常苗

(榆林學(xué)院能源工程學(xué)院,陜西榆林719000)

對稱緊小波框架濾波器的構(gòu)造

常苗

(榆林學(xué)院能源工程學(xué)院,陜西榆林719000)

針對在伸縮因子為5時對稱緊小波框架的構(gòu)造,在伸縮因子為5時得到了9個框架生成元,對于生成元的構(gòu)造,需引入過樣條多項式濾波器和中間變量,尺度因子為5時,低通濾波器長度的選取為5L和5L+2。利用完全重構(gòu)條件,構(gòu)造低通濾波器,借助于低通濾波器構(gòu)造的形式,在不同的低通濾波器長度下,分別構(gòu)造高通濾波器。

緊小波框架;低通濾波器;高通濾波器

緊框架濾波器是正交濾波器的一個普遍化,當(dāng)伸縮因子是2時可以通過構(gòu)造得到光滑和對稱的小波框架,但是正交對稱性卻不能得到。近年來,尺度因子為4的6-邊緊框架濾波器和對稱的低通濾波器應(yīng)用文獻(xiàn)[1-2]中的Grobner基方法構(gòu)造,而文獻(xiàn)[3]討論的情況更為復(fù)雜,它討論了具有任意整數(shù)尺度因子的緊框架和正交小波的構(gòu)造方法。對于任意的雙正交框架的構(gòu)造在文獻(xiàn)[4-5]中給出。但是該文討論的矩陣構(gòu)造法并不能由已得到的濾波器構(gòu)造低通濾波器。為此,文中研究了伸縮因子為5時的對稱緊小波框架的構(gòu)造。

1 概念與條件

文中介紹關(guān)于伸縮因子M=5的緊框架濾波器的定義和性質(zhì),N-1個實值小波{ψi(5m·-n)i= 1,2,…,N-1}和任意的函數(shù)f(t)∈L2(R)有關(guān)系式[6]

時構(gòu)成了框架,稱A和B為該框架的框架界。內(nèi)積定義如下:

當(dāng)A=B時稱之為緊框架,一般地,一個小波系統(tǒng)構(gòu)成了一個加細(xì)函數(shù)φ(t)和N-1個伸縮因子為M= 5的小波,一個小波系統(tǒng)是由伴隨加細(xì)函數(shù)φ(t)的N-1個伸縮因子為M=5的小波,一個小波系統(tǒng)是

由伴隨加細(xì)函數(shù)φ(t)的N-1個伸縮因子為M=5的小波定義下列函數(shù)空間[7-8]:

和

這里t∈R,同時加細(xì)函數(shù)和小波函數(shù)滿足如下的多分辨等式:

一個函數(shù)f∈L2(R)可以被展開成如下的小波和加細(xì)函數(shù)的組合[9]:

這里φ0,k(t)=φ(t-k),ψi,j,k(t)=ψi(5j-k)。文中所討論的濾波器都是有限長度的,(FIR)加細(xì)函數(shù)φ(·)和小波函數(shù)都是有限支撐的。

2 對h0長度的限制

文獻(xiàn)[10]證明了伸縮因子為2的3波段緊框架,滿足PR條件后,低通濾波器h0的長度應(yīng)具備條件[11]:

這里K0為濾波器H0(z)中z=-1時的值,而Ki為濾波器Hi(z),i=1,2中z=1的值,在文獻(xiàn)[12]中,對稱情況下的最小長度為

在條件(10)中就可以直接得到M=5時h0的最小長度:

緊框架濾波器的一個優(yōu)點是可以得到更高階的v2的光滑性,在正交情況下,對于給定的K0有比較低階的光滑性,在文獻(xiàn)[13]中已經(jīng)證明正交小波和緊框架具有移位穩(wěn)定性。定義v2為

文獻(xiàn)[14]中的計算已給出,當(dāng)∑nh0(n)=2時,得到

這里λmax是由(c2i-j)-N≤i,j≤N所構(gòu)成的矩陣的最大特征值,其中c(z)=Q0(z)Q0(z-1),而H0(z)=(1+ z-1)k(1+z-1+z-2+z-3+z-4)K0Q0(z),k∈{0,1}低通濾波器的構(gòu)造和性質(zhì)在下面的內(nèi)容中給出。

3 濾波器的構(gòu)造

文中討論10個對稱(或反對稱)的濾波器的構(gòu)造,首先介紹偶數(shù)長度的低通濾波器h0的構(gòu)造。

3.1 低通濾波器的構(gòu)造

伸縮因子M=5的緊框架濾波器中低通濾波器必須滿足如下條件[15-16]:

這里Kmin=min(K1,K2,,KN-1),第1個條件保證了高階多項式的重構(gòu)成立并且包含K0-1,第2個和第3個條件保證了每一個高通濾波器在z=1時都有最小的Kmin值,它是小波函數(shù)具有消失矩的一個充分條件,濾波器具有偶數(shù)長度,并且有如下一般形式:

這里的Q0(z)是長度為2Kmin-1的對稱多項式,且因子(1+z-1)k保證了濾波器是偶數(shù)長度的,在文獻(xiàn)[17]中,Herrmann給出了一種構(gòu)造方法,在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[18]中Han給出了復(fù)的正交對稱的小波框架的構(gòu)造方法。文中首先考慮k=1的情況,其中與之相對應(yīng)的K0∈2N,構(gòu)造變量x使得濾波器是對稱的:

這里的多項式A(x)與多項式Q0(z)相對應(yīng),長度為Kmin,在等式(9)中由z=1,可得到P(x)必須滿足條件[19]:

結(jié)合等式(10)和等式(11)得到

那么多項式A(x)就為

因此A(x)的階數(shù)為Kmin-1,上面的表達(dá)式可以簡寫為

因此,由截斷的泰勒級數(shù),又可以得到A(x)為

換句話說,在只取第一個Kmin項,A(x)為泰勒多項式,從x映射到z,得到相應(yīng)的多項式Q0(z),注意到,在A(x)的表達(dá)式中,引用到的B(x)不需要很清楚地找到,當(dāng)k=0(K0∈2N+1)時,由A(x)可以得到級數(shù)為Kmin-1的泰勒多項式:

這里K0=2K+1,多項式A(x)和Q0(z)的關(guān)系為

在知道h0的基礎(chǔ)上,與文獻(xiàn)[20-21]中的方法類似,通過h0計算{h4,h5,h9},在等式(2)中,利用H0(z)的多項式展開式,在h0=5L時,計算對稱的濾波器[22],有

注意到式(15)得到的H0(z)是對稱的濾波器,那么濾波器(h4,h5,h9)如下:

類似地,當(dāng)h0的長度為5L+2時,H0(z)可以被寫作:

那么剩余的濾波器{h4,h5,h9}與等式(16)～(18)類似,可以通過計算得出,濾波器{h1,h2,h3,h6,h7, h8}利用如上解法得出,將h0=5L及h0=5L+2分別討論。

3.2 h0的長度為5L時高通濾波器(h1,h2,h3,h6, h7,h8)的求解

假定低通濾波器h0的長度為h0=5L,L∈Z,令濾波器h2為

這里的a,b,c是整數(shù)多項式,這就決定了h2是對稱的濾波器,進一步假定剩余的濾波器為

接下來需要計算多項式a,b和c,假定式(3)～式(6)的PR條件成立,有

注意到等式(4)中對于?z,等式左邊恒等于0,結(jié)合等式(25),(26),(27)得到

用另外的形式寫為

上面式(26)～(28)與式(22)～(25)相結(jié)合,得到

由上面的計算可得a,b,c的值,那么相應(yīng)地得到了高通濾波器,同時保證了它們是對稱(或反對稱)的。

3.3 h0的長度為5L+2時高通濾波器{h1,h2,h3, h6,h7,h8}的求解

在h0=5L+2時,對稱濾波器也可寫作a(z), b(z),c(z)的組合,但是與式(19)的書寫形式有所不同,H2(z)可寫作:

與3.2的計算過程類似,現(xiàn)計算出a(z),b(z), c(z)為

高通濾波器H2(z)由式(34)得出,那么其余濾波器按照3.3部分的計算,相應(yīng)為

通過具體構(gòu)造緊小波框架的生成元來構(gòu)造對稱緊小波框架。

4 結(jié) 語

研究了伸縮因子為5時構(gòu)造對稱緊小波框架。它是將伸縮因子具體化,這樣構(gòu)造出來的小波框架也就具體化了。在伸縮因子為4時得到對稱的小波生成元的個數(shù)為7個,在伸縮因子為5時得到了9個生成元。文中對于生成元的構(gòu)造、低通濾波器的構(gòu)造方法需引入過樣條多項式濾波器,利用完全重構(gòu)條件進行構(gòu)造,這個構(gòu)造方法簡單易行,同時也可以得到光滑的小波函數(shù),但是高通濾波器卻不能通過類似的方法構(gòu)造,引入中間變量,使得對稱性得以滿足,在不同的低通濾波器長度下分別構(gòu)造高通濾波器。

[1]曲長文,何友,劉衛(wèi)華,等.框架理論及應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2009.

[2]Meyer Y.小波與算子[M].尤眾,譯.北京:世界圖書出版社,1992.

[3]Vetterli M,Kovacevi′c J.Wavelets and Subband Coding[M].Englewood Cliffs,NJ:Prentice-Hall,1995.

