萬軒，張萬里，趙克全

（1.重慶電訊職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，重慶402247；2.重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331）

基于改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理

萬軒1，張萬里2，趙克全2

（1.重慶電訊職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，重慶402247；2.重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331）

Ekeland變分原理在最優(yōu)化理論及應(yīng)用研究中具有十分重要的作用.利用非線性標(biāo)量化函數(shù)及相應(yīng)的非凸分離定理建立了基于改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理.新的Ekeland變分原理包含了一些經(jīng)典的Ekeland變分原理作為其特例.

改進(jìn)集；Ekeland變分原理；集值映射；非線性標(biāo)量化函數(shù)

1　引言

眾所周知，經(jīng)典的Ekeland變分原理在最優(yōu)化理論及應(yīng)用，控制理論和非線性分析等很多領(lǐng)域中都具有十分廣泛的應(yīng)用［1-2］.近年來，許多學(xué)者對經(jīng)典的Ekeland變分原理進(jìn)行了深入研究，獲得了一系列具有重要理論意義與價(jià)值的研究成果［3-9］.特別地，文獻(xiàn)［3］分別基于完備序空間和完備度量空間建立了廣義集值Ekeland變分原理.文獻(xiàn)［4］建立了局部凸空間中的一類變形的集值Ekeland變分原理，即Ha型集值Ekeland變分原理，并研究了這類集值Ekeland變分原理的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)［5］基于完備度量空間利用集值度量等概念對向量值Ekeland變分原理進(jìn)行推廣，得出了一類新的帶集值度量的Ekeland變分原理.隨后，Guti′errez等人又在文獻(xiàn)［6］中基于度量空間（不必完備）利用一類近似解建立了一類集值Ekeland變分原理.此外，文獻(xiàn)［8］對文獻(xiàn)［4］中所建立的Ha型集值Ekeland變分原理進(jìn)行了推廣，并建立了相應(yīng)的等價(jià)性結(jié)果.文獻(xiàn)［9］中利用集值擬度量進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)［5］中獲得的主要結(jié)果，建立了集值擬度量的集值Ekeland變分原理，并由此獲得了向量優(yōu)化問題近似解的一些相關(guān)研究結(jié)果.

文獻(xiàn)［10］基于comprehensive集提出了有限維空間中改進(jìn)集的概念，并研究了改進(jìn)集的一些拓?fù)湫再|(zhì).文獻(xiàn)［11］將改進(jìn)集及E-有效解概念推廣到了一般實(shí)分離局部凸拓?fù)渚€性空間并研究了它們的一些性質(zhì).目前，改進(jìn)集已成為研究向量優(yōu)化問題近似解，特別是統(tǒng)一形式的近似解的重要工具之一［12-14］.特別地，文獻(xiàn)［12］基于改進(jìn)集提出了鄰近E-次似凸性概念和集值向量優(yōu)化問題弱E-最優(yōu)解概念，并建立了鄰近E-次似凸性假設(shè)條件下的擇一性定理和近似解的線性標(biāo)量化定理等.文獻(xiàn)［13］基于改進(jìn)集提出了E-Benson真有效解的概念，并基于E-次似凸性下的擇一性定理建立了這類近似真有效解的線性標(biāo)量化定理和拉格朗日乘子定理等.

受文獻(xiàn)［8-9，12-13］中相關(guān)研究工作的啟發(fā)，本文利用改進(jìn)集和非線性標(biāo)量化函數(shù)等工具建立了集值映射的Ekeland變分原理.本文所建立的新的集值Ekeland變分原理包含了一些經(jīng)典形式的Ekeland變分原理作為其特例.

2　預(yù)備知識

假定（X，d）是度量空間，Y是局部凸空間，Rn表示n維歐幾里得空間，Rn+表示Rn中的非負(fù)象限錐，N+表示正整數(shù)全體.設(shè)A?Y，int A、?A和YA分別表示A的拓?fù)鋬?nèi)部、A的邊界和A的補(bǔ)集.A的錐包為：

錐K?Y稱為點(diǎn)的，若K∩（-K）=｛0｝.設(shè)K為Y中具有非空拓?fù)鋬?nèi)部的閉凸點(diǎn)錐，Y中由K誘導(dǎo)的偏序定義為對任意的x，y∈Y，x≤Ky?y-x∈K.

設(shè)F：X?Y為集值映射.稱F為K-閉的，若對任意的x∈X，F(xiàn)（x）+K是閉的.稱F（X）是K-有界的，若存在有界集M?Y使得F（X）?M+K.

定義2.1［8］稱（X，d）為（F，K）-下完備的，若Cauchy點(diǎn)列｛xn｝?X收斂且滿足對任意的正整數(shù)n，F(xiàn)（xn）?F（xn+1）+K.

定義2.2［8］稱F為K-序列下單調(diào)的，若對任意的正整數(shù)n，F(xiàn)（xn）?F（xn+1）+K且蘊(yùn)含

其中k∈Y，?≠K?Y，inf?=+∞.

