莊樂(lè)森，李?yuàn)檴?/p>

（新鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南新鄉(xiāng)453003）

一類四階脈沖微分方程邊值問(wèn)題解的存在性

莊樂(lè)森，李?yuàn)檴?/p>

（新鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南新鄉(xiāng)453003）

研究了帶脈沖的四階微分方程邊值問(wèn)題，用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理證明了此問(wèn)題在適當(dāng)條件下存在兩個(gè)非負(fù)解。

脈沖邊值問(wèn)題；不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)定理；非負(fù)解

四階微分方程邊值問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，因而受到了人們的重視，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了深入的研究，并取得了一些有用的成果［1-4］，但到目前為止，帶脈沖的四階微分方程邊值問(wèn)題的研究還比較少。作為微分方程的一個(gè)重要分支，帶脈沖的四階微分方程邊值問(wèn)題能描述突變現(xiàn)象對(duì)事物發(fā)展的影響，已在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)和航天等研究領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在本文中，我們研究了帶脈沖的四階微分方程邊值問(wèn)題

1　預(yù)備知識(shí)及引理

的解。其中：當(dāng)0≤t≤s≤1時(shí)，G（t，s）=t；當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí)，G（t，s）=s。

根據(jù)函數(shù)G（t，s）的形式，可以得出G（t，s）具有下列性質(zhì)：對(duì)于任意的t、s∈J，G（t，s）≥0，并且是連續(xù)的；對(duì)于任意的t、s∈J，有G（t，s）≤G（s，s）≤1；對(duì)于任意的t∈［a，b］和s∈J，有G（t，s）≥σG（s，s）；對(duì)于任意的t、s∈［a，b］，有G（t，s）≥a。在以上式子中，a∈J1，b∈Jm，σ=min｛a，1-b｝。

定義積分算子T為

則有如下引理。

引理3：算子T是PC［J，?］到PC［J，?］的全連續(xù)算子。

證明：對(duì)于任意的u∈PC［J，?］，由（2）式可知，Tu∈PC［J，?］，因?yàn)镚（t，s）、f （t，u（t））以及Ik均為連續(xù)函數(shù)，所以T在PC［J，?］上是連續(xù)的。對(duì)PC［J，?］中任意有界集S，T（S）中的函數(shù)均在J上一致有界，并且在每個(gè)Jk（k=1，2，…，m）上等度連續(xù)，于是由Ascoli-Arzela定理可知，T（S）是PC［J，?］中的相對(duì)緊集，因此T是全連續(xù)算子。

引理4：u（t）∈PC［J，?］∩C4［J′，?］為（1）式解的充要條件是u（t）∈PC［J，?］為算子T的不動(dòng)點(diǎn)。

證明：由引理2可知結(jié)論成立。

引理5［5］：設(shè)X是實(shí)Banach空間E的一個(gè)收縮核，X1是X的一個(gè)有界凸收縮核，U是X的非空開(kāi)集，且U∈X1。又設(shè)A： X1→X是全連續(xù)算子，A（X1）?X1，并且A在X1U上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，則必有i（A，U，X）=1。

2　主要結(jié)果

3　定理的應(yīng)用

考察帶脈沖四階微分方程邊值問(wèn)題

［1］FENG H Y，JI D H，GE W G.Existence and Uniqueness of Solutions for a Fourth-order Boundary Value Problem［J］.Nonlinear Anal，2009，70：3561-3566.

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［4］韋忠禮.四階奇異邊值問(wèn)題的正解［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999（4）：715-722.

［5］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.2版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004：339-340.

【責(zé)任編輯王云鵬】

Existence of Solutions to Boundary Value Problems of Fourth-order Impulsive Differential Equations

ZHUANG Yaosen，LI Shanshan
（School of Mathematics and Information Science，Xinxiang University，Xinxiang 453003，China）

In this paper，a fourth-order differential equation boundary value problem with pulse was discussed.By means of fixed point index theorem，two nonnegative solutions of this problem under appropriate conditions were proved to be existed.

boundary value problem with pulse；fixed point index theorem；nonnegative solution

0175

A

2095-7726（2015）09-0001-03

2015-06-08

莊樂(lè)森（1980-），女，河南新鄉(xiāng)人，碩士，研究方向：非線性泛函分析。