夏 漫，陳 佳，徐揚(yáng)子，丁益民

（湖北大學(xué)，湖北武漢 430062）

基于MATLAB的光的單縫衍射實(shí)驗(yàn)?zāi)M研究

夏 漫，陳 佳，徐揚(yáng)子，丁益民?

（湖北大學(xué)，湖北武漢 430062）

根據(jù)光的單縫衍射理論，利用Matlab軟件的繪圖功能，模擬出夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的光強(qiáng)曲線和條紋分布，并研究了在改變單縫寬度和光的波長(zhǎng)時(shí)，單縫衍射的光強(qiáng)及條紋的變化。

單縫衍射；MATLAB；光強(qiáng)曲線；條紋分布

光的衍射在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中有著廣泛的應(yīng)用，然而光的衍射實(shí)驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)環(huán)境的要求都很高，不僅在實(shí)驗(yàn)室不易做成功，而且即使做成了，也會(huì)由于清晰度不夠，導(dǎo)致現(xiàn)象不明顯。而從公式中理解影響衍射條紋的相關(guān)因素較為抽象，難以形成具體的直觀認(rèn)識(shí)。因此利用計(jì)算機(jī)模擬方法對(duì)光的衍射現(xiàn)象進(jìn)行模擬，可以通過(guò)模擬圖象把各個(gè)因素與條紋變化的關(guān)系形象地描繪出來(lái)，從而使學(xué)生加深對(duì)光的衍射現(xiàn)象的理解，對(duì)大學(xué)物理教學(xué)有所推動(dòng)［1］。

近年來(lái)，在用Matlab進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)的仿真方面做了一些探討［2，3，4］，這些研究在物理教學(xué)中收到了良好效果。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)許多教師對(duì)利用MATLAB進(jìn)行光學(xué)實(shí)驗(yàn)的模擬進(jìn)行了探討和研究。張衛(wèi)山、胡昌奎等人利用MATLAB GUI構(gòu)建了一個(gè)波動(dòng)光學(xué)仿真平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了不同條件下波動(dòng)光學(xué)實(shí)驗(yàn)的仿真［5，6］；秦林等人運(yùn)用MATLAB模擬了光的雙縫干涉，單縫夫瑯禾費(fèi)衍射，雙縫衍射和衍射光柵的光譜［7］；何潤(rùn)等人利用MATLAB對(duì)菲涅爾衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射的實(shí)驗(yàn)光路進(jìn)行了仿真［8］。呂波等對(duì)單縫衍射和光柵衍射建立了數(shù)學(xué)模型，并利用Matlab編制了仿真程序，模擬了仿真圖樣［9］。

本文利用光的單縫衍射基本理論，結(jié)合MATLAB語(yǔ)言的編程和圖像處理功能，對(duì)光的單縫夫瑯禾費(fèi)衍射進(jìn)行仿真，模擬出在縫寬和波長(zhǎng)不同的情況下單縫衍射的光強(qiáng)和條紋的變化。

1　單縫衍射原理

光的衍射分為菲涅爾衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射:菲涅爾衍射也叫近場(chǎng)衍射，指的是衍射物與光源和接收屏的距離為有限遠(yuǎn)；夫瑯禾費(fèi)衍射也叫遠(yuǎn)場(chǎng)衍射，指的是衍射物與光源和接收屏的間距為無(wú)限遠(yuǎn)。在實(shí)驗(yàn)室條件下，用激光作為光源（激光的光束細(xì)、方向性好、亮度高，可以看作是平行光），將觀察屏放在較遠(yuǎn)處（使其與縫的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于縫寬），就可以滿足夫瑯禾費(fèi)的遠(yuǎn)場(chǎng)條件。本文我們重點(diǎn)介紹夫瑯禾費(fèi)單縫衍射，如圖1。

圖1　夫瑯禾費(fèi)單縫衍射實(shí)驗(yàn)

P0點(diǎn)位于光軸上，是中央亮紋的中心，其光強(qiáng)為I0；與光軸成θ角的衍射光束落在P點(diǎn)，夫瑯禾費(fèi)單縫衍射光強(qiáng)分布規(guī)律為［10］:

其中b為單縫寬，λ為光波波長(zhǎng)。根據(jù)光強(qiáng)分布規(guī)律可知:

（1）u=0，即衍射角θ=0時(shí)，P處的光強(qiáng)I=I0為最大值，稱中央主極大。

（2）u=k，即衍射角θ滿足bsinθ=kλ（k=±1，±2，±3，……）時(shí)，I=0為極小值，即P處出現(xiàn)暗條紋。k為級(jí)次。θ角很小，第k級(jí)暗紋所對(duì)應(yīng)的衍射角可表示為:

若第k級(jí)極小值與中心點(diǎn)P0的距離為xk，則第k級(jí)暗紋所對(duì)應(yīng)的衍射角為:

（3）k=±1時(shí)，中央主級(jí)兩側(cè)暗紋間的角寬度（中央亮紋的角寬度）為:

其他任意相鄰暗條紋間的角寬度為:

2　MATLAB編程方法

根據(jù)光的單縫衍射理論知識(shí)，我們利用MATLAB，首先在主程序中設(shè)置兩個(gè)實(shí)驗(yàn)參數(shù)，分別為光波波長(zhǎng)λ，單縫寬度b。主要思路如下:

2.1變量設(shè)置

要計(jì)算光強(qiáng)，需先設(shè)置重要中間變量u，根據(jù)公式（2），設(shè)計(jì)代碼如下:

n=linspace（-1，1，100）；%自變量向量

fai=n?pi/180；%角度向量

u=pi?b.?sin（fai）/lam；%中間變量

u（u==0）=eps；%若為零改小量

2.2光強(qiáng)計(jì)算

中間變量u被賦值后，各級(jí)光強(qiáng)可由公式（1）計(jì)算得出:

I=（sin（u）./u）.^2；%光強(qiáng)

2.3光強(qiáng)分布圖的繪制：

各級(jí)光強(qiáng)計(jì)算出來(lái)后，即可給光強(qiáng)分布圖分配對(duì)應(yīng)位置，然后用plot命令繪出曲線:

subplot（2，1，1）；%選擇繪圖位置

plot（fai，I，′LineWidth′，2）%畫曲線

grid on%顯示坐標(biāo)網(wǎng)格

2.4衍射圖樣的繪制：

同時(shí)還可以基于以上命令繪制出衍射圖樣:

subplot（2，1，2）%選擇繪圖位置

c=255；%顏色大小

image（I?1000）%畫圖

colormap（gray（c））%形成線性灰度色圖

3　模擬結(jié)果及分析

3.1夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的光強(qiáng)和條紋的模擬

分析:從圖2中可以看出，光的單縫衍射的條紋分布特點(diǎn)是中央最寬亮度最亮，兩側(cè)也排列著寬度強(qiáng)度都較小的亮條紋，相鄰的亮條紋之間有一條暗條紋。而且中央亮條紋是第一級(jí)亮條紋寬度的兩倍，第一次級(jí)最大值也不到中央最大值的5%。模擬結(jié)果與理論結(jié)果相符。

圖2　夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的光強(qiáng)曲線和條紋分布圖像

3.2單縫夫瑯禾費(fèi)衍射在不同縫寬下的模擬

分析:從圖3中可以看出，當(dāng)縫寬改變時(shí)，衍射光強(qiáng)曲線和條紋分布圖像都會(huì)發(fā)生改變，得出縫寬是光強(qiáng)變化的要素之一；且從圖中可觀察到，隨著縫寬越窄，條紋間距越大，光的強(qiáng)度越明顯，衍射現(xiàn)象就越顯著。

圖3　三種不同縫寬對(duì)應(yīng)的單縫衍射光強(qiáng)曲線和條紋分布圖像

圖4　三種不同波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的單縫衍射光強(qiáng)曲線和條紋分布圖像

3.3單縫夫瑯禾費(fèi)衍射在不同波長(zhǎng)下的模擬

分析:從圖4中可以看出，當(dāng)波長(zhǎng)改變時(shí)，衍射光強(qiáng)曲線和條紋分布圖像都會(huì)發(fā)生改變，得出波長(zhǎng)是光強(qiáng)變化的要素之一；且從圖中可觀察到，隨著波長(zhǎng)越大，條紋間距越大，光的強(qiáng)度越明顯，衍射現(xiàn)象就越顯著。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文利用MATLAB軟件對(duì)單縫衍射實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真模擬，通過(guò)模擬可以顯示在光的波長(zhǎng)和狹縫寬度發(fā)生改變時(shí)，光強(qiáng)曲線和條紋分布的圖象。該模擬不受實(shí)驗(yàn)儀器和場(chǎng)所的限制，為單縫衍射的理論分析和實(shí)驗(yàn)仿真提供了平臺(tái)，通過(guò)改變實(shí)驗(yàn)參數(shù)就能得到不同實(shí)驗(yàn)條件下的強(qiáng)度分布和譜線，對(duì)于理解光學(xué)原理具有積極的作用。因此，利用MATLAB對(duì)物理現(xiàn)象和規(guī)律進(jìn)行模擬與仿真，是一項(xiàng)有意義的工作，值得在大學(xué)物理教學(xué)中應(yīng)用和推廣。

［1］ 段秀芝，楊萍萍，趙炯.MATLAB軟件在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用［J］.物理通報(bào)，2014，4:29-30.

［2］ 丁益民、陳倩.基于MATLAB的RLC電路暫態(tài)過(guò)程的模擬，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2011，24（2）:78-80.

［3］ 顏建，丁益民.基于Matlab的α粒子散射實(shí)驗(yàn)?zāi)M［J］.物理與工程，2014（4）:21-23.

［4］ 陳偉，丁益民，等.利用Matlab模擬點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)線和等勢(shì)面［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2014，24（3）: 94-96.

［5］ 張衛(wèi)山，尚劍鋒，劉雪林，等.基于MATLAB GUI的波動(dòng)光學(xué)仿真平臺(tái)［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2013，26 （3）:85-87.

［6］ 胡昌奎，楊應(yīng)平，趙盾.光學(xué)實(shí)驗(yàn)計(jì)算機(jī)仿真平臺(tái)的構(gòu)建［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2011，24（1）:69-72.

［7］ 秦林，王佳.光的干涉和衍射的MATLAB模擬［J］.科技資訊，2013（35）:75-77.

［8］ 何潤(rùn)，高海蕓.光學(xué)衍射實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的仿真［J］.新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，10（5）:333-334.

［9］ 呂波.基于MATLAB的光學(xué)衍射仿真［J］.東華理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，4（33）:363-368.

［10］姚啟鈞.光學(xué)教程［M］.北京:高等教育出版社，2008，9～110.

Simulation&Research of Single-slit Diffraction Experiment of Light with MATLAB

XIA Man，CHEN Jia，XU Yang-zi，DING Yi-min
（Hubei University，Hubei Wuhan 430062）

According to the theory of Optical single-slit diffraction，combined with graphics capabilities of MATLAB，it simulated the light intensity curve and stripe distribution for the single-slit Fraunhofer diffraction. And then it researched the changes of light intensity when the seam width or wavelength was transformed.

single-slit diffraction；MATLAB；the light intensity curves；tripe distribution

O4-39

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.02.025

1007-2934（2015）02-0090-03

2014-11-24

湖北大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目（201343）

?通訊聯(lián)系人