黃維，錢江，梁飛飛，周知

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豎向混合結(jié)構(gòu)阻尼矩陣近似解耦計(jì)算的誤差分析

黃維，錢江，梁飛飛，周知

(同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海，200092)

將豎向混合結(jié)構(gòu)等效成兩自由度結(jié)構(gòu)模型，對該兩自由度模型進(jìn)行不同子結(jié)構(gòu)參數(shù)取值下的近似解耦計(jì)算，分析其模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)程度和近似解耦計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)誤差情況。研究結(jié)果表明：在不同子結(jié)構(gòu)特性下，模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)和位移誤差指數(shù)的衰退特征具有相似性。因此在豎向混合結(jié)構(gòu)動力分析時(shí)，可以采用對角占優(yōu)指數(shù)來判定采用近似解耦計(jì)算的可行性。

豎向混合結(jié)構(gòu)；非比例阻尼矩陣；模態(tài)阻尼矩陣；對角占優(yōu)；解耦誤差

近年來，高層建筑設(shè)計(jì)為滿足功能的多樣性以及造型新穎性等需求，采用了不少體型復(fù)雜、內(nèi)部空間多變的建筑方案，鋼?混凝土豎向混合結(jié)構(gòu)體系的應(yīng)用日漸增多。鋼?混凝土豎向混合結(jié)構(gòu)由下部鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)和上部鋼結(jié)構(gòu)串聯(lián)組成，其沿豎向變化的抗側(cè)剛度能較好的適應(yīng)結(jié)構(gòu)變形需求。例如：上海環(huán)球金融中心大廈內(nèi)部的核心筒采用了豎向混合的方案，其79層以下核心筒為鋼筋混凝土筒體，為減輕結(jié)構(gòu)自重、增加延性，79層以上核心筒用內(nèi)置鋼框架的鋼筋混凝土筒體，而在95層以上則改變?yōu)榭臻g鋼桁架筒體形式。還有中國民生銀行大廈原是一幢地下2層，地上35層，高度135 m的鋼管混凝土框架?核心筒高層建筑。2005年結(jié)構(gòu)改造中，采用鋼結(jié)構(gòu)加層至45層，總高度達(dá)到175.8 m[1]。在這類結(jié)構(gòu)中，上、下部分采用不同材料，各部分耗能機(jī)制不同，使得整體結(jié)構(gòu)的阻尼特性難以確定，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)。對于由2種或2種以上的不同材料串聯(lián)組成的豎向混合結(jié)構(gòu)，由于不同材料在結(jié)構(gòu)的不同部分提供的能量損失機(jī)制差別很大，結(jié)構(gòu)特性會與兩部分相對構(gòu)成有關(guān)。采用整體結(jié)構(gòu)一致的單一阻尼比在具體取值上也存在困難。假設(shè)單一材料結(jié)構(gòu)體系的阻尼特性是確定的、可解耦的，根據(jù)子結(jié)構(gòu)概念，可以組裝形成混合結(jié)構(gòu)整體運(yùn)動方程，此時(shí)的整體阻尼矩陣一般不再是可解耦的，即阻尼矩陣不再具有關(guān)于實(shí)模態(tài)矩陣的正交性，經(jīng)典的模態(tài)疊加法也不再適用。但由于模態(tài)疊加法用模態(tài)坐標(biāo)代替原系統(tǒng)的物理坐標(biāo)，能使原系統(tǒng)的運(yùn)動方程解耦，且能用較少的低階模態(tài)坐標(biāo)的響應(yīng)來獲得較高的近似解，因此許多學(xué)者對非比例阻尼結(jié)構(gòu)體系采用模態(tài)疊加法進(jìn)行了研究。Foss[2]提出的狀態(tài)空間法，建立狀態(tài)方程進(jìn)行復(fù)模態(tài)求解，從而在復(fù)數(shù)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了非比例阻尼結(jié)構(gòu)體系的解耦，但是該方法需要求解擴(kuò)階矩陣的特征值和特征向量，其計(jì)算量較大，且涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算，不便于實(shí)際工程設(shè)計(jì)使用。Ma等[3?4]在非比例阻尼結(jié)構(gòu)體系復(fù)模態(tài)動力特性的基礎(chǔ)上，在狀態(tài)空間采用坐標(biāo)變換，得到非比例阻尼結(jié)構(gòu)體系的實(shí)空間解耦方法。