林 源,李連友

(1.湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙410082; 2.懷化學(xué)院經(jīng)濟(jì)系,湖南懷化418008)

中國(guó)商業(yè)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失度量實(shí)證研究

林 源1,2,李連友1

(1.湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙410082; 2.懷化學(xué)院經(jīng)濟(jì)系,湖南懷化418008)

應(yīng)用貝葉斯馬爾科夫鏈蒙特卡洛(MCMC)方法估計(jì)參數(shù),采用分段定義損失強(qiáng)度的損失分布法(PSD-LDA),測(cè)算了財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)潛在損失TailVaR、經(jīng)濟(jì)資本和純保費(fèi),并同超閾值(POT)方法、單一損失分布法等度量結(jié)果進(jìn)行了比較.研究發(fā)現(xiàn),財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失尾部風(fēng)險(xiǎn)很大,PSD-LDA方法度量財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失較為合理,為我國(guó)保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)和保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)管理決策提供理論依據(jù).

保險(xiǎn)欺詐;廣義Pareto分布;Gibbs抽樣;經(jīng)濟(jì)資本

1 引 言

中國(guó)保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)過30年多年的快速增長(zhǎng),已經(jīng)成為國(guó)民經(jīng)濟(jì)的一個(gè)重要支柱.2013年全年實(shí)現(xiàn)保費(fèi)收入1.72萬億元,同比增長(zhǎng)11.2%,比上年提高3.2個(gè)百分點(diǎn).其中,財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)保費(fèi)收入6 212億元,同比增長(zhǎng)16.5%1數(shù)據(jù)來源于中國(guó)保監(jiān)會(huì)網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),http://www.circ.gov.cn/web/site0/tab5201/..不過,隨著保險(xiǎn)業(yè)的快速發(fā)展,我國(guó)保險(xiǎn)欺詐案件不斷出現(xiàn).2012年3月以來,保險(xiǎn)欺詐報(bào)案1千余次,涉案金額1.6億多元;全國(guó)保險(xiǎn)詐騙立案1 300余件,破案近1 100起,處罰500余人.保險(xiǎn)欺詐已引起監(jiān)管部門的高度重視.《歐盟償付能力II》和《中國(guó)第二代償付能力監(jiān)管制度體系建設(shè)規(guī)劃》中明確要求建立以風(fēng)險(xiǎn)度量為基礎(chǔ)的償付能力監(jiān)管體制,并要求計(jì)算操作風(fēng)險(xiǎn)資本需求.2012年8月6日保監(jiān)會(huì)又發(fā)布了《關(guān)于加強(qiáng)反保險(xiǎn)欺詐工作的指導(dǎo)意見》,要求對(duì)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行計(jì)量.因此,研究我國(guó)商業(yè)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)度量問題非常必要.

保險(xiǎn)欺詐是指“保單持有人可能不如實(shí)報(bào)告他們損失的大小,或報(bào)告一個(gè)從未發(fā)生的事故;保單持有人簽訂保單時(shí),沒有如實(shí)告知相關(guān)信息也可能存在欺詐;或故意擴(kuò)大損失,以擴(kuò)大索賠.”[1]《歐盟償付能力II》指出,欺詐是保險(xiǎn)操作風(fēng)險(xiǎn)中的一種,包括內(nèi)部欺詐和外部欺詐.內(nèi)部欺詐主要指故意的不良行為(如雇員盜竊、虛構(gòu)索賠等),外部欺詐指未授權(quán)的交易活動(dòng)(如欺詐索賠、偽造索賠資料)等.我國(guó)保監(jiān)會(huì)指出,保險(xiǎn)欺詐是指利用或假借保險(xiǎn)合同謀取不法利益的行為[2].

