石璐, 安天慶

(河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇南京210098)

非自治二階哈密頓系統(tǒng)周期解的存在性

石璐, 安天慶*

(河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇南京210098)

用最小作用原理和臨界點理論研究了一類非自治二階哈密頓系統(tǒng)周期解的存在性問題。首先假設(shè)F(t,x)=F1(t,x)+F2(t,x)滿足假設(shè)(A),再使F1滿足次凸條件,并且在[0,T]上的積分趨于無窮,運用最小作用原理,得到一個解的新的存在性結(jié)果。另外,將F1在[0,T]上的積分趨于無窮這一條件減弱為F1在[0,T]的一個正測度子集E上的積分趨于無窮,運用最小作用原理,也能得到同樣的結(jié)果。

次凸位勢;周期解;臨界點;最小作用原理

考慮非自治二階哈密頓系統(tǒng)

周期解的存在性問題。其中T＞0,且F:[0,T]× RN→R滿足下述假設(shè):(A)對每個x∈RN,F(t,x)關(guān)于t可測,對a.e.t∈[0,T],F(t,x)關(guān)于x連續(xù)可微,且存在a∈C[R+,R+],b∈L1([0,T];R+),使得

很多學(xué)者已經(jīng)用最小作用原理證明了問題(1)至少有一個解,且為φ在上的最小值。文中受到文獻(xiàn)[1-4]中結(jié)果與文獻(xiàn)[5-7]中條件的激發(fā),考慮了問題(1)中的次凸問題,同樣通過運用最小作用原理,得到問題(1)的解的新結(jié)果。文中假設(shè)F(t,x)=F1(t,x)+F2(t,x)滿足假設(shè)(A)。

1 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)F1,F2滿足假設(shè)(A),且

(2)?r∈L1(0,T;R+),α∈[0,2),且

使得

注[2]若對于λ,μ＞0,x,y∈RN,有

稱函數(shù)F:RN→R為(λ,μ)次凸。

定理2 假設(shè)F1,F2滿足假設(shè)(A),且

(2)?r∈L1(0,T;R+),α∈[0,2),且

使得

(3)?E?[0,T],且meas(E)＞0,使得

并且?γ∈L1(0,T),使得

則問題(1)至少有一個解,且為φ在H1T(Ω)上的最小值。

2 定理的證明

從而有Sobolev不等式和Wirtinger不等式:

則對應(yīng)的范數(shù)為

易知問題(1)的解即為φ的臨界點。

由文獻(xiàn)[1]可知,該泛函是下半弱連續(xù)的,因為強制的下半弱連續(xù)泛函必有最小值點,所以證明定理1和定理2時,只考慮泛函的強制性。

則由(2λ)-(n-1)＜|x|≤(2λ)-n,有

所以由條件(1)和假設(shè)(A),對于a.e.t∈[0,T]和所有的|x|≥1,有

其中β＜2。

又F1(t,·)是(λ,μ)次凸,則

其中a0=max0≤s≤la(s)。

進一步,知道對于a.e.t∈[0,T]和所有的x∈RN,有

即

由條件(1)和Sobolev不等式,有

其中c1,c2均為正常數(shù)。

由條件(2),知道

所以

由于

則由條件(3),β＜2,α∈[0,2),知道

證畢。

則由(2λ)-(n-1)＜|x|≤(2λ)-n,有

所以由條件(1)和假設(shè)(A),對于a.e.t∈[0,T]和所有的|x|≥1,有

其中a0=max0≤s≤la(s)。

進一步,知道對于a.e.t∈[0,T]和所有的x∈RN,有

其中β＜2。

又F1(t,·)是(λ,μ)次凸,則

即

由條件(1)和Sobolev不等式,有

其中c1,c2,c4均為正常數(shù)。

由條件(2),知道

從而

由于

則由條件(3),β＜2,α∈[0,2),知道

證畢。

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(責(zé)任編輯:楊 勇)

Existence of Periodic Solutions for Nonautonom ous Second O rder Ham iltonian System

SHILu, AN Tianqing*
(College of Science,Hohai University,Nanjing 210098,China)

By using the least action principle and the critical point theory,this paper studies the existence of the periodic solutions for a class of non-autonomous second-order Hamiltonian systems.First,assuming that F(t,x)= F1(t,x)+F2(t,x)satisfies hypothesis(A),then F1meets the subconvex condition,and the integration tends to infinity in[0,T],we can obtain a new existence theorem by using the leastaction principle.Moreover,weweaken the condition that the integration of F1tends to infinity in[0,T]to the case that the integration of F1tends to infinity in a positive measure subset E of[0,T],we can get the same result by using the least action principle.

subconvex potential,periodic solutions,critical points,the least action principle

O 177

A

1671-7147(2015)01-0117-04

2014-09-12;

2014-09-25。

河海大學(xué)中央高校業(yè)務(wù)費項目(B12020128)。

石璐(1990—),女,江蘇淮安人,基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生。

*通信作者:安天慶(1963—),男,甘肅古浪人,教授,博士生導(dǎo)師。主要從事非線性泛函分析等研究。

Email:antq@hhu.edu.cn