該方法使得復(fù)系數(shù)矩陣變換到實(shí)數(shù)領(lǐng)域，但由于假定條件的引入，使得結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)不是獨(dú)立的。從便于工程應(yīng)用的角度，人們更傾向于實(shí)數(shù)域的近似解法。采用等效阻尼比的方法得到廣泛的研究，Roesset等[5]基于結(jié)構(gòu)損耗能量和總儲存能量的比值提出了結(jié)構(gòu)的等效阻尼比，該表述是基于能量的阻尼性能宏觀描述，其物理意義明確。Hwang等[6]提出了模態(tài)應(yīng)變能比，其將能量的形式特指為結(jié)構(gòu)的彈性應(yīng)變能，即結(jié)構(gòu)損耗的彈性應(yīng)變能與儲存的彈性應(yīng)變能的比值，該表達(dá)式物理意義清楚且形式簡單，因此被廣泛的應(yīng)用[7]。但采用統(tǒng)一的等效阻尼比改變了不同結(jié)構(gòu)部分的耗能情況。Rayleigh[8]認(rèn)為如果模態(tài)阻尼矩陣非對角線元素相對于對角線元素來說非常的小，可以忽略非對角線元素對方程進(jìn)行解耦求解，即近似解耦方法，其實(shí)質(zhì)也是一種等效阻尼比方法。Knowles[9]對非比例阻尼系統(tǒng)采用近似解耦法進(jìn)行了誤差研究，認(rèn)為在一定條件下采用近似解耦法能得到較好結(jié)果。Prandinaa等[10?11]認(rèn)為在模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)的情況下，采用該方法求得的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)誤差較小。然而Morzfeld等[12]認(rèn)為模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)不能完全確定近似解耦方法產(chǎn)生較小的誤差, 造成這個(gè)現(xiàn)象的原因是由于非對角元素對應(yīng)的特征向量對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有較大的貢獻(xiàn)。桂國慶等[13]研究了這種近似解耦方法引起的近似誤差，導(dǎo)出了誤差無窮范數(shù)，并得到了精確解所在的范圍，認(rèn)為近似解耦方法有一定的適用性，但該方法計(jì)算繁瑣。忽略模態(tài)阻尼矩陣非對角線元素的近似解耦方法與所導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)響應(yīng)誤差之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系是一個(gè)值得研究的問題。本文作者將豎向混合結(jié)構(gòu)等效成兩自由度結(jié)構(gòu)模型，每一自由度的動力特性由對應(yīng)子結(jié)構(gòu)的主頻確定。對該兩自由度模型進(jìn)行不同子結(jié)構(gòu)特性下采用近似解耦計(jì)算時(shí)模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)程度和位移響應(yīng)誤差分析，以此判斷系統(tǒng)的可解耦性及近似程度。

1 豎向混合結(jié)構(gòu)非比例阻尼矩陣 形成

Clough等[14?15]從理論上構(gòu)造了適合混合結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，整體阻尼矩陣可由分塊阻尼矩陣合成，各子塊阻尼矩陣可按不同模型確定。由于當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的阻尼模型仍是Rayleigh模型，因此，基于Rayleigh模型構(gòu)建混合結(jié)構(gòu)的子結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的做法具有良好的工程應(yīng)用基礎(chǔ)。圖1所示為典型的鋼?混凝土豎向混合結(jié)構(gòu)，該類結(jié)構(gòu)都可以等效為兩自由度結(jié)構(gòu)模型，其上部子結(jié)構(gòu)(用字母表示)等效質(zhì)量、等效剛度及等效阻尼矩陣分別為，和對應(yīng)的阻尼比為ξ；下部子結(jié)構(gòu)(用字母表示)等效質(zhì)量、等效剛度及等效阻尼矩陣分別為，和，對應(yīng)的阻尼比為ξ。整體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣可以由上、下部結(jié)構(gòu)組裝起來，如式(1)和(2)所示；子結(jié)構(gòu)的動力特性可由式(3)求得。