目前學(xué)界對(duì)于保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)的度量研究還比較缺乏,保險(xiǎn)操作風(fēng)險(xiǎn)度量的研究仍然處于起步階段,主要借鑒銀行操作風(fēng)險(xiǎn)度量方法來研究.Tripp等[3]探討了極值理論(Extreme Value Theory)在非壽險(xiǎn)行業(yè)操作風(fēng)險(xiǎn)度量的應(yīng)用,認(rèn)為模型的參數(shù)估計(jì)非常關(guān)鍵.Dexter等[4]在Tripp等的研究基礎(chǔ)上,借鑒《巴塞爾II》,進(jìn)一步研究了損失分布法等方法在壽險(xiǎn)公司操作風(fēng)險(xiǎn)資本計(jì)量中的應(yīng)用,并構(gòu)建了操作風(fēng)險(xiǎn)資本評(píng)價(jià)框架.因數(shù)據(jù)缺乏,這些研究?jī)H是理論探討,缺乏實(shí)證分析.Paudel[5]采用損失分布法、貝葉斯方法度量保險(xiǎn)公司的操作風(fēng)險(xiǎn),并發(fā)現(xiàn)保險(xiǎn)操作風(fēng)險(xiǎn)的厚尾特征.Lambrigger等[6]在《巴塞爾II》和《歐盟償付能力II》的框架下,用貝葉斯方法計(jì)算保險(xiǎn)操作風(fēng)險(xiǎn)VaR和ES.Perez[7]根據(jù)《歐盟償付能力II》,應(yīng)用極值理論和VaR方法估算了西班牙兩家保險(xiǎn)公司汽車責(zé)任保險(xiǎn)償付能力資本要求.Bolance等[8]以VaR為工具,采用非參數(shù)方法度量汽車保險(xiǎn)外部欺詐損失.Morales等[9]用損失分布法和蒙特卡洛模擬法估算哥倫比亞保險(xiǎn)行業(yè)汽車欺詐風(fēng)險(xiǎn)(盜竊)損失VaR值及償付能力資本要求.另外,針對(duì)極值風(fēng)險(xiǎn)的度量,周孝華等[10]提出基于EVT-POT-SV-GED的動(dòng)態(tài)VaR模型.由于EVT存在只能測(cè)量低頻高損事件而忽略高頻低損事件損失的缺陷,為了測(cè)度全面的風(fēng)險(xiǎn)資本,King[11]應(yīng)用Delta-EVT法綜合測(cè)量高頻低損與低頻高損事件的損失VaR,有效彌補(bǔ)了GPD的缺陷.Li[12]采用PSD-LDA法度量銀行操作風(fēng)險(xiǎn)資本,與基本指標(biāo)法比較,發(fā)現(xiàn)PSD-LDA法較優(yōu).針對(duì)保險(xiǎn)巨額損失,王麗珍等[13]利用VaR等方法提出基于償付能力的最優(yōu)保險(xiǎn)策略.前述文獻(xiàn)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量的研究主要以VaR方法為主,而VaR方法不滿足風(fēng)險(xiǎn)度量一致性原則,而且未考慮超過VaR水平的尾部風(fēng)險(xiǎn)[14],因而存在一定的不足.目前國(guó)內(nèi)對(duì)保險(xiǎn)欺詐的定量研究主要集中在應(yīng)用信息經(jīng)濟(jì)學(xué)理論分析保險(xiǎn)欺詐行為[15,16],實(shí)證研究主要是利用數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)識(shí)別保險(xiǎn)欺詐索賠行為[17,18],尚未見到有關(guān)我國(guó)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)度量的研究.

本文在前述研究的基礎(chǔ)上,運(yùn)用分段定義損失強(qiáng)度分布的損失分布法(PSD-LDA)和滿足風(fēng)險(xiǎn)度量一致性原則的TailVaR(以下簡(jiǎn)稱TVaR)方法計(jì)量我國(guó)商業(yè)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)及其經(jīng)濟(jì)資本.考慮到樣本較小,引入基于Gibbs抽樣的Bayesian MCMC(Markov chain Monte Carlo)方法估計(jì)參數(shù).

2 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失度量模型

首先假定:欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失頻率和損失強(qiáng)度相互獨(dú)立;不同類型的欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失強(qiáng)度相互獨(dú)立,即高頻低損欺詐損失與低頻高損欺詐損失相互獨(dú)立.

