余燕團(tuán), 肖北芳, 王媚

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基于Matlab的動(dòng)態(tài)隨機(jī)模型的計(jì)算與模擬

余燕團(tuán), 肖北芳, 王媚

(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙, 410081)

介紹了動(dòng)態(tài)隨機(jī)模型(DSM)及模型系數(shù)的求解方法, 并推導(dǎo)了該模型的解及歐拉方程。利用Matlab計(jì)算和模擬單期生產(chǎn)力水平?jīng)_擊對(duì)生產(chǎn)力、消費(fèi)、就業(yè)、投資和收益的響應(yīng)。結(jié)果表明: 隨著時(shí)間的推移這些變量的脈沖響應(yīng)會(huì)緩慢趨于0, 回到均衡狀態(tài); 模型計(jì)算的速度和精度都達(dá)到了預(yù)期要求。

動(dòng)態(tài)隨機(jī)模型; 生產(chǎn)力水平?jīng)_擊; 脈沖響應(yīng); 歐拉方程

許多經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)表現(xiàn)出隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)特征。消費(fèi)者經(jīng)常需要處理跨期決策問(wèn)題, 解決這類(lèi)問(wèn)題需要用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看待決策, 經(jīng)濟(jì)主體需要在當(dāng)前的高收益和未來(lái)難以避免的低收益之間加以權(quán)衡。遞歸方法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、Kalman濾波、最優(yōu)控制理論、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)等應(yīng)用數(shù)學(xué)工具的發(fā)展, 為宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的動(dòng)態(tài)分析提供了理論基礎(chǔ)。RBC理論是最早將動(dòng)態(tài)隨機(jī)一般均衡(DSGE)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)波動(dòng)分析的宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)理論, 早期研究的DSGE模型強(qiáng)調(diào)來(lái)自供給方面的沖擊(多為技術(shù)沖擊), 這些模型在少量外生沖擊下可以對(duì)美國(guó)的經(jīng)濟(jì)波動(dòng)進(jìn)行較好的擬合[1]。其后, RBC理論模型被證實(shí)對(duì)美國(guó)經(jīng)濟(jì)中的名義變量可以做出較合理的擬合, 但對(duì)實(shí)際變量變化的擬合卻很難實(shí)現(xiàn)[2]。

DSGE模型更多的是應(yīng)用在宏觀經(jīng)濟(jì)波動(dòng)和宏觀經(jīng)濟(jì)政策分析的研究中, 如Gall (1999)、Chairetal (2000)、Wang and Yi (2004)、Gertlertal (2003)、Christensen and Dib (2008)等運(yùn)用DSGE模型分析了經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的來(lái)源; Kollman (2001)、Beetsma and Jensen (2005)、Rattoetal (2009)等分析了貨幣政策、財(cái)政政策的有效性問(wèn)題; Chugh (2006)、Aiseneau and Chugh (2009)、Horvath (2009)等分析了貨幣政策、財(cái)政政策的最優(yōu)化問(wèn)題。此外, Drew D和Ruey S[3]研究了高維動(dòng)態(tài)隨機(jī)Copula模型, 建立了一類(lèi)Copula模型以研究金融資產(chǎn)隨時(shí)間變化的獨(dú)立行為。Lawrence J C、Martin S E和Mathias Trabandt研究了非線性動(dòng)態(tài)隨機(jī)模型的模擬過(guò)程, 設(shè)計(jì)了變量服從隨機(jī)過(guò)程時(shí)沖擊造成的均衡響應(yīng)的算法。Lilia Maliar和Serguei Maliar[4]通過(guò)模擬計(jì)算值函數(shù)的方法來(lái)求解非線性動(dòng)態(tài)隨機(jī)模型。在線性化的DSGE模型的求解方法中, Judd (1998)作了較為詳細(xì)的敘述。隨后發(fā)展了許多基于BK分解法[5]的改進(jìn)方法, 如Klein (2002)提出的廣義Schur分解法[6]、Sims (2002)的QZ分解法[7]和Uhlig (1999)的待定系數(shù)法[8]等。Kollmann (2013)[9]提出了線性DSGE狀態(tài)向量及其條件協(xié)方差矩陣的簡(jiǎn)單估計(jì)方法。該方法可處理沒(méi)有進(jìn)行卡爾曼濾波處理的數(shù)據(jù)。

