雷雨，高玉平，蔡宏兵

（1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，西安 710600；2.中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710600；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

基于LS+AR模型的三種方式預(yù)報(bào)地球自轉(zhuǎn)參數(shù)的比較

雷雨1，2，3，高玉平1，2，蔡宏兵1，2

（1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，西安 710600；2.中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710600；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京100049）

為研究最小二乘（least squares，LS）模型和自回歸（autoregression，AR）模型的組合（LS+AR）方法用于地球自轉(zhuǎn)參數(shù)（Earth rotation parameters，ERP）的預(yù)報(bào)時(shí)，不同的預(yù)報(bào)方式對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響，我們采用遞推、迭代和間隔這3種預(yù)報(bào)方式對(duì)ERP進(jìn)行預(yù)報(bào)。結(jié)果表明，這3種方式對(duì)日長(zhǎng)變化（length of day，LOD）所有跨度預(yù)報(bào)的精度相當(dāng)，而遞推方式在極移所有跨度的預(yù)報(bào)上表現(xiàn)出精度優(yōu)勢(shì)，間隔方式次之，迭代方式最差。在數(shù)據(jù)利用率和計(jì)算速度方面，遞推和迭代方式的數(shù)據(jù)利用率高，但前者的計(jì)算量明顯小于后者，而間隔方式的數(shù)據(jù)利用率低，但計(jì)算速度最快。

地球自轉(zhuǎn)參數(shù)；預(yù)報(bào)；LS+AR模型；遞推方式；迭代方式；間隔方式

0 引言

地球自轉(zhuǎn)參數(shù)（Earth rotation parameters，ERP）表征了地球自轉(zhuǎn)的實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[1]，包括日長(zhǎng)變化（length of day，LOD）和極移（polar motion，PM）X，Y分量PMX，PMY。ERP是實(shí)現(xiàn)地球參考坐標(biāo)系與天球參考坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換的必需參數(shù)，在深空探測(cè)、衛(wèi)星精密定軌和天文地球動(dòng)力學(xué)研究等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用[2-3]。衛(wèi)星激光測(cè)距（satellite laser ranging，SLR）、甚長(zhǎng)基線干涉（very long baseline interferometry，VLBI）和全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）等現(xiàn)代測(cè)地技術(shù)被廣泛用于地球自轉(zhuǎn)變化的常規(guī)測(cè)量中，提供了高時(shí)空分辨率和高精度的ERP觀測(cè)資料[3-4]。但是由于復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理過(guò)程，由現(xiàn)代測(cè)地技術(shù)獲取的ERP存在幾個(gè)小時(shí)至幾天的延遲，而衛(wèi)星精密定軌等領(lǐng)域?qū)?shí)時(shí)ERP有重要需求[5]，因此，研究高精度的ERP預(yù)報(bào)方法具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前預(yù)報(bào)ERP的主要方法有：1）小波分解（wavelet decomposition，WD）與自協(xié)方差（auto-covariance，AC）模型的組合（WD+AC）[6]；2）大氣角動(dòng)量（atmospheric angular momentum，AAM）預(yù)報(bào)方法[7]；3）卡爾曼濾波（Kalman filter）方法[8]；4）最小二乘（least squares，LS）模型與自回歸（autoregressive，AR）模型的組合（LS+AR）[9-10]；5）LS與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（artificial neural networks，ANN）模型的組合（LS+ANN）[10-12]；6）頻譜分析與LS模型的組合[13]。

為了檢驗(yàn)各種方法的預(yù)報(bào)效果，維也納大學(xué)大地測(cè)量與地球物理研究所從2005年10月1日至2008年2月28日組織了全球性的地球定向參數(shù)預(yù)報(bào)比較研究項(xiàng)目（Earth orientation parameters prediction comparison campaign，EOP PCC）[14]，通過(guò)2年多的預(yù)報(bào)比較，EOP PCC獲得一個(gè)重要結(jié)論：沒(méi)有一種預(yù)測(cè)方法既適合于ERP所有分量的預(yù)報(bào)，又適合于所有跨度的預(yù)報(bào)，上述的前3種方法更適合于LOD預(yù)報(bào)，而后3種方法則對(duì)PMX，PMY預(yù)報(bào)稍有優(yōu)勢(shì)。