2.1 損失頻率分布

在損失分布法中,通常假定操作風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生頻率服從Poisson分布、負(fù)二項(xiàng)分布或二項(xiàng)分布.由于不同的損失強(qiáng)度分布導(dǎo)致?lián)p失值產(chǎn)生較大差異,而不同損失頻率分布對(duì)損失值的影響無顯著差異[19].因此,假定財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失事件發(fā)生頻率服從Poisson分布.

如果每年欺詐風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生次數(shù)N服從Poisson分布,則有Pr(N=n)=e?λλn/n!.其中λ可以通過每年發(fā)生次數(shù)的均值估計(jì).Leadbetter等[20]證明,對(duì)于足夠大的閾值u,超額數(shù)X序列逐漸收斂于一個(gè)強(qiáng)度為λu(λu>0)的泊松過程.因此假定高頻低損的欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失頻率服從Po(λ1),低頻高損欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失頻率服從Po(λ2),那么每年欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失頻率服從Po(λ1+λ2),即有

參數(shù)λ1、λ2可以分別通過閾值u之下和之上每年發(fā)生欺詐次數(shù)的均值獲得.

2.2 損失強(qiáng)度分布

財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失具有“高頻低損”和“低頻高損”的特征(見第3部分),因此采用兩階段分布模型擬合.即在選取合適的閾值后,閾值右側(cè)的低頻高損數(shù)據(jù)用廣義Pareto分布(GPD)擬合,閾值左側(cè)的高頻低損數(shù)據(jù)用對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合.于是財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失分布為

其中對(duì)數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)為

廣義Pareto分布密度函數(shù)為

其分布函數(shù)為

這里y=x?u,β>0為尺度參數(shù).當(dāng)ξ>0時(shí),y>0;當(dāng)ξ<0時(shí),06y6?β/ξ.ξ為形狀參數(shù),當(dāng)ξ>0時(shí),GPD是厚尾的;ξ=0時(shí),為指數(shù)分布;ξ<0時(shí)為薄尾型的Pareto分布.

在式(2)中,閾值u的選取非常關(guān)鍵.選取過高,會(huì)導(dǎo)致超額數(shù)據(jù)過少,參數(shù)估計(jì)的方差很大;選取過低,則不能保證超額分布收斂,導(dǎo)致估計(jì)產(chǎn)生較大偏差.閾值u的選取采用超額均值函數(shù)(mean excess function, MEF)方法.

對(duì)于給定的樣本,樣本超額均值函數(shù)的定義為

其中Nu表示超過閾值的樣本個(gè)數(shù).當(dāng)閾值充分大時(shí),點(diǎn)(u,e(u))構(gòu)成的曲線e(u)近似線性.當(dāng)x>u時(shí), e(u)斜率為正,說明數(shù)據(jù)遵循形狀參數(shù)為正的GPD.據(jù)此選取恰當(dāng)?shù)拈撝?使得當(dāng)x>u時(shí),為近似線性函數(shù)且向上傾斜,說明數(shù)據(jù)遵循厚尾的GPD.

閾值選取后,對(duì)于閾值之上的低頻高損數(shù)據(jù),用廣義Pareto分布擬合.為解決低頻高損數(shù)據(jù)不足帶來的誤差,使用基于Gibbs抽樣的貝葉斯MCMC方法估計(jì)GPD的參數(shù)(見文獻(xiàn)[21]),本文采用Openbugs軟件計(jì)算.因高頻低損部分樣本數(shù)據(jù)相對(duì)較多,故對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)采用極大似然方法.

2.3 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失的純保費(fèi)估計(jì)

理論上,純保費(fèi)等于期望年索賠額.設(shè)SN為某個(gè)時(shí)期內(nèi)(年)總欺詐索賠額,N是該期內(nèi)的欺詐索賠次數(shù),Xi表示第i次欺詐索賠額,N,X1,X2,...,XN是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且X1,X2,...,XN具有相同分布,則有

于是,財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失純保費(fèi)為

即保險(xiǎn)欺詐損失純保費(fèi)等于年欺詐索賠次數(shù)的均值和欺詐索賠額均值的乘積.結(jié)合式(1)和式(2),有

2.4 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失度量

采用PSD-LDA方法度量財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失.在得到財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失頻率和損失強(qiáng)度分布函數(shù)后,總損失分布通過蒙特卡洛模擬實(shí)現(xiàn),具體步驟見文獻(xiàn)[22].本文采用Matlab R2012b計(jì)算,模擬10 000次,得到各置信水平下的VaR、TVaR估計(jì)值,取其估計(jì)值的10次均值作為最終估計(jì)結(jié)果.

