趙書紅，廣偉，袁海波，屈俐俐，尹東山

（1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，西安 710600；2.中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710600；3.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京100049）

Vondrak平滑因子最佳確定方法及在時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)中的應(yīng)用

趙書紅1，2，3，廣偉1，2，袁海波1，2，屈俐俐1，2，尹東山1，2，3

（1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，西安 710600；2.中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710600；3.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京100049）

考慮到原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)和遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)的噪聲水平具有時(shí)變性，因此選用Vondrak平滑方法對(duì)這兩種數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，并用交叉證認(rèn)法動(dòng)態(tài)地選取平滑因子。利用模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證了交叉證認(rèn)法的有效性，并利用實(shí)測(cè)的原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)及遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行分析驗(yàn)證，結(jié)果表明交叉證認(rèn)法可以針對(duì)不同類型的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到客觀、最佳的平滑因子，有效地濾除原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)和遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)中的大部分噪聲，對(duì)進(jìn)一步提高時(shí)間保持精度有積極的意義。

Vondrak平滑；交叉證認(rèn)法；平滑度；擬合度；時(shí)間比對(duì)

0 引言

時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)主要包括原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)和遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)，它們是時(shí)間保持過程中重要的數(shù)據(jù)來(lái)源。原子鐘的輸出不僅包含有用的信號(hào)，也包含不確定的隨機(jī)噪聲；同時(shí)遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)會(huì)受到觀測(cè)噪聲及其他因素的影響。以上這些因素的影響勢(shì)必會(huì)引入地方原子時(shí)的計(jì)算中，進(jìn)而降低時(shí)間保持的精度。因此對(duì)時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑是時(shí)間實(shí)驗(yàn)室的一項(xiàng)重要的任務(wù)。

目前常用的平滑方法有很多種，其中Vondrak平滑方法在天文數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用最廣，該方法不需要了解觀測(cè)資料的變化規(guī)律，就能夠?qū)Φ乳g隔或非等間隔的觀測(cè)資料進(jìn)行有效的平滑。這種平滑方法中包含了一個(gè)平滑因子ε，只有當(dāng)平滑因子與噪聲水平相符時(shí)，才能夠有效地消除隨機(jī)噪聲，因此平滑因子的選取是至關(guān)重要的。

原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)和遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)中的噪聲水平具有時(shí)變性，會(huì)隨著外界環(huán)境、設(shè)備噪聲等因素的影響而改變，因此平滑因子的選取不能僅憑經(jīng)驗(yàn)決定，需針對(duì)不同的數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)確定。目前常用的平滑因子選取方法，如測(cè)量誤差法、平滑誤差法、頻率響應(yīng)法，其評(píng)定準(zhǔn)則均人為干預(yù)，不能夠客觀確定平滑因子，一旦在很小的范圍內(nèi)選取平滑因子，這幾種方法都無(wú)法分辨出最佳平滑因子。事實(shí)上，對(duì)時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)的平滑中，同一類型的數(shù)據(jù)一般都選擇相同的平滑因子，沒有考慮噪聲水平具有時(shí)變性的問題。而交叉證認(rèn)法主要是通過對(duì)資料序列中的一些資料樣本的相互交叉證認(rèn)來(lái)選取合理的平滑因子，在計(jì)算過程中，需要多次隨機(jī)選取測(cè)量資料的證認(rèn)樣本，因此這種平滑方法沒有人為干預(yù)，可以比較客觀地確定平滑參數(shù)。針對(duì)不同類型的數(shù)據(jù)、或噪聲不同的相同類型數(shù)據(jù)，平滑因子的選取應(yīng)該是不同的，因此交叉證認(rèn)法考慮了噪聲時(shí)變性的問題，即實(shí)現(xiàn)了Vondrak平滑因子的動(dòng)態(tài)自適應(yīng)確定。

