論.

忽視三角函數(shù)值間的制約關(guān)系

例3 ?已知[sinx+siny=13，]求[siny-cos2x]的最大值.

錯解 ?由[sinx+siny=13]得 ，[siny=13-sinx]，

所以[siny-cos2x=13-sinx+sin2x-1]

[=（sinx-12）2-1112].

又[-1≤sinx≤1，]

[∴sinx=-1時，][（sinx-12）2-1112]取得最大值，即[siny-cos2x]取得最大值[43].

分析 ?上述解法雖然注意到了[sinx]的有界性，但卻沒有注意到當(dāng)[sinx=-1]時，會得到[siny=43>1]的矛盾，所以[sinx]肯定是取不到[-1]的，所以必須根據(jù)[-1≤siny≤1]進(jìn)一步確定[sinx]的取值范圍.

正解 ?[∵sinx+siny=13]，[∴siny=13-sinx].

由[-1≤siny≤1]得， [-1≤13-sinx≤1].

又[-1≤sinx≤1]， [∴-23≤sinx≤1].

[∴siny-cos2x=13-sinx+sin2x-1][=（sinx-12）2-1112.]

[∴sinx=-23時，][siny-cos2x]取得最大值[49].

點(diǎn)撥 ?在求解含[sinx，cosx]的多項(xiàng)式時，必須根據(jù)題設(shè)中給出的條件確定相關(guān)的取值范圍，全方位、多角度地考慮問題，不能盲目應(yīng)用正、余弦的有界性，忽視三角函數(shù)之間的制約作用.

忽視正、余弦函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系

例4 ?若[sinθ=m-3m+5，cosθ=4-2mm+5，][θ∈（π2，π）]，則[m]的值為（ ? ）

A. [m=8] ? ? B. [m<-5或m>3]

C. [3

錯解 ?[∵θ∈（π2，π）]，[∴0

即[0

解得[3

分析 ?錯解中忽略了[sin2θ+cos2θ=1]，而未解出[m].

正解 ?[∵θ∈（π2，π）]，

[∴0

即[0

又[sin2θ+cos2θ=1，]即[（m-3m+5）2+（4-2mm+5）2=1.]

綜合以上條件，解得[m=8].

答案 ?A

點(diǎn)撥 ?在解這類題時，不能獨(dú)立地考慮sin[θ]和[cosθ]的取值范圍，要注意到它們還有[sin2θ+cos2θ=1]這一內(nèi)在關(guān)系.

忽視三角變換中變形過程的等價性

例5 ?若[（1-cosθ1+cosθ-1+cosθ1-cosθ）sinθ2cosθ2（sinθ2-cosθ2）（sinθ2+cosθ2）=1]，則[θ]的取值范圍是 ? ? ? .

錯解 ?[∵1=（1-cosθ1+cosθ-1+cosθ1-cosθ）sinθ2cosθ2（sinθ2-cosθ2）（sinθ2+cosθ2）]

[=[（1-cosθ）21-cos2θ-（1+cosθ）21-cos2θ]?12sinθ-cosθ]

[=-2cosθsinθ?sinθ-2cosθ][=sinθsinθ]，

[∴sinθ>0.][∴θ]的取值范圍是[（2kπ，2kπ+π），k∈Z].

分析 ?上述解法的最后一個等式[-2cosθsinθ?sinθ-2cosθ=][sinθsinθ]是不等價轉(zhuǎn)化，等式左邊還有條件[cosθ≠0]，即[x≠2kπ+π2，k∈Z].

正解 ?由以上分析可知，[θ]的取值范圍是[（2kπ，2kπ+π2）?（2kπ+π2，2kπ+π），k∈Z].

點(diǎn)撥 ?在式子的變換過程中，一定要保證是恒等變換，即定義域和值域都要相同，特別是在乘以或除以一個式子時，要注意定義域的變化情況.

忽視挖掘題目中的隱含條件

例6 ?已知[A，B，C]是[△ABC]的內(nèi)角，且[cosA=35，][sinB=513]，試求[cosC]的值.

錯解 ?[∵cosA=35>0，][∴0

又[∵sinB=513，][∴cosB=±1213].

當(dāng)[cosB=1213]時，

[cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB][+sinAsinB=-1665.]

當(dāng)[cosB=-1213]時，[cosC=5665.]

分析 ?上述錯解的原因是忽視三角形中已知的邊角關(guān)系對角的制約，沒有對結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)厝∩?

正解 ?若[B∈π2，π，則π-B∈0，π2].

由[sinπ-B=sinB=513<45=sinA]得，

[π-Bπ，與A+B<π]矛盾.

故角[B]為銳角，從而[cosB=1213]，故[cosC=-1665].

點(diǎn)撥 ?在解與三角形有關(guān)的三角問題時，必須注意三角形中的邊角等量關(guān)系、邊角的不等關(guān)系及內(nèi)角和關(guān)系等對角范圍的制約，以免產(chǎn)生增解.