另外,根據(jù)PSD-LDA方法計(jì)算得到VaR、TVaR估計(jì)值后,可將其與極值理論的POT模型等的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.根據(jù)文獻(xiàn)[23],設(shè)X為一隨機(jī)損失變量,u為一閾值(一般較大),則超額損失X?u近似服從廣義帕累托分布.給定置信水平α,于是有

《歐盟償付能力II》建議用置信水平99.5%、時(shí)間周期為1年的VaR值來計(jì)量保險(xiǎn)操作風(fēng)險(xiǎn)償付能力資本要求(SCR).考慮到VaR的不足及“欺詐暗數(shù)”的存在,為了穩(wěn)健,選取置信水平99.9%、時(shí)間周期為1年的TVaR值來計(jì)提財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)資本.

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)描述分析

目前國(guó)內(nèi)還沒有保險(xiǎn)欺詐損失數(shù)據(jù)庫,因此,從“中國(guó)保險(xiǎn)網(wǎng)”等媒體公開報(bào)道中收集保險(xiǎn)欺詐損失事件1見:中國(guó)保險(xiǎn)網(wǎng)-保險(xiǎn)案例-保險(xiǎn)與欺詐,http://www.china-insurance.com/case/..按照欺詐(案發(fā))時(shí)間、涉案險(xiǎn)種、損失金額、欺詐主體及類型等內(nèi)容進(jìn)行整理,得到1989–2012年間財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失數(shù)據(jù)178個(gè).通過對(duì)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,可以了解目前我國(guó)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐現(xiàn)狀:

1)從涉案險(xiǎn)種來看:機(jī)動(dòng)車保險(xiǎn)占74.3%,貨運(yùn)險(xiǎn)、企財(cái)險(xiǎn)和責(zé)任險(xiǎn)等占25.7%;

2)從欺詐類型來看:隱瞞標(biāo)的信息占4.3%,夸大損失占4.8%,虛構(gòu)保險(xiǎn)事故占37.1%,故意制造保險(xiǎn)事故占47.0%.可見,財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐以故意制造保險(xiǎn)事故和虛構(gòu)保險(xiǎn)事故為主;

3)從欺詐主體來看:投保方欺詐占51.6%,團(tuán)伙職業(yè)性欺詐占34.8%,內(nèi)部職員欺詐占10.1%;

4)從損失結(jié)果來看:車損險(xiǎn)欺詐導(dǎo)致財(cái)險(xiǎn)欺詐損失55.7%,企財(cái)險(xiǎn)、貨運(yùn)險(xiǎn)和責(zé)任險(xiǎn)等共占44.3%.外部欺詐導(dǎo)致?lián)p失占84.5%(其中團(tuán)伙職業(yè)性欺詐占63%(主要針對(duì)車損險(xiǎn)),投保方欺詐占21.5%),內(nèi)部欺詐(職員及代理人)致?lián)p15.5%.可見,財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失主要是外部欺詐造成;

5)損失數(shù)據(jù)的特征:受保險(xiǎn)金額的限制,每次欺詐造成的損失有限,欺詐呈現(xiàn)“低損失”的特點(diǎn).由于職業(yè)性欺詐團(tuán)伙通過故意制造或虛構(gòu)大量保險(xiǎn)事故騙取保險(xiǎn)金,欺詐次數(shù)具有“高頻”特點(diǎn),因此保險(xiǎn)欺詐損失

具有“高頻低損”特征.另外,和保險(xiǎn)相關(guān)的假機(jī)構(gòu)、假保單、假賠案、貪污保費(fèi)或退保費(fèi)以及利用保險(xiǎn)單證進(jìn)行合同詐騙、非法集資等保險(xiǎn)欺詐行為,由于脫離了保險(xiǎn)公司核保、理賠環(huán)節(jié)的控管,不受保險(xiǎn)金額的限制,盡管相對(duì)于前一種情況這些欺詐行為發(fā)生頻率很低,但其造成的損失相當(dāng)嚴(yán)重,損害巨大,因此財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐又呈現(xiàn)“低頻高損”的特征.

