張 超， 袁宏俊

(安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030)

受Bates與Granger上世紀60年代第一次系統(tǒng)性的探究組合預(yù)測方法［1］的影響，組合預(yù)測方法的應(yīng)用得到眾多相關(guān)學(xué)者的青睞，并取得了豐碩的研究成果［1-6］。但是大部分組合預(yù)測的方法都是局限于單點序列的預(yù)測，而在區(qū)間數(shù)組合預(yù)測方面較為少見。然而從實際考慮，很多數(shù)據(jù)通常以區(qū)間數(shù)的形式表現(xiàn)出來會顯得更為合理，因此將這些區(qū)間數(shù)進行組合預(yù)測具有重要的研究意義和價值。

關(guān)于區(qū)間數(shù)的組合預(yù)測研究是一個龐大的課題，不同研究者存在不同的研究角度。文獻［7-9］的方法只局限于離散區(qū)間數(shù)據(jù)的組合預(yù)測，而對于連續(xù)區(qū)間數(shù)據(jù)的預(yù)測并不適用，因此Yager于2004年通過一個態(tài)度參數(shù)將區(qū)間值集結(jié)成一個實數(shù)，構(gòu)造出連續(xù)區(qū)間數(shù)有序加權(quán)平均(C-OWA)算子［10］;文獻［11］把 C-OWA算子拓展為 WC-OWA算子、OWC-OWA算子以及CC-OWA算子;文獻［12］綜合C-OWA算子與OWGA算子構(gòu)造連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)幾何平均(C-OWGA)算子;文獻［13］提供了連續(xù)區(qū)間數(shù)廣義有序加權(quán)平均(C-GOWA)算子;文獻［14］結(jié)合 IOWA算子與 C-GOWA算子構(gòu)造出IOWC-GOWA算子;文獻［15］綜合IOWA算子和C-OWA算子，構(gòu)造出一種誘導(dǎo)連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)平均(IC-OWA)算子;文獻［16］綜合C-OWA算子與OWHA算子構(gòu)造出連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)調(diào)和平均(C-OWHA)算子，并在此基礎(chǔ)上提出了加權(quán)調(diào)和的C-OWHA(WHC-OWHA)算子、有序加權(quán)調(diào)和的C-OWHA(OWHC-OWHA)算子和組合的C-OWHA(CC-OWHA)算子。

受上述研究成果啟發(fā)，文中將IGOWA算子與C-OWHA算子加以綜合，構(gòu)造出一種誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)的C-OWHA(IGOWC-OWHA)算子，并研究其部分性質(zhì)。選取改進的Theil不等系數(shù)作為相關(guān)性指標，建立新型組合預(yù)測模型，最后通過算例分析證實該方法在提高預(yù)測精度方面具有顯著效果。

1 基本定義

定義1［4］假設(shè)fw:Rn→R為n元函數(shù)，倘若

定義2［16］設(shè)［a，b］為區(qū)間數(shù)，稱

為連續(xù)區(qū)間數(shù)有序加權(quán)調(diào)和平均(C-OWHA)算子，其中Q(y):［0，1］→［0，1］為基本的單位區(qū)間單調(diào)(BUM)函數(shù)且滿足:Q(0)=0;Q(1)=1;當y1＞y2時，有Q(y1)≥Q(y2)。

定義3［16］給定基本單位區(qū)間單調(diào)(BUM)函數(shù)Q(y)，記

的態(tài)度參數(shù)。

由定義3及式(2)可得

定義4［6］假設(shè)〈v1，a1〉，〈v2，a2〉，…，〈vn，an〉為 n個二維數(shù)組，令

2 IGOWC-OWHA算子及其性質(zhì)

盡管C-OWHA可以集結(jié)連續(xù)的區(qū)間數(shù)，可是C-OWHA算子僅局限于解決單一區(qū)間數(shù)據(jù)的集結(jié)問題，如果想要集結(jié)更多區(qū)間數(shù)據(jù)的信息，還需對C-OWHA算子予以擴展。

定義5 假定［ai，bi］是一組區(qū)間數(shù)，〈v1，［a1，b1］〉，〈v2，［a2，b2］〉，…，〈vn，［an，bn］〉是二維數(shù)組，設(shè) g:Ω+→ R+，若