引理2.1［8］設(shè)k∈int K，則Ψk，K是次線性下半連續(xù)函數(shù)且具有如下性質(zhì)：

（i）Ψk，K（y）＜r?y∈rk-int K；

（ii）Ψk，K（y）≤r?y∈rk-K；

（iii）Ψk，K（y）=r?y∈rk-?K；特別地，Ψk，K（k）=1，Ψk，K（λk）=λ，?λ∈R1；

（iv）Ψk，K（y）≥r?y?rk-int K；

（v）Ψk，K（y）＞r?y?rk-K；

（vi）Ψk，K（y+λk）=Ψk，K（y）+λ，?y∈Y，?λ∈R1；

（vii）y1≤Ky2?Ψk，K（y1）≤Ψk，K（y2）.

定義2.3［1012］稱非空集E?Y為關(guān)于K的改進(jìn)集，若0?E且E+K=E.Y中關(guān)于K的全體改進(jìn)集簇記為

注2.1由文獻(xiàn)［12］中的引理2.1可知，int K≠?蘊(yùn)含int E≠?.

3　基于改進(jìn)集的集值Ekeland變分原理

本節(jié)主要利用非線性標(biāo)量化函數(shù)及其相應(yīng)的非凸分離定理建立基于改建集的集值Ekeland變分原理，并討論它的一些特殊情形.

則?滿足自反性和傳遞性.

注3.1令k0∈int K，ε＞0且E=εk0+K.則定理3.1可退化為文獻(xiàn)［8］中定理3.1的λ=1的情況.

注3.2令k∈int K，ε＞0，δ＞0且E=（ε+δ）k+K.則定理3.1退化為文獻(xiàn)［6］中定理5.2的λ=1的情況.

若F為單值的，則下面的推論3.1是定理3.1的直接結(jié)果.

［1］Ekeland I.On the variational principle［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1974，47（2）：324-353.

［2］Ekeland I.Nonconvex minimization problems［J］.Bulletin（New Series）of the American Mathematical Society，1979，1（3）：443-474.

［3］Chen Guangya，Huang Xuexiang，Hou S H.General Ekeland′s variational principle for set-valued mappings［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2000，106（1）：151-164.

［4］Ha T X D.Some variants of the Ekeland variational principle for a set-valued map［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2005，124（1）：187-206.

［5］Guti′errez C，Jim′enez B，Novo V.A set-valued Ekeland′s variational principle in vector optimization［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，2008，47（2）：883-903.

［6］Guti′errez C，Jim′enez B，Novo V，et al.Strict approximate solutions in set-valued optimization with applications to the approximate Ekeland variational principle［J］.Nonlinear Analysis，2010，73（12）：3842-3855.

［7］Khanh P Q，Quy D N.On generalized Ekeland′s variational principle and equivalent formulations for set-valued mappings［J］.Journal of Global Optimization，2011，49（3）：381-396.

［8］Qiu Jinghui.On Ha′s version of set-valued Ekeland′s variational principle［J］.Acta Mathematica Sinica，English Series，2012，28（4）：717-726.

［9］Qiu Jinghui.Set-valued quasi-metrics and a general Ekeland′s variational principle in vector optimization［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，2013，51（2）：1350-1371.

［10］Chicco M，Mignanego F，Pusillo L，et al.Vector optimization problem via improvement sets［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2011，150（3）：516-529.

［11］Guti′errez C，Jim′enez B，Novo V.Improvement sets and vector optimization［J］.European Journal of Operational Research，2012，223（2）：304-311.

［12］Zhao Kequan，Yang Xinmin，Peng Jianwen.Weak E-optimal solution in vector optimization［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2013，17（4）：1287-1302.

［13］Zhao Kequan，Yang Xinmin.E-Benson proper efficiency in vector optimization［J］.Optimization，2015，64（4）：739-752.

［14］Zhao Kequan，Yang Xinmin.A unified stability result with perturbations in vector optimization［J］.Optimization Letters，2013，7（8）：1913-1919.

Ekeland′s variational principle via improvement sets for set-valued maps

Wan Xuan1，Zhang Wanli2，Zhao Kequan2
（1.Department of Foundation，Chongqing Telecommunication Polytechnic College，Chongqing402247，China；2.College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing401331，China）

Ekeland′s variational principles have been playing a very important role in optimization theory and it′s applications.In this paper，based on improvement sets，we establish an Ekeland′s variational principle for set-valued maps by using a kind of nonlinear scalarization function and its corresponding nonconvex separation theorem.New Ekeland′s variational principle includes some classical Ekeland′s variational principles as its special cases.

improvement sets，Ekeland′s variational principle，set-valued maps，nonlinear scalarizaion function

O176；O177.9

A

1008-5513（2015）06-0567-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.003

2015-05-15.

國家自然科學(xué)基金（11301574，11271391）；重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目（cstc2015jcyjA00027）；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（KJ1500303）；第二批重慶市高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃.

萬軒（1987-），碩士，講師，研究方向：向量優(yōu)化理論與方法.

2010 MSC：65K10