考慮到1989–2000年間欺詐損失數(shù)據(jù)較少(損失數(shù)據(jù)11個(gè),共損失986.8萬元),因此,應(yīng)用模型分析時(shí)主要采用2001–2012年的數(shù)據(jù)共167個(gè).財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失數(shù)據(jù)及強(qiáng)度描述見表1、表2.

圖1 欺詐損失金額直方圖Fig.1 Histogram of fraud loss

圖2 Q-Q圖Fig.2 Q-Q fgure

表1 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失數(shù)據(jù)1為了簡(jiǎn)化,沒有考慮通貨膨脹等因素,即未對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行折算,以當(dāng)年報(bào)道的實(shí)際發(fā)生的金額為準(zhǔn).Table 1 Property insurance fraud loss data

表2 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失強(qiáng)度描述Table 2 Property insurance fraud losses severity description

由表2,偏度系數(shù)遠(yuǎn)大于0,峰度系數(shù)遠(yuǎn)大于3.可以初步判斷,財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失分布為尖峰厚尾分布.圖1給出了損失金額直方圖,圖2是經(jīng)驗(yàn)分布指數(shù)QQ圖.從圖1和圖2可看出損失數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重的厚尾現(xiàn)象.

表3 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失強(qiáng)度分布擬合(顯著性水平5%)Table 3 Property insurance fraud losses severity distribution ftting

遵循一般方法,用Lognormal、Weibull、Gamma、Exponential、廣義Pareto等分布直接擬合財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失數(shù)據(jù),參數(shù)估計(jì)都采用極大似然方法,并用KS法對(duì)擬合效果進(jìn)行檢驗(yàn)(見表3).

圖3 超額均值函數(shù)圖Fig.3 Mean Excess Function fgure

圖4 Hill圖Fig.4 Hill fgure

由表3可知,K-S檢驗(yàn)拒絕了數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布的假設(shè),只有廣義帕累托分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的擬合通過檢驗(yàn).因此,采用分段定義來擬合欺詐損失分布,即用對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合高頻低損數(shù)據(jù),GPD擬合低頻高損數(shù)據(jù).

3.2 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失分布的擬合

首先,根據(jù)超額均值函數(shù)圖結(jié)合Hill圖來選取閾值.

從超額均值函數(shù)圖(圖3)可以看出,閾值在75以后圖形近似線性并向上傾斜;Hill圖(圖4)顯示在超額數(shù)27附近時(shí)Hill圖開始穩(wěn)定.結(jié)合來看,選擇閾值u=75,對(duì)應(yīng)超額數(shù)為27個(gè).

其次,估計(jì)參數(shù)并檢驗(yàn).給定閾值,用基于Gibbs抽樣的貝葉斯MCMC模擬法得到GPD參數(shù)估計(jì),結(jié)果見表4.表4中還給出其他閾值及極大似然法參數(shù)估計(jì)(MLE)結(jié)果以進(jìn)行比較.

表4 GPD參數(shù)估計(jì)1說明:使用Openbugs軟件進(jìn)行10萬次迭代,濾去前2萬次,將剩下的8萬次作為目標(biāo)后驗(yàn)分布的樣本,得到參數(shù)估計(jì)值.Table 4 GPD parameter estimation

由表4可知:第一,Bayes方法和MLE方法得到的參數(shù)估計(jì)值比較接近,但略大于MLE方法的結(jié)果,標(biāo)準(zhǔn)差也較大.這是由于Bayes方法中把參數(shù)看成了隨機(jī)變量,增加了模型的不確定性的結(jié)果,因而更加符合實(shí)際情況[24];第二,當(dāng)超額數(shù)小于5個(gè)時(shí),形狀參數(shù)的MLE估計(jì)值變?yōu)樨?fù)數(shù),已經(jīng)背離了厚尾特性.說明在小樣本的情況下,貝葉斯MCMC方法的估計(jì)結(jié)果明顯優(yōu)于MLE方法,因此選用貝葉斯方法估計(jì)GPD參數(shù).