本文利用交叉證認(rèn)法選取最佳平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法對(duì)模擬數(shù)據(jù)和實(shí)際測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理，對(duì)處理后的結(jié)果進(jìn)行細(xì)致的分析，并給出合理的評(píng)價(jià)結(jié)果。

1 基本原理

1.1 Vondrak平滑方法

式（1）中

1.2交叉證認(rèn)法

為解決噪聲時(shí)變性的影響，可利用交叉證認(rèn)法動(dòng)態(tài)自適應(yīng)地確定出平滑因子，從而客觀地給出最佳的平滑因子。交叉證認(rèn)法的基本思想是：設(shè)X是一個(gè)數(shù)據(jù)序列全部數(shù)據(jù)的集合，在X中隨機(jī)選取少量數(shù)據(jù)構(gòu)成X的一個(gè)子集A，用A的余集B的全部數(shù)據(jù)作一平滑曲線，并計(jì)算A的數(shù)據(jù)對(duì)此曲線的標(biāo)準(zhǔn)偏差。計(jì)算出所有子集A的的均值，獲取使該均值最小的那個(gè)平滑參數(shù)，該平滑參數(shù)被認(rèn)為是最佳的平滑因子。其實(shí)現(xiàn)的主要步驟[2]為：

1.3 最佳平滑因子的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)

1）最小失真度D是指平滑后的曲線與信號(hào)真值之間的標(biāo)準(zhǔn)差，其計(jì)算公式[3]為

2）均方根誤差（RMSE）是指觀測(cè)數(shù)據(jù)與最佳平滑曲線之間的標(biāo)準(zhǔn)差，也可稱為噪聲水平估計(jì)值。其計(jì)算公式[4-5]為

3）原子鐘頻率穩(wěn)定度

原子鐘的頻率穩(wěn)定度通常是指其輸出的頻率信號(hào)的隨機(jī)波動(dòng)大小，也可作為對(duì)最終平滑結(jié)果的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)之一。原子鐘頻率穩(wěn)定度在時(shí)域上常用是阿倫方差（Allan variation，AVAR）或阿倫方差的平方根即阿倫偏差（Allan deviation,，ADEV）來(lái)表征，式（9）和（10）分別是重疊阿倫偏差和修正阿倫偏差的計(jì)算公式[6]：

式（9）和式（10）中，τ表示采樣時(shí)間，m表示平均因子，表示最小采樣間隔，N表示在一個(gè)采樣周期內(nèi)以τ為采樣間隔的樣本數(shù)。

2 實(shí)例驗(yàn)證和分析

我們選用一些模擬數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作為實(shí)例，利用交叉證認(rèn)法來(lái)選取最佳的平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，利用合理的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來(lái)檢驗(yàn)平滑后的實(shí)際效果。

2.1 模擬數(shù)據(jù)分析

任何平滑方法都類似于單邊濾波器，最佳平滑度的選擇實(shí)質(zhì)上是選擇一個(gè)合適的截?cái)囝l率，以保證信號(hào)中的有用信號(hào)盡可能地保存下來(lái)。使用模擬數(shù)據(jù)的目的是用來(lái)驗(yàn)證交叉證認(rèn)法選擇平滑因子的有效性，選用一個(gè)單頻周期信號(hào)加上正態(tài)隨機(jī)噪聲的簡(jiǎn)單模型即可說(shuō)明問題，模型具體描述為：

式（11）中，（ν）t是模擬信號(hào)隨機(jī)噪聲（正態(tài)白噪聲），T為模擬信號(hào)的周期。

式（11）中選取多個(gè)模擬信號(hào)的周期及多個(gè)隨機(jī)噪聲的均方差，利用交叉證認(rèn)法確定最佳的平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法來(lái)平滑數(shù)據(jù)，驗(yàn)證是否能夠獲得最佳的平滑因子。模擬序列的計(jì)算結(jié)果示于表1。

