張躍

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Wigner固體平均勢的計算

張躍

(湖南師范大學物理與信息科學學院, 湖南長沙, 410081)

修正了Callaway J計算Wigner固體的平均勢理論中出現(xiàn)的錯誤。以單原子的bcc和fcc結構的金屬為例, 建立了計算Wigner固體的平均勢的理論。理論結果表明: 金屬晶體的平均勢與晶體的晶格常數(shù)的倒數(shù)1/成正比。對一些常用的bcc和fcc結構的金屬晶體的平均勢進行了數(shù)值計算, 獲得了大量具有應用價值的計算結果。

Wigner固體; 泊松方程; 平均勢; 晶格常數(shù)

晶體的平均勢是計算晶體的能帶結構、晶體的靜電勢能或者靜電束縛能不可缺少的要素, 它可以作為晶體中電子哈密頓量的零級微擾近似。對于計算晶體的靜電勢能未計入平均勢或者認為平均勢等于0的計算結果, 其貢獻可以導致20%甚至更大的修正值[1]。因而計算晶體的平均勢是固體理論研究領域中具有重要價值的課題之一[2–5]。有關晶體的計算很復雜, 人們希望探索和建立能夠簡化計算的理論。Wigner固體是一種理論模型, 它類似于等離子體形態(tài)。由于Wigner固體可以應用于許多物理現(xiàn)象, 諸如: 半導體表面附近的反演層; 液態(tài)氦受到垂直方向外電場作用時, 在略高于其自由表面處呈現(xiàn)的電子晶體; 白矮星; 脈沖星的外殼等[1, 5]。Wigner固體模型適合應用于金屬晶體, 因為金屬中的電子處于游離狀態(tài), 有可能趨向于負電荷均勻分布。Callaway J利用這種模型計算過單原子體心立方結構金屬中電子在布里淵區(qū)的點的電勢, 實際上, 它等同于晶體的平均勢[3–4]。但該計算理論存在錯誤, 在文獻[2, 5]中, Callaway J等人誤將泊松方程中的電勢函數(shù)()解釋成了電勢能函數(shù)。此外, 在計算過程中, Callaway J錯誤地直接引用了文獻[1]中對的積分計算結果, 因為文獻[1]中選取的該積分區(qū)域為緊鄰晶胞(proximity cell), 其體積為23, 而Callaway J選取的積分區(qū)域為一般原胞, 其體積為3/2, 兩者的積分區(qū)域不一樣, 因而必須重新計算積分。鑒于常用的金屬大多數(shù)是體心立方(bcc)和面心立方(fcc)晶格結構, 本文將限于討論計算bcc和fcc金屬晶體的平均勢。

1 Wigner固體

為了便于計算, 本文僅考慮單原子bcc和fcc結構的金屬。所謂的Wigner固體[1–2], 對于離子點陣的晶體, 指晶體由帶正電量|e|(e是電子的電量)并靜止在晶格格點上的點電荷(正離子)和帶有均勻的負電荷分布的背景構成, 每個晶胞內帶負電量為-|e|, 整個晶體保持電中性。為原子的電荷序數(shù)與原子實中的電子數(shù)之差。晶體內一個電子的電勢函數(shù)由泊松方程確定[6]:

式中()表示晶體內的電荷密度,0和r分別為真空的介電常數(shù)和金屬的相對介電常數(shù), 對于一般的金屬, 相對介電常數(shù)r＜10。()和()都是周期函數(shù), 可以利用傅里葉展開式:

;。 (2)

()和()的傅里葉展開系數(shù)分別為:

。 (4)

采用原胞為基本單位, 式中為任意一個倒格矢,c()表示一個原胞內的電荷密度,為一個原胞的體積。c()是以每個晶胞為中心的電勢項。由于晶體具有平移對稱性,()可以表示為。類似地, 晶體的電荷密度()也可以表示為各晶胞的項之和。將(2)式代入(1)式, 得到

理論計算對于布里淵區(qū)內的各特殊點是類似的, 本文僅考慮布里淵區(qū)的點(= 0)。當= 0時, (3)式表示的是晶體的平均勢[2–4], 這也是利用微擾理論計算晶體的能帶結構或者靜電勢時需要單獨計算的一項。本文定義(0)為(7)式中的, 視其為連續(xù)變量, 當→0時可以免去的下標。根據(jù)(5)式有

。 (6)

式中表示與之間的夾角。因為晶體中一個原胞內的電荷分布是中性, 故(7)式中的第1項積分等于0。此外, 在一個原胞內, 電荷分布具有空間反演對稱, 第2項積分也為0, 實際上(0)應為實數(shù), 可以不考慮(7)式中的第2項。將(7)式代入(6)式, 當→0時, 得到