EOP PCC比較了不同預(yù)報(bào)方法的預(yù)報(bào)精度情況，但沒(méi)有分析同一預(yù)報(bào)方法下不同預(yù)報(bào)方式的適用特點(diǎn)。預(yù)報(bào)方式一般分為迭代預(yù)報(bào)和間隔預(yù)報(bào)兩種，間隔預(yù)報(bào)方式實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，但該方式要求較長(zhǎng)的基礎(chǔ)序列，如果序列較短，隨著預(yù)報(bào)跨度的增大，數(shù)據(jù)利用率顯著降低，對(duì)ERP中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)精度不理想，且對(duì)規(guī)律項(xiàng)不明顯的序列預(yù)報(bào)效果不好；而迭代預(yù)報(bào)方式中，數(shù)據(jù)利用不受預(yù)報(bào)跨度的影響，數(shù)據(jù)利用率高，且對(duì)規(guī)律項(xiàng)不明顯的序列預(yù)報(bào)效果好。這兩種方式被廣泛用于ERP預(yù)報(bào)中，如王琪潔等采用LS+ANN模型間隔方式預(yù)報(bào)LOD[11]；嚴(yán)鳳等采用LS+AR模型迭代方式預(yù)報(bào)極移和LOD[15]；許雪晴等對(duì)比了AR模型迭代方式和間隔方式的ERP預(yù)報(bào)精度，該研究表明，迭代方式適合LOD所有跨度預(yù)報(bào)和極移中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)，而間隔方式則較適合極移短期預(yù)報(bào)[16]。

本文基于經(jīng)典的LS+AR預(yù)報(bào)模型，對(duì)實(shí)測(cè)ERP數(shù)據(jù)分別進(jìn)行遞推方式、迭代方式和間隔方式的預(yù)報(bào)，并與實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較，對(duì)比這3種方式的預(yù)報(bào)精度，分析各自的適用性。

1 LS+AR模型及其算法流程

1.1 LS模型

地球自轉(zhuǎn)變化包含趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)等復(fù)雜過(guò)程，其中趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)部分采用LS模型進(jìn)行擬合，然后外推預(yù)報(bào)[9]。LS模型的基本形式如下：

式（1）中，xt（t=1，2，…，N）為觀測(cè)序列，a0和a1為趨勢(shì)項(xiàng)擬合系數(shù)，m為周期項(xiàng)個(gè)數(shù)，Ai，Pi和φi分別為周期項(xiàng)振幅、周期和相位，t為UTC時(shí)。對(duì)于PMX，PMY的擬合，該模型包含3個(gè)周期項(xiàng)，周期分別為1.183，1和0.5周年，而關(guān)于LOD的擬合，該模型包含4個(gè)周期項(xiàng)，周期分別為18.6，9.3，1和0.5周年。式（1）中的模型參數(shù)可根據(jù)最小二乘原理求得。

1.2 AR模型

AR模型是指根據(jù)時(shí)間序列變量自身過(guò)去的規(guī)律來(lái)建立預(yù)報(bào)模型[17]，其數(shù)學(xué)模型為

式（2）中，zt（t=1，2，…，N）為平穩(wěn)時(shí)間序列，p為模型階次，φi（i=1，2，…，p）為模型系數(shù)，εt為白噪聲。

AR模型使用的關(guān)鍵是模型階次p的確定，常用的定階準(zhǔn)則有最終預(yù)報(bào)誤差準(zhǔn)則（final prediction error criterion，F(xiàn)PE）、傳遞函數(shù)準(zhǔn)則和信息量準(zhǔn)則等3種[18]，這3種準(zhǔn)則在實(shí)際應(yīng)用中是等效的。本文采用應(yīng)用相對(duì)廣泛的赤池信息量準(zhǔn)則（Akaike information criterion，AIC）來(lái)確定AR模型的階次p[19]，其準(zhǔn)則函數(shù)為