[4]周相泉.伸縮因子為3的尺度函數(shù)雙正交的一個充要條件[J].山東師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2005,20(3):22-24.

ZHOU Xiangquan.A necessary and sufficient condition for biorthogonality of scaling functionswith dilation factor3[J].Journal of Shandong Normal University:Natural Science,2005,20(3):22-24.(in Chinese)

[5]楊蓓.伸縮因子為a的尺度函數(shù)雙正交的一個充要條件[J].科技通報,2012,28(2):52-54.

YANG Bei.A necessary and sufficient condition for biorthogonality of scaling functions with dilation factor a[J].Bulletin of Scienceand Technology,2012,28(2):52-54.(in Chinese)

[6]Young R.An introduction to Nonharmonic Fourier Series[M].New York:[s.n.],1980.

[7]Kim H O,Kin R Y,Lim JK.Internal structure of thd multiresolution analysis defined by the unitrary extension principle[J]. Approx Theory,2008,154(2):140-160.

[8]Bolcskei H,Hlawatsch F,Feichinger H G.Frame-theoretical analysis of oversampled filter banks[J].IEEE Trans Signal Process, 1998,46(12):3256-3268.

[9]Christensen O.An Introduction to Frames and Riesz Bases[M].Boston:Birkhuser,2003.

[10]Selesnick IW.Balanced multiwavelet bases based on symmetric FIR filters[J].IEEE Trans Signal Process,2000,48(1): 163-181.

[11]李杰,高新慧.一類四帶小波緊框架存在的數(shù)據(jù)[J].河南科學(xué),2009,27(4):35-39.

LI Jie,GAO Xinhui.A sufficient conditon for the existence of tight wavelet frames with four-scale[J].Henan Science,2011,37 (4):1-8.(in Chinese)

[12]Abdelnour F,Selesnick IW.Symmetric nesrly shift invariant tight frame wavelets[J].IEEE Trans Signal Process,2005,53(1): 231-239.

[13]CHUIC,SUN Q.Affine frame decompositions and shift-invariant spaces[J].Appl Comput Harmon Anal,2006,20(1):74-107.

[14]Ehler M.Themultiresolution structure of pairs of dual wavelet frames for a pair of Sobolev spaces[J].Jaen J Approx,2010,2 (2):1889-3066.

[15]于育民,連冬艷,程正交.具有整數(shù)的伸縮因子的向量值正交小波的構(gòu)建算法與性質(zhì)[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報,2011,37 (4):1-8.

YU Yumin,LIAN Dongyan,CHENG Zhengxi.Constructive algorithm and properties of orthogonal vector-valued wavelets with integer expansion factor,2011,37(4):1-8.(in Chinese)

[16]HAN B.Symmetric orthonormal scaling functions and wavelets with dilation factor 4[J].Adv Comput Math,1998,8(3): 221-247.

[17]Herrmann O.On the approximation problex in nonrecursive digital filter design[J].IEEE Trans Circuits Syst,1971,18(3):411-413.

[18]HAN B.Symmetric orthonormal com llex wavelets with masks of arbitrarily high linear-phase moments and sun rules[J].Adv ComputMath,2010,32(2):209-237.

[19]Lebrun J,Selesnick I.Grobuer bases and wavelet design[J].Symb Comput,2004,37(2):209-226.

[20]Strang G,Nguyen T.Wavelets and Filter Banks[M].Wellesley:Cambridge Press,1996.

[21]Selesnick IW,Abdelnour A F.Symmetric wavelet tight frameswith two generators[J].Appl ComputHarmon Anal,2004,17(2): 211-225.

[22]HAN B.On dual wavelet tight fames[J].Appl Comput Harmon Anal,1997,4(4):380-413.

(責(zé)任編輯:楊 勇)

Construction of the Filte of Symm etry Tight W avelet Fram e

CHANG Miao
(College of Energy Engineering,Yulin University,Yulin 719000,China)

In this paper,we study the construction of the symmetry tight wavelet frame when the scaling factor is 5. When the scaling factor is5,nine framework generators are obtained.For the construction of the generator,we introduce a spline polynomial filter and intermediate variables.When the scale factor is5,the length of low-pass filtermay be 5L and 5L+2.Using the perfect reconstruction condition,a low pass filter is constructed under the low-pass filter structure form.Under the different lengths of the low-pass filter,high-pass filters are constructed,respectively.

tightwavelet frame,low-pass filter,high-pass filter

O 174.2

A

1671-7147(2015)03-0374-05

2014-11-05;

2015-01-06。

常 苗(1985—),女,陜西榆林人,講師,理學(xué)碩士。主要從事小波分析及其應(yīng)用研究。

Email:changmiao00@126.com