吳順喜 李坤 趙聰 黃文晉 鄧文博 嚴(yán)東

【摘 要】取樣定理是把模擬信號變成數(shù)字信號取樣頻率選取的一條重要準(zhǔn)則。對連續(xù)信號進行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率為周期進行周期性延拓形成的。本文選取一模擬信號， 在 Matlab平臺上用不同的取樣頻率對其采樣，利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號采樣、頻譜分析和采樣信號恢復(fù)，計算在臨界采樣、過采樣、欠采樣三種不同條件下恢復(fù)信號的誤差，從而驗證時域采樣定理。

【關(guān)鍵詞】時域采樣定理 連續(xù)信號 頻譜分析儀 MATLAB

從模擬信號到數(shù)字信號，即從連續(xù)信號到離散信號的轉(zhuǎn)換都是通過離散采樣完成的，采樣頻率就是每秒鐘采樣的個數(shù)。根據(jù)香農(nóng)采樣定理，要保證信號不失真，采樣頻率要大于信號最高頻率的兩倍。

1 采樣定理介紹

假設(shè)離散時間信號 是通過對連續(xù)時間信號 取樣獲得

取樣定理的敘述為： 如果 在 > 時 ， = 0， 則連續(xù)時間信號 完全可以由離散時間信號重建恢復(fù) ， 其充要條件是：取樣頻率 ≥2 ； = 2被稱為連續(xù)時間信 號的奈奎斯特 （Nyquist） 頻率。當(dāng) <2時 ， 則會在進行 頻譜復(fù)制時產(chǎn)生重疊 ， 通常稱為混疊 （Aliasing）， 則連續(xù)時間信

號不能由它的取樣信號重建恢復(fù)。

2 運用MATLAB舉例分析

下面選定一個連續(xù)信號，計算在臨界采樣、過采樣、欠采樣三種不同條件下恢復(fù)信號的誤差，從而驗證時域采樣定理。

f1 = 'sin（2*pi*60*t）'

fs0 = caiyang（f1，40）； %頻率fs<2fmax，欠采樣

fr0 = huifu（fs0，40）；

Fs1 = caiyang（f1，120）； %頻率 fs=2fmax， 臨界采樣

fr1 = huifu（fs1，120）；

fs2 = caiyang（f1，160）； %頻率 fs>2fmax， 過采樣

fr2 = huifu（fs2，160）；

2.1創(chuàng)建一個caiyang.m文件

function fz = caiyang（fy，fs）

fs0 = 10000； tp = 0.1；

t = [-tp：1/fs0：tp]；

k1 = 0：999； k2 = -999：-1；

m1 = length（k1）； m2 = length（k2）；

f = [fs0*k2/m2，fs0*k1/m1]；

w = [-2*pi*k2/m2，2*pi*k1/m1]；

fx1=eval（fy）；

FX1 = fx1*exp（-j*[1：length（fx1）]'*w）；

figure

subplot（2，2，1），plot（t，fx1，'r'）

title（'原信號'），xlabel（'時間t（s）'）

axis（[min（t），max（t），min（fx1），max（fx1）]）

subplot（2，2，2），plot（f，abs（FX1），'r'）

title（'原信號幅度頻譜'），xlabel（' 頻率f（Hz）'）

axis（[-100，100，0，max（abs（FX1））+5]）

Ts = 1/fs；

t1 = -tp：Ts：tp；

f1 = [fs*k2/m2，fs*k1/m1]；

t = t1；

fz = eval（fy）；

FZ = fz*exp（-j*[1：length（fz）]'*w）；

subplot（2，2，3），stem（t，fz，'.'），

title（'取樣信號'），xlabel（'時間t（s）'）

line（[min（t），max（t）]，[0，0]）

subplot（2，2，4），plot（f1，abs（FZ），'m'）

title（'取樣信號幅度頻譜'），xlabel（'頻率f（Hz）'）

2.2創(chuàng)建一個huifu.m文件

function fh = huifu（fz，fs）

T = 1/fs； dt = T/10； tp = 0.1；

t = -tp：dt：tp； n = -tp/T：tp/T；

TMN = ones（length（n），1）*t-n'*T*ones（1，length（t））；

fh = fz*sinc（fs*TMN）；

k1 = 0：999； k2 = -999：-1；

m1 = length（k1）； m2 = length（k2）；

w = [-2*pi*k2/m2，2*pi*k1/m1]；

FH = fh*exp（-j*[1：length（fh）]'*w）；

figure

subplot（2，1，1），plot（t，fh，'g'），

st1 = sprintf（'由取樣頻率fs = %d'，fs）；

st2 = '恢復(fù)后的信號'；

st = [st1，st2]；title（st），xlabel（'時間 t（s）'）

axis（[min（t），max（t），min（fh），max（fh）]）

line（[min（t），max（t）]，[0，0]）

f = [10*fs*k2/m2，10*fs*k1/m1]；

subplot（2，1，2），plot（f，abs（FH），'g'）

title（'恢復(fù)后信號的頻譜'），xlabel（'頻率f（Hz）'）

axis（[-100，100，0，max（abs（FH））+2]）；

下面是利用MATLAB分析的圖1-圖6：

從圖1、圖3、圖5的連續(xù)傅里葉變換可以看出，信號f1的頻率為60Hz、，如果采樣頻率f≥120Hz就可滿足時域采樣定理。圖2、圖4、圖6分別為當(dāng)采樣頻率為40Hz、120Hz、160Hz時采樣恢復(fù)后的信號頻譜，當(dāng)f≥120Hz時，信號無明顯失真；而f<120Hz時，不滿足取樣定理，恢復(fù)后的信號頻譜失真。

3 結(jié)語

取樣定理表明，在一定條件下，一個連續(xù)時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的采樣值來表示，并且可以用這些采樣值把信號完全恢復(fù)過來。這樣，采樣定理為連續(xù)時間信號與離散時間信號的相互提供了理論依據(jù)。在數(shù)字信號處理技術(shù)廣泛應(yīng)用的今天，連續(xù)時間信號的離散處理顯得日益重要。

參考文獻：

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