根據(jù)Rayleigh阻尼模型，等效兩自由度結(jié)構(gòu)模型的前2階頻率分別為1和2時(shí)，則各部分子結(jié)構(gòu)的Rayleigh阻尼系數(shù)可由式(4)計(jì)算得到；整體結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣可采用式(5)和式(6)計(jì)算得到。

2 近似解耦計(jì)算

一般黏性多自由度系統(tǒng)受迫振動的運(yùn)動方程為

其中：和分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。對于豎向混合結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣可由式(6)得到。

對應(yīng)的無阻尼系統(tǒng)特征方程為

可解得個(gè)特征值ω和對應(yīng)的特征向量。采用質(zhì)量歸一時(shí)，可得：

其中：=[1，2，…，]為特征向量矩陣；= diag[21，22，…，2]為譜矩陣。

對方程(7)進(jìn)行=的模態(tài)坐標(biāo)變換，并左乘矩陣T，令()=T()，可得：

其中：為模態(tài)阻尼矩陣。

當(dāng)阻尼矩陣為Rayleigh阻尼矩陣，或滿足?1?1C[16]時(shí)，模態(tài)阻尼矩陣為對角矩陣，此時(shí)方程(11)為解耦的個(gè)獨(dú)立線性方程，其求解過程為標(biāo)準(zhǔn)的模態(tài)疊加法。當(dāng)模態(tài)阻尼矩陣為非對角矩陣時(shí)，可以將模態(tài)阻尼矩陣分解成：

其中：d為模態(tài)阻尼矩陣中對應(yīng)的對角元素組成的維方陣，d=diag[11，22，…，d]；o為模態(tài)阻尼矩陣中對應(yīng)的非對角元素組成的維方陣。

近似解耦方法就是忽略模態(tài)阻尼矩陣中的非對角線元素，即在方程(11)中用d代替，設(shè)運(yùn)動方程的近似解為d，有：

3 矩陣對角占優(yōu)指數(shù)

一般認(rèn)為當(dāng)模態(tài)阻尼矩陣的非對角元素相對于對角元素較小時(shí)，采用近似方法計(jì)算的動力響應(yīng)誤差較小[17]。當(dāng)模態(tài)阻尼矩陣滿足如下關(guān)系時(shí)，認(rèn)為是對角占優(yōu)矩陣[18]：

式(15)從數(shù)值上定義了矩陣的對角占優(yōu)情況，但不能反映對角占優(yōu)矩陣的占優(yōu)程度，Meyer[19]基于對角占優(yōu)矩陣的定義，推導(dǎo)了廣義矩陣對角占優(yōu)指數(shù)計(jì)算公式：

其中：|o|為o各元素絕對值組成的矩陣；(|d?1||o|)為|d?1||o|的譜半徑。

當(dāng)模態(tài)阻尼矩陣是對角矩陣時(shí)，0；而當(dāng)模態(tài)阻尼矩陣為對角占優(yōu)矩陣時(shí)，0＜＜1。越小，模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)越顯著，一般認(rèn)為近似解耦計(jì)算造成的誤差越小。

4 基于位移響應(yīng)的誤差指數(shù)

結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)分析中起著重要的作用?，F(xiàn)行規(guī)范仍舊以結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)作為評價(jià)指標(biāo)，因此采用位移響應(yīng)誤差來評價(jià)近似解耦計(jì)算的優(yōu)劣是十分合適的。

定義近似解耦計(jì)算造成的位移誤差為

將方程(11)減去方程(14)，有誤差響應(yīng)方程為

Ma等[20?22]對有阻尼結(jié)構(gòu)體系的振動問題進(jìn)行了復(fù)模態(tài)分析，認(rèn)為一般黏性阻尼系統(tǒng)的特征值和特征向量是共軛成對存在，在特定頻率諧振荷載下有阻尼結(jié)構(gòu)體系能夠進(jìn)行該頻率的模態(tài)阻尼振動，可以得到有阻尼結(jié)構(gòu)體系的傳遞函數(shù)。

