賀一川

（湖南省長沙市明德中學(xué)，湖南長沙410000）

刀具磨損曲線的分段線性擬合研究

賀一川

（湖南省長沙市明德中學(xué)，湖南長沙410000）

將線性擬合方法應(yīng)用到刀具磨損曲線的擬合，采用分段線性擬合的思想來擬合刀具磨損的非線性過程。分析了線性擬合的原理，提出采用相關(guān)系數(shù)來實(shí)現(xiàn)對非線性過程的自動(dòng)分段線性擬合，給出了分段線性擬合算法的詳細(xì)步驟。對刀具磨損曲線的實(shí)際擬合結(jié)果表明，該算法擬合的直線準(zhǔn)確地反映了刀具的不同磨損狀態(tài)。

刀具磨損；線性擬合；相關(guān)系數(shù)；分段擬合

0　引言

刀具磨損是切削加工中的一個(gè)重要問題。刀具的磨損一般用后刀面磨損量來表示，其過程分為三個(gè)階段：初期磨損階段、正常磨損階段和劇烈磨損階段［1］。如果將刀具磨損過程用曲線來表示，橫坐標(biāo)為切削時(shí)間、縱坐標(biāo)為刀具磨損量，則這一曲線一般為非線性曲線，其中初期磨損階段刀具磨損較快，正常磨損階段磨損變小，劇烈磨損階段的磨損又變大［1］。雖然刀具的整個(gè)磨損過程是非線性的，但是作者發(fā)現(xiàn)，可以近似用分段線性的方法來擬合這一過程，并提出了一種自動(dòng)多段線性擬合算法，用于實(shí)現(xiàn)對刀具磨損曲線的自動(dòng)分段擬合。文中對自動(dòng)多段線性擬合算法進(jìn)行了詳細(xì)的論述，采用相關(guān)系數(shù)法對擬合數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)分段，無需人工干預(yù)，就可實(shí)現(xiàn)對刀具磨損的非線性曲線的分段線性擬合，實(shí)例證明這種方法的效果很好。

1　自動(dòng)分段線性擬合算法

1.1線性擬合算法

對于一組實(shí)測的數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，…，n，如果發(fā)現(xiàn)xi、yi之間是線性或近似線性的，則可以用一個(gè)直線方程來擬合這組數(shù)據(jù)［2］：

采用最小二乘法求解上式，可以得到：

式（3）、（4）中，xˉ和yˉ分別表示xi和yi的均值，如下兩式所示：

這樣，就得到了一個(gè)直線方程，實(shí)現(xiàn)了對數(shù)據(jù)（xi，yi）的擬合，但這僅僅只是一個(gè)直線方程，它還不能對刀具磨損曲線準(zhǔn)確擬合。為了實(shí)現(xiàn)對刀具磨損曲線的準(zhǔn)確擬合，提出了一種自動(dòng)分段線性擬合算法，此算法顯著區(qū)別于文獻(xiàn)［2-3］的單段線性擬合算法，可以實(shí)現(xiàn)對刀具磨損非線性曲線的自動(dòng)分段線性擬合。

1.2自動(dòng)分段線性擬合算法

在論述自動(dòng)分段線性擬合算法之前，首先來分析擬合直線的可靠性。擬合直線的可靠性可用通過相關(guān)系數(shù)來檢驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)定義如下：

當(dāng)r=0時(shí)，xi和yi之間沒有任何線性相關(guān)性，此時(shí)得到的直線方程是沒有意義的。當(dāng)r=1時(shí)，xi和yi之間存在確定的線性關(guān)系，此時(shí)得到的直線方程是完全反映了xi和yi之間的線性關(guān)系。對于一般實(shí)測的數(shù)據(jù)（xi，yi），r的絕對值介于0到1之間，越接近于1，xi和yi之間的線性關(guān)系越好，在實(shí)際中，當(dāng)=0.98時(shí)，就可認(rèn)為xi和yi之間存在明確的線性關(guān)系。基于這一原理，針對刀具磨損曲線分段近似線性的特點(diǎn)，提出了一種自動(dòng)分段線性擬合算法，其步驟如下。

（1）對于一組實(shí)測的數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，…，n，根據(jù)式（7）計(jì)算其相關(guān)系數(shù)r，如果≥0.98，則整組數(shù)據(jù)（xi，yi）之間存在確定的線性關(guān)系，此時(shí)無須對其進(jìn)行分段擬合，利用式（3）、（4）就可得到整組數(shù)據(jù)（xi，yi）擬合直線的斜率a和截距b，算法結(jié)束；如果＜0.98，則繼續(xù)進(jìn)行第2步。