在得到GPD參數(shù)估計(jì)值后,對(duì)閾值u=62,u=75,u=80對(duì)應(yīng)的低頻高損數(shù)據(jù)是否服從廣義Pareto分布進(jìn)行KS檢驗(yàn),檢驗(yàn)的P值分別為0.086 0,0.086 6,0.080 7,均大于0.05,其中u=75對(duì)應(yīng)的P值0.086 6最大.綜合考慮,選取u=75(對(duì)應(yīng)超額數(shù)Nu=27)作為閾值.此時(shí),超額數(shù)個(gè)數(shù)占樣本總數(shù)的16.2%左右,滿足閾值選取對(duì)應(yīng)超額數(shù)占樣本總數(shù)10%左右的要求[25].

另外,u=75時(shí),從其GPD擬合圖(圖5)、殘差的指數(shù)QQ圖(圖6)看,擬合的效果較好,進(jìn)一步驗(yàn)證了閾值選取的正確性.

圖5 GPD分布擬合圖Fig.5 Generalized Pareto distribution ftting fgure

圖6 殘差指數(shù)Q-Q圖Fig.6 Residuals Index Q-Q fgure

圖7 欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失擬合分布圖Fig.7 Fraud loss distribution ftting fgure

圖8 Q-Q圖Fig.8 Q-Q fgure

最后,擬合高頻低損分布函數(shù).針對(duì)高頻低損序列,即閾值左側(cè)x675的140個(gè)樣本數(shù)據(jù),用指數(shù)分布、伽馬分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、Weibull分布等進(jìn)行擬合,擬合分布見圖7,擬合檢驗(yàn)結(jié)果見表5.

表5 擬合分布K-S檢驗(yàn)結(jié)果Table 5 Results of K-S test of Fitting distributions

由表5可知,對(duì)數(shù)正態(tài)分布的擬合效果最優(yōu)(p=0.323 3).圖8Q-Q圖（已取對(duì)數(shù)）顯示對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合效果較好.因此,選擇對(duì)數(shù)正態(tài)分布近似概率分布函數(shù).由MLE法可得其參數(shù)μ=2.175 0,σ=1.213 4.

另外,給出了不同閾值對(duì)應(yīng)的PSD-LDA模型的參數(shù)估計(jì)(見表6).

3.3 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失純保費(fèi)估計(jì)

u=75時(shí),把表6中相關(guān)參數(shù)代入式(3)，可得保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失的純保費(fèi)為E(SN)=7 028萬元.事實(shí)上,由于“欺詐暗數(shù)”的存在,實(shí)際的欺詐損失純保費(fèi)值肯定高于該數(shù)值.Caron和Dionne[26]研究證實(shí)“保險(xiǎn)人能發(fā)現(xiàn)的欺詐比例僅為三分之一”.可見,欺詐提高了保險(xiǎn)產(chǎn)品的價(jià)格.

3.4 財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失度量及經(jīng)濟(jì)資本的測(cè)定

u=75時(shí),根據(jù)PSD-LDA方法和蒙特卡洛模擬步驟得到估計(jì)結(jié)果(見表7).把表6中相關(guān)參數(shù)分別代入式(4)和式(5),可得POT極值法估計(jì)的結(jié)果(表7).表7還給出了損失分布法中運(yùn)用單一對(duì)數(shù)正態(tài)分布和單一GPD分布擬合損失強(qiáng)度的估計(jì)結(jié)果.表8給出了閾值u=62,80時(shí)PSD-LDA模型的度量結(jié)果.