IGOWC-OWHA算子的特點在于:首先運用定義2中的C-OWHA算子集結(jié)每個區(qū)間［ai，bi］的全部數(shù)據(jù)，再將集結(jié)后的全部數(shù)據(jù)運用定義4的IGOWA算子集結(jié)。根據(jù)定義5不難證明以下性質(zhì)［16］。由于篇幅有限，文章僅給出單調(diào)性證明過程。

定理1(單調(diào)性)對于任意的 i=1，…，n，若有ai≥a'i，bi≥ b'i則

證將式(5)兩側(cè)取以ex為底的對數(shù)，得

兩側(cè)對av-index(i)分別求導(dǎo)得

在上式中，由于

則

所以函數(shù)g關(guān)于av-index(i)單調(diào)遞增。同理可得，函數(shù)g亦關(guān)于bv-index(i)單調(diào)遞增。

由命題假設(shè)可知，ai≥ a'i，bi≥ b'i，得

又函數(shù)g均關(guān)于av-index(i)和bv-index(i)單調(diào)遞增，故

即

所以命題得證。

定理2(冪等性)對于任意的 i=1，…，n，若有［ai，bi］ = ［a，b］，則

定理3(介值性)若［ai，bi］(i=1，2，…，n)是任一區(qū)間數(shù)組，且0＜ai＜bi，則存在

定理4(置換不變性)設(shè) π =(π(1)，π(2)，…，π(n))是(1，…，n)的任一置換，得到

3 基于改進的Theil不等系數(shù)的IGOWC-OWHA算子的區(qū)間組合預(yù)測模型

設(shè)某一區(qū)間時序的觀測值為xt=［at，bi］(t=1，2，…，N)，同時 xt也可等價表示成 xi= ［ct，ri］(t=1，2，…，N)，其中

分別記作區(qū)間數(shù)xt的中心與半徑，假定用于預(yù)測的單項方法有m種，且它們都應(yīng)用到組合預(yù)測當中，設(shè)第i種方法在第t時點的單項預(yù)測值為=，)，同樣也可以等價成=)，i=1，2，…，m，t=1，2，…，N。wi是第 i種單項方法在組合預(yù)測中的權(quán)重

定義6 令

則稱vit為第i單項方法在第t時點的預(yù)測精度，vit∈［0，1］。將 vit當做預(yù)測值()的誘導(dǎo)變量，由此可以根據(jù)每一個vit以及與之相對應(yīng)的構(gòu)建m個二維數(shù)組，即〈vmt，［］〉。根據(jù)定義3 以及定義5 可推出如下幾個算式:令

其中，yt為實際區(qū)間值由C-OWHA算子生成的時刻實際集結(jié)值是由C-OWHA算子生成的各個單項方法各個時刻預(yù)測值的單項預(yù)測集成值為由IGOWC-OWHA算子生成的t時刻組合預(yù)測集成值;W=(w1，w2，…，wm)T是 m種單項方法在組合預(yù)測中的權(quán)向量，滿足，顯然 wi≥ 0，i=1，2，…，m;v-index(i)是 v1，v2，…，vn遵循由大到小的原則排列后序號為i的數(shù)的下標。

Theil不等系數(shù)常常被用來評價預(yù)測效率的優(yōu)劣，為此文中將其作為相關(guān)性指標，對區(qū)間組合預(yù)測效率予以評價。

定義7［3］令

將 τ(Yt，)稱作實際值 yt(t=1，2，…，N)與組合預(yù)測值(t=1，2，…，N)間改進的Theil不等系數(shù)，τ(Yt)∈［0，∞)。τ(Yt)越低表明預(yù)測效率越高。

當實際值yt(t=1，2，…，N)等于組合預(yù)測值^yt(t=1，2，…，N)時，它們相應(yīng)的 τ(Yt，)值將會是最低值，即τ(Yt)=0。又因為τ(Yt)是所有單項方法權(quán)重w1，w2，…，wm的函數(shù)，所以可表示成τ(w1，w2，…，wm)。故基于改進的 Theil不等系數(shù)及IGOWC-OWHA算子的最優(yōu)組合預(yù)測模型如下所示:

該模型可借助LINGO軟件進行求解。

4 實例分析

出于檢驗IGOWC-OWHA算子的區(qū)間型組合預(yù)測模型是否有效的目標，文中直接采用文獻［7］的數(shù)據(jù)作為參考資料。但是文獻［7］只給出3種單項預(yù)測方法的預(yù)測數(shù)據(jù)，并沒有對這3種單一方法性質(zhì)進行比較。所以，基于區(qū)間組合預(yù)測研究領(lǐng)域的局限性，文中無法給出3種單一方法性質(zhì)的比較，將重點討論區(qū)間組合預(yù)測模型與3種單一模型預(yù)測精度的比較。

