尹文進，張靜遠，饒　喆，馮　煒

（海軍工程大學(xué)兵器工程系，武漢430033）

基于Sobol指數(shù)法作戰(zhàn)能力全局敏感性分析方法

尹文進，張靜遠，饒喆，馮煒

（海軍工程大學(xué)兵器工程系，武漢430033）

本文采用的 Sobol 指數(shù)法，將模型分解為單個參數(shù)及參數(shù)之間相互組合的函數(shù)，通過計算單個輸入?yún)?shù)或輸入?yún)?shù)集的方差對總輸出方差的影響來分析參數(shù)的重要性以及參數(shù)之間的交互效應(yīng)。并將Sobol指數(shù)法應(yīng)用于一定作戰(zhàn)條件下的魚雷作戰(zhàn)能力分析，探討了相關(guān)關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)及其交互作用對魚雷作戰(zhàn)能力的影響，為魚雷武器的論證工作提供依據(jù)和參考。

Sobol指數(shù)作戰(zhàn)能力交互影響

0　引言

為了提升武器裝備的作戰(zhàn)能力，需要對作戰(zhàn)能力的影響因素進行分析研究。由于武器裝備作戰(zhàn)能力分析涉及多個方面因素，但總體可以歸納為武器裝備戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能水平和裝備作戰(zhàn)使用兩個方面。在一定的作戰(zhàn)使用條件下，由于各個輸入因素（武器裝備戰(zhàn)術(shù)技術(shù)性能指標(biāo)）之間的交互作用較為復(fù)雜，需要分析各個因素、各個因素組合對武器裝備作戰(zhàn)能力的影響。傳統(tǒng)的作戰(zhàn)能力分析方法由于分析因素少、因素變化范圍窄、不能分析因素之間的交互作用，不能適應(yīng)武器裝備作戰(zhàn)能力分析的需求。而在一定作戰(zhàn)使用條件下，Sobol 指數(shù)法能夠通過分析輸入數(shù)據(jù)和效能輸出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，分析各個輸入數(shù)據(jù)與裝備作戰(zhàn)能力之間的關(guān)系，為武器裝備論證研究提供依據(jù)和參考。

1　Sobol 指數(shù)法

俄羅斯數(shù)學(xué)家 I.M.Sobol于上個世紀(jì) 90 年代提出了一種全局敏感性分析方法，并以他的名字命名，學(xué)者們稱之為“Sobol指數(shù)法”[1]。它的核心思想是方差分解，把模型分解為單個參數(shù)及參數(shù)之間相互組合的函數(shù)，通過計算單個輸入?yún)?shù)或輸入?yún)?shù)集的方差對總輸出方差的影響來分析參數(shù)的重要性以及參數(shù)之間的交互效應(yīng)。

假設(shè)模型為Y=F(X)，其中X=F(x1，x2，…，xn)，xi(i=1,2,…,n)服從[0，1]之間的均勻分布，F(xiàn)(X)平方可積。把模型F(X)分解為以下形式

Sobol指數(shù)法的研究思路是：用總方差、偏方差分別表示全體變量對輸出量的影響、單變量或多變量對輸出量的影響情況。其中總方差為偏方差，表示相應(yīng)的單變量對輸出量的影響，偏方差表示輸入變量間的相互作用對輸出量的影響。如下公式為該算法對方差比率的定義：

采用上述Sobol指數(shù)對該模型的敏感性進行度量是否具有理論價值和實踐意義，以及如何對定義該指數(shù)具體的概念，下面將對此進行討論。假設(shè)函數(shù)為 Y=F(X)，其中 X=(X1，X2,… Xn)，(X=1,2,…n)相互獨立，而且同時服從同一分布。當(dāng) Xi取 xi時函數(shù)的條件方差是 V(Y|xi)。V(Y)與V(Y|xi)之間的差值反映出了變量Xi對函數(shù)的影響程度。函數(shù)為非線性時的某些情況下，V(Y|xi)的數(shù)值有可能超出了V(Y)值。為使該算法具有更好地適應(yīng)性，在變量Xi的有效變化范圍內(nèi)對該變量的條件方差求均值得到EXi(V(Y|xi))。如果EXi(V(Y|xi))很小，說明當(dāng)變量 Xi為某一取值時，對于函數(shù)Y來說，其不確定性很小。換言之，函數(shù)Y的不確定性是多源的，但主要是由變量 Xi的不確定性引起的，因此可以得出如下結(jié)論：Xi對Y的有較大的影響。根據(jù)文獻[2]有：