1.3 算法流程

LS+AR模型建模預(yù)報(bào)的算法流程如圖1所示。其預(yù)報(bào)過(guò)程為：首先利用LS模型擬合趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)，然后采用AR模型對(duì)LS擬合殘差序列進(jìn)行建模預(yù)報(bào)，最后對(duì)LS模型的外推值和AR模型的預(yù)報(bào)值疊加獲得最終的ERP預(yù)報(bào)值。

圖1　LS+AR模型算法流程圖

2 預(yù)報(bào)方式

2.1 迭代預(yù)報(bào)方式

然后把zN+1加入原有序列zt（t=1，2，…，N）中組成新序列zt（t=1，2，…，N +1），再重新建立AR模型，進(jìn)而外推得到第2天的預(yù)報(bào)值z(mì)N+2，依次類推，即可獲得第M天的預(yù)報(bào)值z(mì)N+M：

迭代預(yù)報(bào)方式充分利用了基礎(chǔ)序列信息，并且在預(yù)報(bào)過(guò)程中反復(fù)建立AR模型，因此最終確定的AR模型會(huì)受到預(yù)報(bào)誤差的影響。對(duì)于跨度為M天的預(yù)報(bào)，這種預(yù)報(bào)方式需要對(duì)基礎(chǔ)序列作M次AR模型運(yùn)算，所以計(jì)算量比較大，耗費(fèi)的時(shí)間會(huì)長(zhǎng)一些。迭代預(yù)報(bào)方式的流程圖可用圖2表示。對(duì)于M天的預(yù)報(bào)，迭代預(yù)報(bào)方式的計(jì)算復(fù)雜度為O（ N）+O（ N+1）+…+O（ N+M -1），其中O（ N）表示序列長(zhǎng)度為N時(shí)AR模型的計(jì)算復(fù)雜度。

圖2　AR模型迭代預(yù)報(bào)方式流程圖

2.2 遞推預(yù)報(bào)方式

遞推預(yù)報(bào)方式的流程如圖3所示。迭代預(yù)報(bào)方式與遞推預(yù)報(bào)方式的區(qū)別在于，對(duì)于M天的預(yù)報(bào)，前者需要建立M個(gè)AR模型，故需要作M次AR模型計(jì)算，而后者只建立1個(gè)AR模型，故只需作1次AR模型計(jì)算，計(jì)算量大為減少，其計(jì)算復(fù)雜度為（O）N。

圖3　AR模型遞推預(yù)報(bào)方式流程圖

2.3間隔預(yù)報(bào)方式

式（7）中，zN+M為第M天的預(yù)報(bào)值。間隔預(yù)報(bào)方式實(shí)現(xiàn)起來(lái)簡(jiǎn)單，對(duì)所有跨度預(yù)報(bào)均只需作1次AR模型運(yùn)算，其計(jì)算復(fù)雜度為O（int（（N-1）/M）），計(jì)算量比迭代方式和遞推方式要少，但隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增大，基礎(chǔ)預(yù)報(bào)序列長(zhǎng)度迅速縮短，AR模型建模誤差大。間隔預(yù)報(bào)方式的流程如圖4所示。

圖4　AR模型間隔預(yù)報(bào)方式流程圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

根據(jù)上述預(yù)報(bào)方式，利用LS+AR模型分別對(duì)PMX，PMY和LOD作1～90 d不同跨度的預(yù)報(bào)，對(duì)比分析3種預(yù)報(bào)方式的預(yù)報(bào)效果以及適用情況。本文所用ERP數(shù)據(jù)來(lái)自國(guó)際地球自轉(zhuǎn)與參考系服務(wù)（International Earth Rotation and Reference Service，IERS）的EOP 05C04序列，數(shù)據(jù)采樣間隔為1 d，選用1990年1月1日0時(shí)至1999年12月31日0時(shí)（UTC時(shí)）共10 a的ERP序列作為初始基礎(chǔ)序列，預(yù)報(bào)從2000年1月1日0時(shí)到2005年2月6日0時(shí)為止的ERP值，每隔5 d預(yù)報(bào)1次，預(yù)報(bào)起始時(shí)刻每5 d更新1次，基礎(chǔ)序列長(zhǎng)度始終保持不變，這樣共產(chǎn)生356組預(yù)報(bào)序列，每組預(yù)報(bào)序列包含1～90 d跨度的預(yù)報(bào)值。