表1　模擬序列的計(jì)算結(jié)果

從表1可以看出，各模擬序列的噪聲水平估計(jì)與已知的輸入噪聲水平符合程度很好，兩者之間的偏差均很小，且當(dāng)信號(hào)周期不同或噪聲水平不同時(shí)，最佳平滑因子的選取也會(huì)有明顯的差異，這也就表明了針對(duì)不同的實(shí)際應(yīng)用，不能隨意憑經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷平滑因子，否則很可能造成平滑后的數(shù)據(jù)與真實(shí)的情況發(fā)生較大的偏差。因此，利用模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證了交叉證認(rèn)法可以針對(duì)不同的數(shù)據(jù)給出客觀、最優(yōu)的平滑因子，結(jié)合Vondrak方法最終給出最佳的平滑曲線，且平滑后的曲線確實(shí)符合盡可能保留信號(hào)及削弱噪聲的目的。

2.2實(shí)例分析

2.2.1 原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)

原子鐘自身噪聲水平不僅影響其頻率穩(wěn)定特性，還會(huì)影響由原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的時(shí)間尺度的穩(wěn)定度和準(zhǔn)確度，因此在使用原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)時(shí)，降低原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)中的噪聲和其他觀測(cè)手段帶來(lái)的誤差是很有必要的。為了驗(yàn)證交叉證認(rèn)法選取最佳平滑因子的有效性，選用時(shí)間跨度為2014年7月1日（MJD=56 839）至2014年8月1日（MJD=56 870）期間2臺(tái)氫原子鐘的比對(duì)數(shù)據(jù)（HM4297-HM4296，并扣除了二次項(xiàng)趨勢(shì)）。

利用交叉證認(rèn)法確定最佳平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法對(duì)原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，圖1為原子鐘數(shù)據(jù)與平滑后結(jié)果的比較。從圖1可以看出，平滑后的曲線比較光滑，且平滑后的數(shù)據(jù)基本在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，有一定的保真度。依據(jù)交叉證認(rèn)法的原理可知，選取使得證認(rèn)樣本的平均方差達(dá)到最小的平滑參數(shù)值作為最佳的平滑因子，平滑因子與證認(rèn)樣本的平均方差的關(guān)系見圖2。從圖2可看出，最佳平滑因子為5，采用交叉證認(rèn)法確定了最佳平滑因子后，結(jié)合Vondrak平滑方法對(duì)原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，平滑后的原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定度有大幅度的提高，如表2所示。Vondrak平滑方法主要消除的是相位白噪聲，它主要表現(xiàn)在短期項(xiàng)上，而平滑后結(jié)果的穩(wěn)定度對(duì)短期和長(zhǎng)期而言均有較大的提高，這明顯與相位白噪聲的性質(zhì)不符合。分析其過分平滑產(chǎn)生的原因，發(fā)現(xiàn)異常點(diǎn)的出現(xiàn)會(huì)在很大程度上影響對(duì)原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)的平滑，因此在處理原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)時(shí)，需先對(duì)原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行粗差剔除，選用3σ粗差剔除方法，剔除原子鐘的異常點(diǎn)，然后再利用Vondrak平滑方法結(jié)合交叉證認(rèn)法對(duì)原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，對(duì)平滑結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。圖3為原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)與平滑后結(jié)果的比較，圖4為平滑因子與證認(rèn)樣本的平均方差的關(guān)系。

圖1　原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)與平滑后結(jié)果的比較（未做粗差剔除）

圖2　平滑因子與證認(rèn)樣本的平均方差的關(guān)系（未做粗差剔除）

表2　原子鐘數(shù)據(jù)平滑前后穩(wěn)定度比較（未做粗差剔除）

圖3　原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)與平滑后結(jié)果的比較（粗差剔除后）

圖4　平滑因子與證認(rèn)樣本的平均方差的關(guān)系（粗差剔除后）

利用交叉證認(rèn)法來(lái)選取最佳平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法對(duì)粗差剔除后的原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，從圖3和圖4可以看出，平滑后的曲線能夠反映出原子鐘數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)，且隨著平滑因子的增大，證認(rèn)樣本的平均方差先減小后增大，當(dāng)證認(rèn)樣本的平均方差取最小值時(shí)，平滑度與擬合度達(dá)到了最大的融合。