由式(3)知，VXi(EXi(V(Y|xi))越大，則變量 Xi對函數(shù)Y的影響程度也就越大。因此Sobol指數(shù)法的敏感性指標(biāo)可以定義為式(4)的形式[3]：

SXi稱作Xi的“主效應(yīng)”指數(shù)，也可以稱之為一階敏感性指數(shù)，它體現(xiàn)了變量Xi“獨自”對函數(shù)Y的總方差的貢獻程度，其數(shù)值的取值范圍在[0,1]內(nèi)?？梢愿鶕?jù)主效應(yīng)指數(shù)的大小對各個變量進行敏感性排序，主效應(yīng)指數(shù)越大，表明該變量的變化對最終的輸出的變化影響也就越大。因此，要控制最終輸出的變化，就需要把重點放在控制主效應(yīng)指數(shù)較大的輸入量的變化。

若將所有的輸入因素分為 Xi和 X-i（除去 Xi因素的其它因素）兩類情況。將除Xi之外的所有因素看作為一個整體，VX-i(V(Y|x-i))描述該整體因素對函數(shù)Y的方差的綜合影響，那么 V(Y)-VX-i(E(Y|x-i))能夠表示所有與變量 Xi關(guān)聯(lián)的效應(yīng)或稱之為變量 Xi的“全效應(yīng)”對函數(shù)Y方差的影響程度。因此，敏感性指標(biāo)可以定義為如式(5)所示的形式[3]：

由于主效應(yīng)與全效應(yīng)指數(shù)對對應(yīng)分析函數(shù)形式和類型并沒有較為特殊的要求，因此該指數(shù)的定義適用性較強。如果函數(shù)Y=F(X)為武器裝備的作戰(zhàn)能力函數(shù)，Xi為影響作戰(zhàn)能力的某個變量。根據(jù)和XiS之間的差異表示變量 Xi與其它變量的相互交叉作用對作戰(zhàn)能力方差的貢獻程度大小。為分析變量i與哪些變量存在較強相互交叉效應(yīng)時，可根據(jù)二者之間的交互效應(yīng)指數(shù)來分析。當(dāng)分析兩個變的相互交叉效應(yīng)時，VXiXj(E-XiXj(Y|xixj))描述變量Xi和變量Xj作為一個整體對作戰(zhàn)能力方差的影響程度。這個影響程度包含變量 Xi與變量 Xj主效應(yīng)和二者之間的交互效應(yīng)。因此，

描述了變量Xi與變量Xj的相互交叉效應(yīng)對作戰(zhàn)能力的影響程度大小。因此，交互效應(yīng)指標(biāo)可以定義為如式(7)所示的形式[3]：和SXi可知，SXiXj稱作變量Xi與變量Xj的二階交互效應(yīng)指數(shù)。根據(jù)同樣的原理，可以將三階交互效應(yīng)指數(shù)SXiXjXk定義為如式(8)所示的形式[3]：

在做相關(guān)變量對武器裝備作戰(zhàn)能力影響程度分析時，如果變量 Xi為影響因素之一，則根據(jù)和SXiXj可知表示全部與Xi相關(guān)的效應(yīng)對武器裝備作戰(zhàn)能力總方差的貢獻程度大小，對影響變量的重要性進行排序時，應(yīng)選擇為重要性的評價標(biāo)準(zhǔn)；和XiS之間差異表明變量 Xi與其它變量之間的相互交叉效應(yīng)對作戰(zhàn)能力函數(shù)的貢獻程度，因此，在分析變量之間的相互交叉效應(yīng)時，可以根據(jù)的大小進行選擇分析何種變量；SXiXj表明變量Xi與變量Xj之間的相互交叉效應(yīng)對武器裝備作戰(zhàn)能力方差的貢獻程度大小，如果SXiXj較大，則可以說明變量Xi和變量Xj之間具有較強的相互交叉效應(yīng)，兩個變量的不同數(shù)值組合會對武器裝備作戰(zhàn)能力的取值有較大的影響；若SXiXj，SXiXk，SXjXk的計算值都比較大，則可以說明變量i是較為關(guān)鍵的變量，且變量i對變量 j和k都有具有一定的作用。綜上分析可知，通過和SXiXj的數(shù)值分析，不僅可以得到武器裝備的關(guān)鍵變量，而且可以獲得各個變量之間的相互交叉效應(yīng)的具體定量化的表述。