, (8)

2 計算bcc結構

晶體的原胞內電荷均勻分布, 具有球對稱性, 整個原胞保持電中性。因此, 對于bcc結構的金屬晶體, 可以將一個原胞內的電荷密度表示為[3, 5]

c()具有立方對稱性, 如果代入(9)式計算, 對含2(cos)項的積分等于0, 因而有

。 (11)

(12)式表明, 晶體的平均勢與晶體的晶格常數(shù)的倒數(shù)成正比, 這一點與有關文獻中的結論一致[5]。本文對一些常用的bcc金屬(超導元素)進行了數(shù)值計算, 計算結果如表1所示。

表1 一些bcc金屬(超導元素)晶體的平均勢的數(shù)值計算結果

*為晶格常數(shù)數(shù)據(jù)右邊注明的78 K及5 K是指測量實驗的溫度, 未注明的是在室溫下測量的[7], ?.r是根據(jù)文獻[7]中的Clausius-Mossotti公式以及金屬離子的電極化率計算出的理論值。下表同。

3 計算fcc結構

對于fcc結構的金屬,=3/4, 采用等體積球形近似計算(11)式中的積分, 通過計算得到球形的半徑s≈ 0.390 669 4。由此計算出。根據(jù)(11)式最后得到

本文對一些常用的fcc金屬[9–10]進行了數(shù)值計算,計算結果如表2中所示。

表2 一些fcc結構金屬晶體的平均勢的數(shù)值計算結果

4 結論

Wigner固體作為一種假設模型而廣泛應用于固體理論研究領域。文章中對于單原子的bcc和fcc結構的金屬, 計算并推導出了可以分別直接應用于計算bcc和fcc金屬晶體的平均勢的公式, 即(12)式和(11)式。并且, 對一些常用的bcc和fcc金屬晶體的平均勢進行了數(shù)值計算, 計算結果如表格1和表格2所示。本文雖然沒有找到實驗數(shù)據(jù)和他人的理論計算數(shù)據(jù)進行比較, 但從(12)和(13)兩式可知, 晶體的平均勢與晶格常數(shù)的倒數(shù)成正比例, 這個結果與文獻[5]中的結論一致。對于其它晶格點陣結構的金屬, 也可以利用本文建立的理論進行類似的計算。

參考文獻：

[1] Hall G L. Correction to Fuchs’ calculation of the electrostatic energy of a Wigner solid [J]. Phys Rev B, 1979, 19(8): 3 921 –3 932.

[2] Callaway J, Glasser M L. Fourier Coefficients of Crystal Potentials [J]. Phys Rev, 1958, 112(1): 73–77.

[3] Kleinman L. Comment on the average potential of a Wigner solid [J]. Phys Rev B, 1981, 24(12): 7 412–7 414.

[4] Hall G L. Response to “Comment on the average potential of a Wigner solid” [J]. Phys Rev B, 1981, 24(12): 7 415–7 418.

[5] Callaway J. Quantum Theory of the Solid State [M]. 2nd Edition. San Diego: Academic Press, INC, 1991: 16–19.

[6] Bradbury T C. Mathematical Methods with Applications to Problems in Physical Sciences [M]. New York: John Wiley & Sons, 1984: 109–110.

[7] Ashcroft N W, Mermin N D. Solid State Physics [M]. San Francisco: Holt, Rinehart and Winston, 1976.

[8] 游效曾. 離子的極化率[J]. 科學通報, 1974, 19(9): 419–423.

[9] 張躍. 關于晶體制約定理的一個嚴格證明[J]. 湖南文理學院學報: 自然科學版, 2015, 27(1): 14–16.

[10] Kittel C. Introduction to Solid State Physics [M]. 6th Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1986.

(責任編校:劉剛毅)

Calculating the average potential of a Wigner solid

Zhang Yue

(College of Physics and Information Science, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)

A few errors occurring in the calculations of Callaway J on the average potential of a Wigner solid are corrected. With respect to the monoatomic bcc and fcc metals, a theory of calculating the average potentials of them is established, and the theoretical results demonstrate that the average potential is directly proportional to 1/(is the lattice constant of the crystal). Moreover, a great deal of calculations of the average potentials of various bcc and fcc metals are performed, and a lot of numerical results which are valuable for applications are obtained.

Wigner solid; Poisson’s equation; average potential; lattice constant

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.03.005

TG 111.1; O 481

1672–6146(2015)03–0019–03

張躍, phys_zhangyue@126.com。

2015–05–07

湖南師范大學科學研究項目(29000631)。