圖5為原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差，圖6為原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差分布圖。從圖5和圖6可以看出，實(shí)測(cè)的原子鐘數(shù)據(jù)相對(duì)于平滑曲線值的殘差在零值附近上下波動(dòng)，且殘差的分布服從高斯分布，符合相位白噪聲的性質(zhì)。圖7為殘差的修正阿倫偏差值與采樣間隔之間的關(guān)系。從圖7可看出，殘差的修正阿倫偏差值的對(duì)數(shù)相對(duì)于采樣間隔τ的對(duì)數(shù)，斜率為-1.55，而相位白噪聲的修正阿倫偏差值的對(duì)數(shù)相對(duì)于采樣間隔的對(duì)數(shù)，斜率為（-3/2）[6]，這兩個(gè)斜率比較接近，顯然濾除的噪聲主要是相位白噪聲。采用交叉證認(rèn)法確定了最佳因子，并結(jié)合Vondrak平滑方法對(duì)原子鐘比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，平滑后的數(shù)據(jù)短期穩(wěn)定度有很明顯的提高，如表3所示。因此交叉證認(rèn)法可以確定出最佳的平滑因子，利用該方法對(duì)原子鐘數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，平滑結(jié)果最優(yōu)且具有高保真度。

圖5　原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差

圖6　原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差分布圖

圖7　殘差的修正阿倫偏差值與采樣間隔τ之間的關(guān)系

表3　原子鐘數(shù)據(jù)平滑前后穩(wěn)定度比較（粗差剔除后）

2.2.2 精密單點(diǎn)定位時(shí)間傳遞

在時(shí)間傳遞中，Vondark平滑方法經(jīng)常被用于消除比對(duì)鏈路的隨機(jī)噪聲。精密單點(diǎn)定位（precise point positioning，PPP）時(shí)間傳遞方法是目前國(guó)際時(shí)間比對(duì)工作中被廣泛采用的方法之一，為了驗(yàn)證交叉證認(rèn)法選擇最佳平滑因子的有效性，選取BIPM公布的PTB和USNO的PPP時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)（UTC（PTB）-UTC（USNO）），時(shí)間跨度為2014年1月25日（MJD=56 682）到2014年2月28日（MJD=56 716）[6]。

利用交叉證認(rèn)法確定最佳平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，圖8為對(duì)上述遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)結(jié)果平滑前后的比較。從圖8可看出平滑后的結(jié)果與實(shí)測(cè)的PTB-USNO鏈路比對(duì)結(jié)果很接近（為了便于區(qū)分平滑前后的曲線，將平滑后的曲線下移了2 ns），這說(shuō)明平滑后的曲線能夠反映出遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)，具有高保真度。圖9為原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差，圖10為原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差分布圖。從圖9和圖10可知，實(shí)測(cè)的遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)相對(duì)于平滑結(jié)果的殘差在零值附近上下波動(dòng)，且殘差的分布服從高斯分布，符合相位白噪聲的性質(zhì)。圖11為殘差的修正阿倫偏差值與采樣間隔之間的關(guān)系。從圖11可看出殘差的修正阿倫偏差值的對(duì)數(shù)相對(duì)于采樣間隔τ的對(duì)數(shù)，斜率為-1.5，與相位白噪聲的修正阿倫偏差值的對(duì)數(shù)相對(duì)于采樣間隔τ的對(duì)數(shù)的斜率為（-3/2）的情況相比較，這兩個(gè)斜率保持一致，由此可知濾除的噪聲主要是相位白噪聲。利用交叉證認(rèn)法選擇最佳的平滑因子，結(jié)合Vondrak平滑方法可以明顯改善遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)的短期穩(wěn)定度，見表4。因此利用Vondrak平滑方法結(jié)合交叉證認(rèn)法對(duì)遠(yuǎn)程時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑，可以得到最優(yōu)的平滑結(jié)果并具有高保真度。