3　仿真分析

本文以魚雷攻擊艦船為例，采用Sobol 指數(shù)法對魚雷相關(guān)的技術(shù)指標(biāo)進行分析。

魚雷的基本戰(zhàn)技性能指標(biāo)有：航速、航程、自導(dǎo)作用距離、自導(dǎo)扇面、聲脈沖周期、引信作用距離、旋回角速度。為了探尋上述魚雷武器性能指標(biāo)的變化對魚雷作戰(zhàn)能力（命中目標(biāo)概率）的影響，對上述技術(shù)指標(biāo)進行抽樣，設(shè)計不同的輸入變量組合，假定各個輸入變量的變化范圍如表1所示：

表1　各輸入變量取值情況

根據(jù)相關(guān)的作戰(zhàn)模型，采用均勻抽樣設(shè)計方法，計算不同技術(shù)指標(biāo)的魚雷命中概率，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)公式（5）、（7）進行Sobol指數(shù)的計算，分別得到表2各個輸入變量的全效應(yīng)指數(shù)和表3輸入變量之間的二階交互效應(yīng)如下所示。

表2　各個輸入變量的全效應(yīng)指數(shù)

該表中的全效應(yīng)指數(shù)能夠表明單變量和其它變量與該單變量之間的相互交叉效應(yīng)對作戰(zhàn)能力（以命中概率為度量指標(biāo)）的影響。全效應(yīng)指數(shù)較大的變量，表明其全效應(yīng)及其與其它變量之間的交互效應(yīng)均較大，即其變化對作戰(zhàn)能力變化影響程度較大。由表可得，魚雷的自導(dǎo)作用距離（X1）的全效應(yīng)最大。

表3　輸入變量之間的二階交互效應(yīng)

由表可知，魚雷自導(dǎo)作用距離（X1）與自導(dǎo)扇面角（X2）之間以及航速（X3）與聲脈沖周期（X5）之間存在明顯的交互效應(yīng)，因此在裝備論證過程中，應(yīng)該關(guān)注相關(guān)性能指標(biāo)之間的相互關(guān)系。

4　結(jié)論

本文采用的Sobol將模型分解為單個參數(shù)及參數(shù)之間相互組合的函數(shù)，通過計算單個輸入?yún)?shù)或輸入?yún)?shù)集的方差對總輸出方差的影響來分析參數(shù)的重要性以及參數(shù)之間的交互效應(yīng)。通過該方法在魚雷作戰(zhàn)能力分析的應(yīng)用，探討了相關(guān)關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)及其交互作用對魚雷作戰(zhàn)能力的影響，對魚雷的論證工作提供一定的參考和依據(jù)。

[1] Sobol IM. Sensitivity estimates for nonlinear mathematical models. Math Model ComputExp，1993 : 407-414.

[2] John.A.Rice. 數(shù)理統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社，2003.

[3] Saltelli，A. et al. Sensitivity Analysis in Pratice: A Guide to Assessing Scientific Models[M]. Chichester: John Wiley and Sons,2008.

[4] 李睿. Sobol靈敏度分析方法在結(jié)構(gòu)動態(tài)特性分析中的應(yīng)用研究 [D]. 長沙: 中南大學(xué)，2003.

[5] 徐培德. 軍事運籌學(xué)基礎(chǔ) [M]. 北京: 國防科技大學(xué)出版社，2003.

Global Sensitivity Analysis Method Based on Sobol Index Method

Yin Wenjin，Zhang Jingyuan，Rao Zhe，F(xiàn)eng Wei
(Department of Weapon Engineering，Naval Engineering University，Wuhan 430033，China)

The Sobol index method is used to decompose the model into a function of single parameter and its mutual combination，and the importance of the parameters and the interaction effect between the parameters and the parameters is analyzed by calculating the impact of variance of input parameter. The Sobol index method is applied to the analysis of torpedo operational capability under certain operational conditions，and the influence of the key technical indexes and their interaction on the operational capability is discussed which provides the basis and reference for the demonstration of torpedo weapon.

Sobol index; combat capability; interaction effect

TP27

A

1003-4862（2015）12-0021-03

2015-10-08

尹文進(1988-)，男，博士研究生。研究方向：兵器制導(dǎo)與控制技術(shù)。