設(shè)模態(tài)坐標(biāo)變換后的方程(11)受到頻率為的諧振激勵，即()=eiωt，為力的空間分布，本文取=[1，1，…，1]T；為幅值。

可以得到運(yùn)動方程式(11)的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為

(i)為式(11)的頻響函數(shù)：

采用近似解耦法的運(yùn)動方程式(14)的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為

d(i)為式(13)的頻響函數(shù)：

根據(jù)式(20)~(23)，位移誤差響應(yīng)式(19)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可表示為

位移誤差響應(yīng)式(24)體現(xiàn)了在諧振荷載作用下，結(jié)構(gòu)采用近似解耦計(jì)算方法計(jì)算的位移響應(yīng)誤差頻譜特性。由于忽略了模態(tài)阻尼矩陣中的非對角線元素，使得結(jié)構(gòu)中各自由度的位移響應(yīng)都與原系統(tǒng)響應(yīng)產(chǎn)生偏差，因此采用2階范數(shù)能反映各自由度位移響應(yīng)在結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)的偏離程度。定義位移響應(yīng)誤差指數(shù)：

當(dāng)模態(tài)阻尼矩陣是對角矩陣時(shí)，(i)=0；當(dāng)模態(tài)阻尼矩陣是非對角矩陣時(shí)，越小，結(jié)構(gòu)采用近似解耦計(jì)算求得的結(jié)果誤差越小。

式(25)是根據(jù)單頻諧振荷載計(jì)算得到的位移響應(yīng)誤差指數(shù)。而結(jié)構(gòu)工程抗震計(jì)算中，地震波頻譜特性復(fù)雜，因此在評定采用近似解耦方法計(jì)算結(jié)構(gòu)動力位移響應(yīng)誤差程度時(shí)，可以選取不同頻率諧振荷載下計(jì)算得到的最大值作為該結(jié)構(gòu)的位移誤差指數(shù)。

下面給出一個(gè)算例。為簡便起見，考慮2個(gè)二自由度結(jié)構(gòu)體系。

模型一：

模型二：

考慮到地面運(yùn)動的復(fù)雜性，本文選取9條地震波分別對兩模型進(jìn)行近似解耦動力響應(yīng)分析，研究其位移響應(yīng)誤差情況。其中8條為天然地震波，1條為人工模擬地震波，各地震波水平分量的反應(yīng)譜曲線如圖2所示。

1—Northridge；2—San Fernando；3—Turkiye；4—Taft；5—Tohoku；6—Whittie Narrows；7—EI Centro；8—Kobo；9—SHW2

經(jīng)計(jì)算，模型一的位移誤差指數(shù)=0.012 3；模型二的位移誤差指數(shù)=0.029 3。圖3和圖4所示分別為兩模型不同地震作用下采用近似解耦計(jì)算得到的各自由度最大位移響應(yīng)的相對誤差分布。模型一兩自由度最大位移響應(yīng)的相對誤差平均值分別為0.64%和0.41%；而模型二兩自由度最大位移響應(yīng)的相對誤差平均值分別為4.0%和2.5%，其相對誤差明顯比模型一的大。采用位移響應(yīng)誤差指數(shù)能較準(zhǔn)確的評定采用近似解耦計(jì)算對結(jié)構(gòu)體系的影響。

圖3 模型一相對位移誤差分布

圖4 模型二相對位移誤差分布

5 豎向混合結(jié)構(gòu)近似解耦計(jì)算

將豎向混合結(jié)構(gòu)等效成兩自由度結(jié)構(gòu)模型，每一自由度的動力特性由對應(yīng)子結(jié)構(gòu)的主頻確定。對該兩自由度模型進(jìn)行不同特性下近似解耦計(jì)算的模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)程度和位移響應(yīng)誤差分析。