表6 兩階段損失序列參數(shù)估計(jì)(n=167)Table 6 Parameter estimation of PSD-LAD(n=167)

表7 不同度量方法下欺詐損失的VaR值與TVaR值(萬元)Table 7 VaR value and TVaR value of fraud losses under different measurement methods

表8 貝葉斯估計(jì)下不同閾值的度量結(jié)果(萬元)Table 8 Measurement results under different thresholds by Bayesian estimation

由表7可知:1)根據(jù)PSD-LDA方法的度量結(jié)果,給定置信水平99.5%,我國(guó)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)在1年內(nèi)欺詐風(fēng)險(xiǎn)最大損失值VaR為4.131 7億元,損失超過該VaR值后的平均潛在損失為17.027 9億元.給定置信水平99.9%,在1年內(nèi)欺詐風(fēng)險(xiǎn)最大損失值為18.948 1億元,損失超過18.948 1億元后的平均潛在損失為52.426 3億元;2)相同方法、同一置信水平下的TVaR值遠(yuǎn)大于VaR值,高置信水平(99.9%)下的TVaR值、VaR值明顯高于低置信水平下(95%)下的TVaR值、VaR值,說明財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失尾部風(fēng)險(xiǎn)很大;3)不同方法度量結(jié)果不同,比較而言,PSD-LDA方法最優(yōu).POT模型在置信水平較低時(shí),相應(yīng)的VaR、TVaR較低,如VaR95=313.2,TVaR95=9 545.8;當(dāng)置信水平較高時(shí),VaR,TVaR顯著增高,如VaR99.9=15 197,TVaR99.9=415 090,表明POT模型只適用于度量尾部風(fēng)險(xiǎn).另外,POT模型僅對(duì)少量超閾值數(shù)據(jù)擬合,造成大量的數(shù)據(jù)浪費(fèi),從而丟失許多有用的信息.單一對(duì)數(shù)正態(tài)分布法各置信水平下TVaR值、VaR值相差不大,在高置信水平下低估了欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失,如TVaR99.9僅為14 131,與其他三種方法計(jì)算結(jié)果相差甚遠(yuǎn).該法對(duì)擬合樣本數(shù)據(jù)主體較好,但不能捕獲欺詐風(fēng)險(xiǎn)厚尾特點(diǎn),對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)較低.單一GPD損失分布法,各置信水平下的TVaR值(如TVaR99.9=515 791.4)與PSD-LDA方法(如TVaR99.9=524 262.9)非常接近,不過該法估計(jì)的置信水平95%和99%的VaR值很低,如VaR95值僅為620,VaR99=2 890.該法對(duì)尾部估計(jì)較好,對(duì)樣本數(shù)據(jù)的主體部分?jǐn)M合效果較差.可見,在對(duì)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失的度量中,如果僅采用單一的傳統(tǒng)損失分布法或單一的POT極值法,對(duì)損失分布的主體和尾部特征的捕捉會(huì)顧此失彼.PSD-LDA結(jié)合了對(duì)數(shù)正態(tài)分布和GPD分布的優(yōu)點(diǎn),并且是針對(duì)全部樣本數(shù)據(jù)建模,同時(shí)考慮“低頻高損”與“高頻低損”風(fēng)險(xiǎn),因而既能對(duì)損失數(shù)據(jù)主體有較好的擬合,又能很好地描述分布的厚尾特點(diǎn),這可從表7中PSD-LDA方法度量的各置信水平下的TVaR和VaR值的結(jié)果得到反映.圖9給出了表7中各種分布對(duì)原始數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)分布的擬合情況,由圖9可知,PSD-LDA方法對(duì)原始數(shù)據(jù)擬合最好.因此,采用PSD-LDA法對(duì)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失進(jìn)行度量較其他方法更為合理精確.

另外,由表8可知,閾值選擇不同對(duì)經(jīng)濟(jì)資本(TVaR99.9)的估計(jì)有一定影響.比如,閾值從62萬元到75萬元變化了21%,但欺詐風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)資本變化了13.4%,閾值從75萬元到80萬元變化了6.7%,但欺詐風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)資本變化了23.2%.因此,閾值的選擇應(yīng)當(dāng)慎重.

