桂旺生，劉利斌

(池州學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系，安徽 池州　247000)

分?jǐn)?shù)階微分方程m點邊值共振問題解的存在性

桂旺生，劉利斌

(池州學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系，安徽 池州247000)

利用Mawhin延拓定理考察了一類分?jǐn)?shù)階微分方程m點邊值共振問題解的存在性.得到了解的存在性的一個充分性條件，并且舉出實例用以說明主要結(jié)果.

分?jǐn)?shù)階微分方程；Mawhin延拓定理；共振

1　引言

本文主要研究如下一類分?jǐn)?shù)階微分方程m點邊值共振問題解的存在性：

分?jǐn)?shù)階微分方程是微分方程理論的一個新的重要分支，它在擴散和輸送理論、混沌與湍流、高分子材料解鏈、粘彈性力學(xué)及非牛頓力學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.對于分?jǐn)?shù)階微分方程二點與多點邊值問題，許多學(xué)者對其作了一系列的研究，得到了解和正解存在性的一些結(jié)果[1-6].例如，文獻(xiàn)[1]中利用重合度理論研究了如下分?jǐn)?shù)階微分方程二點邊值問題解的存在性：

文獻(xiàn)[5]中構(gòu)造了一個特殊的錐，利用非緊性測度理論和錐拉伸與錐壓縮不動點定理證明了如下m點邊值問題的正解的存在性，得到了有關(guān)正解存在性的三個定理.

本文受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，主要應(yīng)用重合度理論研究分?jǐn)?shù)階微分方程m點邊值問題(1)的解的存在性.首先給出了與分?jǐn)?shù)階微分方程有關(guān)的幾個定義與引理，其次得到了本文的主要結(jié)果，即解的存在性定理，最后舉出實例作為應(yīng)用.

2　幾個引理

首先給出下面幾個相關(guān)定義和引理：

定義 2.1[7-8](Riemann-Liouville)設(shè)函數(shù)u(t)可積，α階積分定義為：

定義 2.2[7-8](Riemann-Caputo)設(shè)函數(shù)u(t)可積，α階導(dǎo)數(shù)定義為：

引理 2.1[8]設(shè)n?1＜α＜n，則分?jǐn)?shù)階微分方程有解：

其中ci∈R，i=1，2，···，n?1.

引理 2.2[8]設(shè)n?1＜α＜n，則

其中ci∈R，i=1，2，···，n?1.

設(shè)X和Y為實Bananch空間，L：X?dom L→Y是線性算子，如果L滿足：

(i)Im L是閉子空間；

(ii)dim Ker L=co dim Im L＜+∞；

則稱L是零指標(biāo)的Fredholm算子.

記X=Ker L⊕X1，Y=Y0⊕Im L.設(shè)

為連續(xù)投影算子.記Lp：dom L∩X1→Im L是L在dom L∩X1上的限制.

設(shè)?為X的有界開子集，且dom L∩??=?，L：dom L?X→Y是零指標(biāo)的Fredholm算子，N：?→Y為連續(xù)算子，如果QN：和KPQ：都是緊算子，則稱N在上是L-緊的.

引理 2.3[9](Mawhin延拓定理)設(shè) L：dom L?X → Y是零指標(biāo)的 Fredholm算子，N：X→Y在上是L-緊的.若滿足：

本文中，設(shè)X=C1[0，1].其上的范數(shù)定義為：

3　主要結(jié)果

引理3.1設(shè)L由(4)式所定義，則

引理3.2設(shè)L由(4)式所定義，則L是零指標(biāo)的Fredholm算子；線性連續(xù)的投影算子P：X→X和Q：Y→Y定義如下：

定理3.1設(shè)f：[0，1]×R2→R為連續(xù)函數(shù).假設(shè)

4　例子

例4.1考慮下面邊值問題解的存在性：

[1]Hu Zhigang，Liu Wenbin，Rui Wenjun.Periodic boundary value problem for fractional differential equation[J].International Journal of Mathematics，2012，23(10)：11.

[2]Chen Fu lai.Coincidence degree and fractional boundary value problems with impulses[J].Computers and Mathematics with Applications，2012，64：3444-3455.

[3]Li Xiaoyan，Liu Song，Wei Jiang.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional functional differential equations[J].Applied Mathematics and Computation，2011(217)：9278-9285.

[4]Zhou Wenxue，Chu Yandong.Existence of solutions for fractional differential equations with multi-point boundary conditions[J].Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simulat.，2012(17)：1142-1148.

[5]王永慶，劉立山.Banach空間中分?jǐn)?shù)階微分方程m點邊值問題的正解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報：A輯，2012，32(1)：246-256.

[6]Liu Xiping，Jia Mei.Multiple positive solutions of nonlocal boundary value problems for p-Laplacian equations with fractional derivative[J].Journal of Mathematical Research with Applications，2012，32(3)：327-336.

[7]Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M]. Amsterdam：Elsevier Science，2006.

[8]Bai Zhanbing，Lü Haishen.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation[J].Math.Anal.Appl.，2005，311：495-505.

[9]Mawhin J.Topological degree and boundary value problems for nonlinear differential equations in topological methods for ordinary differential equations[J].Lecture Notes in Mathematics，1993(1537)：74-142.

Existence of solution to m-point boundary value problem for fractional differential equations at resonance

Gui Wangsheng，Liu Libin
(Department of Mathematics and Computer Science，Chizhou College，Chizhou247000，China)

In this paper，we consider the existence of solution for m-point boundary value problem of a class of fractional differential equations at resonance by applying the coutinuation theorem of coincidence degree developed by Mawhin，and we obtain a sufficient condition for the existence of solution.Examples are given to illustrate the main results of this paper.

fractional differential equation，Mawhin′s continuation theorem，resonance

O175.8

A

1008-5513(2015)01-0001-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.01.001

2014-08-04.

國家自然科學(xué)基金(11301044)；池州學(xué)院自然科研項目(2013ZRZ004).

桂旺生(1966-)，碩士，副教授，研究方向：非線性分析.

2000 MSC:34B15，26A23