需要說(shuō)明的是，與極移預(yù)報(bào)過(guò)程不同，對(duì)于LOD預(yù)報(bào)，首先需要對(duì)其進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，即首先根據(jù)IERS規(guī)范扣除LOD序列中周期為5 d～18.6 a的62個(gè)固體地球帶諧潮汐項(xiàng)[20]，再對(duì)改正潮汐項(xiàng)的LOD（稱為L(zhǎng)ODR）序列進(jìn)行建模預(yù)報(bào)，最后將固體地球帶諧潮汐項(xiàng)加入LODR的預(yù)報(bào)序列，得到LOD預(yù)報(bào)值。

為了評(píng)估預(yù)報(bào)效果，選用平均絕對(duì)誤差（mean absolute error，MAE）作為預(yù)報(bào)結(jié)果的精度評(píng)定指標(biāo)，預(yù)報(bào)跨度為M的預(yù)報(bào)結(jié)果的平均絕對(duì)誤差MAEM的計(jì)算公式為

表1分別給出了3種預(yù)報(bào)方式的ERP預(yù)報(bào)精度。為了更加直觀地對(duì)比3種方式的預(yù)報(bào)結(jié)果，圖5～ 7給出了3種方式在不同跨度情況下的預(yù)報(bào)精度比較圖。

結(jié)合表1和圖5～7可以看出：

1）對(duì)于LOD預(yù)報(bào)而言，3種方式的預(yù)報(bào)精度大體相當(dāng)，其中遞推方式較另外2種方式稍有精度優(yōu)勢(shì)，而間隔方式的預(yù)報(bào)精度則隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增大表現(xiàn)出不穩(wěn)定的趨勢(shì)；

2）遞推方式對(duì)PMX和PMY所有跨度預(yù)報(bào)的精度明顯高于另外2種方式，間隔方式的預(yù)報(bào)精度居中，在超短期（1～10 d）的預(yù)報(bào)中精度略遜于遞推方式，而迭代方式的預(yù)報(bào)誤差則隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增大表現(xiàn)出明顯的增大趨勢(shì)，這種現(xiàn)象在LOD預(yù)報(bào)中也有所體現(xiàn)，只是不如極移預(yù)報(bào)那么明顯，這是由于用預(yù)報(bào)序列反復(fù)建立AR模型而導(dǎo)致的誤差累積效應(yīng)。

以下根據(jù)第1節(jié)介紹的預(yù)報(bào)方法和第2節(jié)闡述的預(yù)報(bào)方式算法流程，分析3種預(yù)報(bào)方式的數(shù)據(jù)利用率和計(jì)算耗時(shí)。對(duì)長(zhǎng)度為N的基礎(chǔ)序列作跨度為M天的預(yù)報(bào)，遞推預(yù)報(bào)方式利用的建模序列長(zhǎng)度始終為N，所以其數(shù)據(jù)利用率始終保持不變，迭代預(yù)報(bào)方式可利用的建模序列長(zhǎng)度隨著預(yù)報(bào)跨度的增大而增加，故數(shù)據(jù)利用率非常高，而間隔預(yù)報(bào)方式可利用的建模序列長(zhǎng)度為int（（N-1）/M），int（）代表取整，因此其數(shù)據(jù)利用率隨著預(yù)報(bào)跨度的增加而迅速降低，故當(dāng)預(yù)報(bào)跨度較大時(shí)，對(duì)基礎(chǔ)序列長(zhǎng)度有一定要求。從第2節(jié)所述的計(jì)算復(fù)雜度不難得出，間隔方式的計(jì)算速度最快，最省時(shí)，遞推方式的計(jì)算速度相對(duì)于間隔方式而言稍慢些，但由于該方式只需要進(jìn)行1次AR模型的運(yùn)算，故仍然有較高的計(jì)算效率，而迭代模型由于需要反復(fù)建立AR模型，所以計(jì)算會(huì)相當(dāng)耗時(shí)。