采用置信水平為99.9%、時(shí)間為一年的TVaR值計(jì)提財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)資本.假定財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)公司對(duì)欺詐風(fēng)險(xiǎn)預(yù)期損失通過純保費(fèi)的方式在定價(jià)中已經(jīng)體現(xiàn),根據(jù)PSD-LDA方法,整個(gè)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)行業(yè)需要計(jì)提的欺詐風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)資本EC=TVaR99.9?E(SN)=51.723 5億元,能抵御千年一遇的巨額財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn).2011年底,我國(guó)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)業(yè)總資產(chǎn)7 917.4億元,因此需計(jì)提6.53‰的經(jīng)濟(jì)資本以抵御欺詐風(fēng)險(xiǎn). 2004?2012年,財(cái)險(xiǎn)年均保費(fèi)收入2 871.941 9億元,其中機(jī)動(dòng)車保費(fèi)收入1 820.34億元,占63.4%,因此欺詐風(fēng)險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)資本占年均保費(fèi)收入的18‰,占機(jī)動(dòng)車保費(fèi)收入28.4‰.可見欺詐風(fēng)險(xiǎn)比較嚴(yán)重.

圖9 不同度量方法對(duì)經(jīng)驗(yàn)分布的擬合效果Fig.9 Different metrics ftting effect on the empirical distribution fgure

4 結(jié)束語

本文采用PSD-LDA方法，通過Monte Carlo模擬得到財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐損失VaR和TVaR值,并測(cè)算了其經(jīng)濟(jì)資本和損失純保費(fèi).研究結(jié)果表明:1)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)年欺詐純保費(fèi)為7 028萬元,欺詐提高了保險(xiǎn)產(chǎn)品價(jià)格;保險(xiǎn)行業(yè)為應(yīng)對(duì)欺詐風(fēng)險(xiǎn),必須計(jì)提經(jīng)濟(jì)資本達(dá)52億元,占總資產(chǎn)的6.53‰,占年均保費(fèi)收入的18‰,嚴(yán)重影響了保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)效率.因此,應(yīng)加大對(duì)保險(xiǎn)欺詐的防范與打擊力度;2)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)損失具有嚴(yán)重的厚尾分布,尾部損失的風(fēng)險(xiǎn)很大,因此應(yīng)重點(diǎn)防范尾部風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生;3)PSD-LDA方法克服了單一損失分布法或單獨(dú)使用POT方法度量欺詐風(fēng)險(xiǎn)的缺陷,既能對(duì)損失主體有較好的擬合,又能對(duì)分布的“厚尾”特點(diǎn)給以很好的描述,因此采用這種方法度量欺詐風(fēng)險(xiǎn)比較合理.研究結(jié)果對(duì)于我國(guó)建立商業(yè)保險(xiǎn)欺詐風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備金制度、逐步建立以經(jīng)濟(jì)資本為核心的欺詐風(fēng)險(xiǎn)管理體系、欺詐風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)測(cè)預(yù)警機(jī)制以及完善保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)機(jī)制具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

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Empirical study of measuring property insurance fraud loss in China

Lin Yuan1,2,Li Lianyou1
(1.School of Finance and Statistics,Hunan University,Changsha 410082,China; 2.Huaihua University,Huaihua 418008,China)

Based on Bayesian Markov chain Monte Carlo(MCMC)method to estimate parameters,this paper proposes a loss distribution approach based on piecewise-defned severity distribution(PSD-LDA)to calculate the potential losses Tail VaR of property insurance fraud risk,its economic capital,and net premiums.We compare the results derived with other methods such as peaks over threshold(POT)method and single loss distribution approach.Empirical results show that property insurance fraud losses have fat tail risks,and the PSD-LDA model is more rational in measuring its fraud risk,which can provide a theoretical basis for the pricing of insurance products and the decisions of insurance fraud risk management.

insurance fraud;generalized Pareto distribution;Gibbs sampling;economical capital

G22;G32

A

1000?5781(2015)04?0509?10

10.13383/j.cnki.jse.2015.04.008

2013?11?22;

2014?06?16.

國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(12BGL091);教育部人文社科基金一般資助項(xiàng)目(12YJAZH069);湖南省軟科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013ZK3049).

林 源(1968—),男,湖南沅陵人,博士,副教授,研究方向:風(fēng)險(xiǎn)管理與保險(xiǎn),E-mail:linyuan0011@126.com;

李連友(1965—),男,湖南安鄉(xiāng)人,博士,教授,研究方向:風(fēng)險(xiǎn)管理與保險(xiǎn),E-mail:pkuyoully@263.net.