定義豎向混合結(jié)構(gòu)的頻率比R和質(zhì)量比R為

式中：ω和ω分別為上、下部子結(jié)構(gòu)的頻率，可由式(3)計(jì)算得到；M和M分別為上、下部子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。

首先對豎向混合結(jié)構(gòu)在不同子結(jié)構(gòu)參數(shù)取值下的模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)程度情況進(jìn)行分析。不失一般性，取M=2 000 kg，ω=10 rad/s2，ξ=0.05，ξ=0.02。取R變化范圍為0到3，R變化范圍為0到1。

圖5所示為子結(jié)構(gòu)質(zhì)量比(R=0.1，R=0.5和R=8)一定時(shí)，模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)隨頻率比的變化情況。由圖5可見：在不同質(zhì)量比下，模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)隨頻率比的變化相似。對角占優(yōu)指數(shù)隨頻率比增大呈現(xiàn)先增大后減小的變化情況，在頻率比約為1.0時(shí)達(dá)到最大值。圖6所示為子結(jié)構(gòu)頻率比(R=0.3，R=1.5和R=2.4)一定時(shí)，模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)隨質(zhì)量比的變化情況。由圖6可見：在較小質(zhì)量比(小于0.2)時(shí)，質(zhì)量比對角占優(yōu)指數(shù)影響較明顯，之后對角占優(yōu)指數(shù)隨質(zhì)量比變化影響較小。

Rm：1—0.1；2—0.5；3—0.8

Rω：1—0.3；2—1.5；3—2.4

圖7所示為不同子結(jié)構(gòu)特性下，模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)隨質(zhì)量比和頻率比變化的等高線分布圖。質(zhì)量比對模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)影響較小，在圖7中出現(xiàn)水平等高線。而模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)隨頻率比增大呈現(xiàn)先增大后減小的變化，正如圖5所示那樣。當(dāng)頻率比小于0.6時(shí)，對角占優(yōu)指數(shù)小于0.2。頻率比在1.0~2.0范圍內(nèi)，對角占優(yōu)指數(shù)處于較大值，最大值出現(xiàn)在頻率比為1.0附近。

胡蘿卜：每100克含胡蘿卜素1.35～17.25毫克，還含有維生素B族、維生素C、脂肪及糖類和鐵、果膠、無機(jī)鹽等。

圖7 模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)等高線

雖然模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)在一定程度上反映了模態(tài)阻尼矩陣非對角線元素在模態(tài)阻尼矩陣中的大小程度，從感官上判斷忽略非對角線元素造成的誤差程度，但無法判定當(dāng)模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)為何值時(shí)，采用這種近似解耦方法所造成的誤差較小。

因此分別對豎向混合結(jié)構(gòu)在不同子結(jié)構(gòu)特性下忽略非對角線元素近似解耦計(jì)算的位移響應(yīng)誤差進(jìn)行分析。由于地震波頻率分布廣泛，在進(jìn)行位移響應(yīng)誤差分析時(shí)，將諧振頻率從0.1 rad/s2增加到100 rad/ s2，取其最大值為位移響應(yīng)誤差指數(shù)。

圖8所示為子結(jié)構(gòu)質(zhì)量比(R=0.1，R=0.5和R=0.8)一定時(shí)，近似解耦計(jì)算位移誤差指數(shù)隨頻率比的變化情況。可見圖8與圖5的變化規(guī)律相似：呈現(xiàn)先增大后減小的變化，在頻率比約為1.0時(shí)達(dá)到最大值。在頻率比一定時(shí)，位移誤差指數(shù)隨質(zhì)量比的變化各異，但當(dāng)質(zhì)量比大于0.2時(shí)，整體上質(zhì)量比對位移誤差指數(shù)的影響較小，如圖9所示。