表1列出了區(qū)間實際數(shù)據(jù)和單項方法預(yù)測數(shù)據(jù)。

表1 區(qū)間實際數(shù)據(jù)和單項方法預(yù)測數(shù)據(jù)Tab.1 Interval actual data and individual method forecast data

依據(jù)式(7)計算得到各個單項方法在各個時間點的預(yù)測精度數(shù)據(jù)，如表2所示。

表2 預(yù)測精度數(shù)據(jù)Tab.2 Prediction accuracy of the data

由式(8)可以計算出實際區(qū)間值由C-OWHA算子所生成的t時刻實際集成值yt。由于yt中的態(tài)度參數(shù)θ由BUM函數(shù)Q(y)決定，所以為了便于比較，文中分別取Q1(y)=y2;Q2(y)=y3。則

表3給出由上述兩個態(tài)度參數(shù)計算得到的實際區(qū)間集成值。

表3 實際區(qū)間集成數(shù)據(jù)Tab.3 Integrated data of the actual interval

根據(jù)表2中的誘導(dǎo)變量及式(10)計算IGOWC-OWHA算子生成的組合預(yù)測集成值^yt，為了便于比較，分別取λ1=1，λ2=2，λ3=3，λ4=4，λ5=5這5個參數(shù)進行討論。共有10種情況，依次予以計算。

1)當θ=1/3時，以λ=2為例，計算過程如下:

將上述表達式與表3中的θ1=1/3時的實際區(qū)間數(shù)集成值代入到單目標最優(yōu)模型式(12)中，再運用Lingo15軟件解得最優(yōu)權(quán)重向量為

除此之外，當λ取1，3，4，5時，對應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重向量分別為

2)當θ=1/4時，以λ=3為例，計算過程如下:

將上述表達式與表3中的θ2=1/4時的實際區(qū)間數(shù)集成值代入到單目標最優(yōu)模型式(12)中，再運用Lingo15軟件解得最優(yōu)權(quán)重向量為

除此之外，當λ取1，2，4，5時，對應(yīng)的最優(yōu)權(quán)重向量分別為

為了證明區(qū)間組合預(yù)測模型是否有效，可選取MSEP，MSEL，MSEI，MRIE 作為評價準則:

1)平均區(qū)間位置誤差平方和

2)平均區(qū)間長度誤差平方和

3)平均區(qū)間誤差平方和

4)平均相對區(qū)間誤差和

表4給出相應(yīng)的分析結(jié)果。

表4 誤差指標Tab.4 Error indicators

觀察表4易知，基于 Theil不等系數(shù)及IGOWC-OWHA算子的區(qū)間型組合預(yù)測模型的MSEP，MSEI，MRIE都顯著小于各單項方法誤差指標值，雖然MSEL指標不夠顯著，但并不是最大的，因此該區(qū)間組合預(yù)測新方法至少是非劣性的。綜合來看，基于Theil不等系數(shù)及IGOWC-OWHA算子的區(qū)間型組合預(yù)測模型可以顯著提高預(yù)測精確度。

5 結(jié)語

大多數(shù)組合預(yù)測方法僅局限于離散區(qū)間數(shù)據(jù)的組合預(yù)測，但對于連續(xù)區(qū)間數(shù)據(jù)的組合預(yù)測較為少見。對連續(xù)區(qū)間數(shù)組合預(yù)測是一個全新的研究方向，文中提出一種更加有效的方法。文中引入IGOWA算子與C-OWHA算子結(jié)合，構(gòu)造出誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)的C-OWHA(IGOWC-OWHA)新型算子。由于該算子可以集結(jié)多個區(qū)間數(shù)據(jù)的信息，所以可以將其應(yīng)用于連續(xù)區(qū)間數(shù)的組合預(yù)測中。利用IGOWC-OWHA算子，再結(jié)合改進的Theil不等系數(shù)作為相關(guān)性指標，構(gòu)建區(qū)間型組合預(yù)測新模型，并經(jīng)過算例驗證了其有效性，揭示出該方法在提高預(yù)測精度方面具有顯著效果。但是，文中考慮的θ和λ情況有限，是否存在某個θ值和λ值使預(yù)測效果更加精確還需要通過進一步研究。

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