圖8　PTB-USNO鏈路比對(duì)結(jié)果平滑前后的比較

圖9　原始數(shù)據(jù)與平滑結(jié)果之間的殘差

圖10　原始數(shù)據(jù)與平滑曲線的殘差分布圖

圖11　殘差的修正阿倫偏差值與采樣間隔τ之間的關(guān)系

表4　PTB-USNO鏈路時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)平滑前后穩(wěn)定度比較

3 結(jié)語(yǔ)

交叉證認(rèn)法可以比較客觀、動(dòng)態(tài)地給出最佳的平滑因子，同時(shí)也可使平滑后的曲線具有最小的失真度。利用這種方法對(duì)時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，最終結(jié)果表明Vondrak平滑方法結(jié)合交叉證認(rèn)法可以有效地濾除大部分的噪聲，且時(shí)間比對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定度有明顯的改善，從而有助于進(jìn)一步提高時(shí)間保持精度。

[1] VONDRAK J.Problem of smoothing observational data II[J].Bull Astron.Inst.Czechoslov., 1977, 28(2): 84-89.

[2] 丁月蓉, 鄭大偉.天文測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法[M].南京: 南京大學(xué)出版社, 1990.

[3] 趙銘.觀測(cè)序列最佳平滑度的確定和精度的估計(jì)[J].天文學(xué)報(bào), 1985, 26(1): 28-34.

[4] 黃坤儀, 周雄.Whittaker-Vondrak法濾波本質(zhì)和數(shù)值濾波的方差與相關(guān)性分析[J].天文學(xué)報(bào), 1981, 22(2): 120-130.

[5] ZHENG Da-wei, ZHONG Ping, DING Xiao-li, et al.Filtering GPS time series using a Vondrak filter and cross-validation[J].Journal of Geodesy, 2005, 79(6/7): 363-369.

[6] RILEY W J.Handbook of Frequency Stability Analysis[M].Washington: National Institute of Standards and Technology Special Publication, 2008.

[7] 雷雨, 趙丹寧.利用Vondrak平滑處理PPP時(shí)間傳遞的隨機(jī)噪聲[J].測(cè)繪工程.2013, 22(6): 18-21.

Determination of optimal Vondrak filter factor and application to time comparisons

ZHAO Shu-hong1，2，3，GUANG Wei1，2，YUAN Hai-bo1，2，QU Li-li1，2，YIN Dong-shan1，2，3
（1.National Time Service Center，Chinese Academy of Sciences，Xi′an 710600，China；2.Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards，National Time Service Center，Chinese Academy of Sciences，Xi′an 710600，China；3.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China）

In view of that the noise level of the data from local atomic clock comparisons and long distance clock comparisons vary with time，the Vondrak filter is adopted to smooth the above-mentioned two kinds of data，in which the filter factors are determined dynamically by using the cross validation method.The feasibility of this method is validated by using the simulation data and this method is applied to the measured data for local atomic clock comparisons and long distance clock comparisons.The results show that the objective and optimal filter factors for different types of data can be obtained with the cross validation method and the most of the noisecan be filtered，being significant for improving the precision of time keeping.

Vondrak filter； cross validation； smoothness； fitness； time comparison

P127.1

A

1674-0637（2015）01-0021-09

10.13875/j.issn.1674-0637.2015-01-0021-09

2014-08-26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11303032，11473029）；地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金課題資助項(xiàng)目（SKLGIE2013-M-1-1）

趙書紅，女，博士，助理研究員，主要從事時(shí)間頻率應(yīng)用研究。