（2）因xi和yi（i=1，2，…，n）之間的相關(guān)系數(shù)||r＜0.98，說明整組數(shù)據(jù)（xi，yi）之間的線性關(guān)系不強(qiáng)，此時(shí)將數(shù)據(jù)長度減1，再計(jì)算xi和yi之間的相關(guān)系數(shù)r，如果＜0.98，則繼續(xù)將數(shù)據(jù)長度減1，并計(jì)算此時(shí)xi和yi之間的相關(guān)系數(shù)r，如此重復(fù)，直到||r≥0.98，則進(jìn)入第三步。

（3）設(shè)此時(shí)的數(shù)據(jù)長度為m，這段數(shù)據(jù)xi和yi（i=1，2，…，m）之間存在確定的線性關(guān)系，可以對其進(jìn)行直線擬合，得到一個(gè)斜率a和截距b；然后對剩下的數(shù)據(jù)段xi和yi（i=m+1，m+ 2，…，n），返回步驟（2），再次進(jìn)行數(shù)據(jù)分段和相關(guān)性判斷，直到m=n，則對整組數(shù)據(jù)分段完畢，算法結(jié)束。

2　對刀具磨損曲線的自動(dòng)分段線性擬合

采用本文提出的算法對刀具磨損曲線進(jìn)行擬合，刀具磨損數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)［4］，如圖1所示，圖中用‘*’表示這些數(shù)據(jù)。對這些數(shù)據(jù)利用自動(dòng)分段線性擬合算法進(jìn)行處理，結(jié)果得到三個(gè)直線方程。第一個(gè)直線方程是：

圖1　刀具磨損數(shù)據(jù)及其分段線性擬合結(jié)果

此直線圖形見圖1左邊的直線，易見它上升較快，反映的是刀具初期磨損階段的特性。

第二個(gè)直線方程是：

此直線圖形見圖1中間的直線，易見它上升較慢，反映的是刀具正常磨損階段的特性，其斜率為0.001 0，比初期磨損階段的斜率0.004 9小很多，表明刀具的磨損進(jìn)入平穩(wěn)時(shí)期。

第三個(gè)直線方程是：

此直線圖形見圖1右邊的直線，易見它上升很快，反映的是刀具劇烈磨損階段的特性，其斜率為0.007 8，遠(yuǎn)大于初期磨損階段的斜率0.004 9和正常磨損的斜率0.001 0，反映了刀具劇烈磨損的狀況。

從此例可見，本文提出的算法實(shí)現(xiàn)了對刀具磨損曲線的自動(dòng)分段擬合，所得到的三個(gè)直線方程準(zhǔn)確地反映了刀具的三種磨損狀態(tài)，效果很好。

3　結(jié)論

刀具磨損曲線雖然表現(xiàn)為一種非線性形式，但是可以通過分段線性擬合的方法來擬合這種非線性過程。文中利用相關(guān)系數(shù)法，提出來一種自動(dòng)分段線性擬合算法，無需人工干預(yù)，實(shí)現(xiàn)了對刀具磨損曲線的自動(dòng)分段線性擬合，在所得直線方程中，正常磨損狀態(tài)的斜率最小，劇烈磨損狀態(tài)的斜率最大，準(zhǔn)確地反映了刀具的不同磨損狀態(tài)。

［1］韓榮第.金屬切削原理與刀具［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.

［2］費(fèi)業(yè)泰.誤差理論與數(shù)據(jù)處理［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

［3］何菊明，王芙.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的線性擬合及計(jì)算機(jī)處理［J］.武漢工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30（1）：117-119.

［4］趙學(xué)智.廣義自適應(yīng)小波分析及其在機(jī)械測試信號處理中的應(yīng)用［D］.廣州：華南理工大學(xué)，2001.

The Research on Piecewise Linear Fitting of Tool Wear Curver

HE Yi-chuan
（Hu Nan Changsha Mingde Middle School，Changsha410000，China）

The linear fitting method is applied to the fitting of tool wear curve，and the idea of piecewise linear fitting is used to fit the nonlinear process of tool wear.The principle of linear fitting is analyzed，and the correlation coefficient is put forward to realize automatic piecewise linear fitting of the nonlinear process.The detailed steps of the piecewise linear fitting algorithm are given.The fitting results of tool wear curve show that the proposd method can accurately reflect the different wear states of the tool.

tool wear；linear fitting；correlation coefficient；piecewise fitting

TH123

A文獻(xiàn)標(biāo)識碼：1009-9492（2015）12-0088-02

10.3969/j.issn.1009-9492.2015.12.024

賀一川，男，1998年生，湖南長沙人。研究領(lǐng)域：數(shù)據(jù)處理算法及其工程應(yīng)用。

（編輯：向飛）

2015-09-04