表1　基于LS+AR模型用遞推、迭代和間隔預(yù)報(bào)方式預(yù)報(bào)ERP的精度（MAEM）比較

圖5　基于LS+AR模型用3種方式預(yù)報(bào)PMX的精度比較

圖6　基于LS+AR模型用3種方式預(yù)報(bào)PMY的精度比較

圖7　基于LS+AR模型用3種方式預(yù)報(bào)LOD的精度比較

4 結(jié)語(yǔ)

結(jié)合經(jīng)典的LS+AR預(yù)報(bào)模型，闡述了遞推預(yù)報(bào)方式、迭代預(yù)報(bào)方式和間隔預(yù)報(bào)方式的算法流程。選取IERS 05C04 ERP數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)預(yù)報(bào)序列，分別利用上述3種預(yù)報(bào)方式對(duì)ERP進(jìn)行預(yù)報(bào)，并與實(shí)際觀測(cè)值進(jìn)行比較，統(tǒng)計(jì)這3種方式的預(yù)報(bào)精度。預(yù)報(bào)結(jié)果表明，這3種方式對(duì)LOD所有跨度預(yù)報(bào)的精度基本相當(dāng)，但遞推方式在PMX和PMY所有跨度的預(yù)報(bào)上較另外2種方式有明顯的精度優(yōu)勢(shì)，迭代方式的預(yù)報(bào)誤差隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增大表現(xiàn)出明顯的增大趨勢(shì)，精度最差。在數(shù)據(jù)利用率和計(jì)算量方面，迭代預(yù)報(bào)方式的數(shù)據(jù)利用率最高，但計(jì)算量相對(duì)較大，而間隔預(yù)報(bào)方式的數(shù)據(jù)利用率低，對(duì)基礎(chǔ)序列長(zhǎng)度有一定要求，計(jì)算速度最快，遞推預(yù)報(bào)方式在保證數(shù)據(jù)利用率的同時(shí)又具有較快的計(jì)算速度。因此，間隔預(yù)報(bào)方式適合于對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合，例如ERP的實(shí)時(shí)快速預(yù)報(bào)。

實(shí)際應(yīng)用中可以將間隔方式和遞推方式兩者結(jié)合起來(lái)用于ERP預(yù)報(bào)，即在超短期的實(shí)時(shí)快速預(yù)報(bào)中采用間隔預(yù)報(bào)方式，而在短期和中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中采用遞推預(yù)報(bào)方式。

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Comparison of three modes of LS+AR model for predicting Earth rotation parameters

LEI Yu1，2，3，GAO Yu-ping1，2，CAI Hong-bing1，2
（1.National Time Service Center，Chinese Academy of Sciences，Xi′an 710600，China；2.Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards，National Time Service Center，Chinese Academy of Sciences，Xi′an 710600，China；3.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China）

In order to study the influences of the different modes of combined LS（least square）+AR（autoregression） model on the prediction of ERP（Earth rotation parameters），we adapted three modes，i.e.the recursion mode，the iteration mode and the interval mode，to predict ERP.The results show that the three modes have equivalent prediction accuracies in forecasting the length of day（LOD） for all prediction spans，while in forecasting the polar motion the recursion mode has the highest prediction accuracy，and the interval mode outperforms the iterative mode.In addition，the analyses indicate that the data-utilization rates for the recursionand iterative modes are higher than that for the interval mode，however，the interval mode shows the fastest computation speed compared with the other two modes，and the amount of calculation for recursion mode is less than that for iteration mode.

Earth rotation parameters（ERP）； prediction； LS+AR model； recursion mode； iteration mode；interval mode

P227

A

1674-0637（2015）01-0052-09

10.13875/j.issn.1674-0637.2015-01-0052-09

2014-05-27

中國(guó)科學(xué)院“西部之光”人才培養(yǎng)計(jì)劃“聯(lián)合學(xué)者”資助項(xiàng)目

雷雨，男，博士研究生，助理研究員，主要從事地球自轉(zhuǎn)變化監(jiān)測(cè)與預(yù)報(bào)研究。