Rm：1—0.1；2—0.5；3—0.8

Rω：1—0.3；2—1.5；3—2.4

圖10所示為不同子結(jié)構(gòu)特性下，位移誤差指數(shù)隨質(zhì)量比和頻率比變化的等高線分布?？梢妶D10與圖7分布規(guī)律相似。質(zhì)量比對位移誤差指數(shù)影響比較小，在圖10中近似呈現(xiàn)水平等高線。當(dāng)頻率比小于0.6時(shí)，位移誤差指數(shù)小于0.02，可以認(rèn)為采用近似解耦計(jì)算產(chǎn)生的位移誤差較小。而頻率比在0.7~2.0范圍內(nèi)位移誤差指數(shù)大于0.02，最大值在頻率約為1.0處。而當(dāng)頻率比大于2.0時(shí)，位移誤差指數(shù)又隨頻率比的增加緩慢減小。

圖10 位移誤差指數(shù)變化等高線

由于采用等效的兩自由度結(jié)構(gòu)位移誤差指數(shù)來判定近似解耦計(jì)算的可行性，為了保證復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)誤差在較小范圍，本文推薦位移誤差指數(shù)小于0.02時(shí)，可以采用近似解耦計(jì)算。對比圖7和圖10，模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)和位移誤差指數(shù)在不同子結(jié)構(gòu)特性下的衰退特性具有相似規(guī)律。而采用式(16)計(jì)算對角占優(yōu)指數(shù)比采用式(25)計(jì)算位移誤差指數(shù)容易得多。經(jīng)計(jì)算，第4節(jié)中的2個(gè)算例模型計(jì)算的對角占優(yōu)指數(shù)分別為：模型一為0.133；模型二為0.350。因此在豎向混合結(jié)構(gòu)分析中，可以采用模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)來判定近似解耦計(jì)算的可行性。根據(jù)本文推薦的位移誤差指數(shù)取值，可以認(rèn)為當(dāng)模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)小于0.2時(shí)，該結(jié)構(gòu)體系可以采用近似解耦計(jì)算方法求解其動力響應(yīng)。

6 結(jié)論

1)根據(jù)有阻尼結(jié)構(gòu)體系的頻響函數(shù)得到的近似解耦計(jì)算的位移響應(yīng)誤差指數(shù)能反映各自由度位移響應(yīng)對結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)的偏離程度。

2)在不同子結(jié)構(gòu)特性下，模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)和位移誤差指數(shù)的分布情況相似。模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)和位移誤差指數(shù)隨質(zhì)量比變化影響較小，而隨頻率比呈現(xiàn)先增大后降低的變化趨勢，在頻率比約為1.0時(shí)達(dá)到最大值。

3)在豎向混合結(jié)構(gòu)分析中，可以采用模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)來判定近似解耦計(jì)算的可行性。當(dāng)模態(tài)阻尼矩陣對角占優(yōu)指數(shù)小于0.2時(shí)，采用近似解耦計(jì)算方法求解豎向混合結(jié)構(gòu)體系的動力響應(yīng)誤差滿足一般工程分析的要求。

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(編輯 楊幼平)

Errors of approximate decoupling analysis for vertically mixed structures

HUANG Wei, QIAN Jiang, LIANG Feifei, ZHOU Zhi

(State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Through equivalent two degree-of-freedom (2-DOF) models with different sub-structural dynamic properties, the quantifications of diagonal dominance and decoupling errors were calculated to verify the degree of approximation and feasibility of this method. The results show that with different sub-structural dynamic properties, the distribution of diagonal dominance and displacement errors of the models are similar. Therefore, the diagonally dominant index can be adopted to analyze the feasibility of decoupling approximation method in calculation of dynamic response of vertical mixed structure.

vertically mixed structure; non-proportional damping matrix; modal damping matrix; diagonal dominance; decoupling errors

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.036

TU398

A

1672?7207(2015)04?1454?07

2014?04?13；

2014?06?15

國家“十二五”科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2012BAJ13B02)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(91315301-4)(Project (2012BAJ13B02) supported by the National Science and Technology Pillar Program During the 12th Five-Year Plan Period; Project (91315301-4) supported by the National Natural Science Foundation of China)

黃維，博士研究生，從事結(jié)構(gòu)抗震及數(shù)值計(jì)算研究；E-mail：2008huangwei@#edu.cn