本文基于現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上, 通過(guò)對(duì)理論模型解的推導(dǎo), 利用Mat-lab對(duì)隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行了計(jì)算和模擬。一個(gè)求解動(dòng)態(tài)隨機(jī)模型近似解的簡(jiǎn)單過(guò)程為: (1) 計(jì)算非隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)下的解; (2) 在穩(wěn)定狀態(tài)下將模型對(duì)數(shù)線性化; (3) 求解對(duì)數(shù)線性化后的差分方程組構(gòu)成的系統(tǒng)。以封閉經(jīng)濟(jì)中的RBC模型為研究對(duì)象, 闡述上述模型的求解過(guò)程, 并利用Harald Uhlig工具箱對(duì)模型進(jìn)行求解和模擬, 最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

1 理論模型

考慮效用函數(shù)的社會(huì)計(jì)劃者問(wèn)題[10],。約束條件為:;;。其中,是嚴(yán)格遞增、嚴(yán)格凸的修正函數(shù),且,為有形資產(chǎn)的折舊率。

利用拉格朗日乘子法可得到模型的一階條件(歐拉方程)。事實(shí)上,, 乘子。由, 可得勞動(dòng)對(duì)消費(fèi)的邊際替代率與勞動(dòng)的邊際產(chǎn)出的關(guān)系。同樣地,。

1.1 非隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)

1.2 對(duì)數(shù)線性化

2 模型系數(shù)的求解

經(jīng)過(guò)前面的推導(dǎo), 得到一個(gè)線性差分方程組。為便于模型的計(jì)算, 把方程組寫(xiě)成矩陣形式, 定義,,。沿用Uhlig的方法, 有如下系統(tǒng):

; (2)

。 (3)

其中: 方程(1)捕捉靜態(tài)的資源約束和勞動(dòng)供給條件,,和都是矩陣,為矩陣; 方程(2)捕捉前向消費(fèi)歐拉方程; 方程(3)描述的是外生沖擊。對(duì)于本文的模型, 系數(shù),和都為0, 因此,。

。 (6)

3 模型的計(jì)算與模擬

基于以上計(jì)算方法, 給定參數(shù)初始值如表1所示。結(jié)合給定的參數(shù), 利用Harald Uhlig工具箱計(jì)算出未知參數(shù)和各系數(shù)分別為:,,,,,,。

表1 模型計(jì)算的初始化參數(shù)

表2 模型計(jì)算的矩輸出結(jié)果

圖1 各參數(shù)變量模型計(jì)算的脈沖響應(yīng)動(dòng)態(tài)曲線

4 結(jié)論

利用Harald Uhlig工具箱, 在Mat-lab平臺(tái)上容易實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)隨機(jī)模型的計(jì)算與模擬。從計(jì)算結(jié)果和圖1可以看出, 生產(chǎn)力水平?jīng)_擊對(duì)各個(gè)輸出變量的效應(yīng)是不相同的, 但基本的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)是一致的, 即受到?jīng)_擊時(shí), 各變量得到一個(gè)較大的脈沖。最大的效應(yīng)為消費(fèi)沖擊, 隨著時(shí)間的推移, 各變量的脈沖響應(yīng)會(huì)趨于0(緩慢回到均衡狀態(tài))。模型計(jì)算的速度和精度都達(dá)到了預(yù)期要求。

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[10] Ljungqvist L, Uhlig H. Tax policy and aggregate demand management under catching up with the Joneses [J]. American Economic Review, 2000, 90: 356–366.

(責(zé)任編校:劉曉霞)

Calculation and simulation of dynamic stochastic model based on Matlab

Yu Yantuan, Xiao Beifang, Wang Mei

(College of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)

The dynamic stochastic model (DSM) and its solution are described, and the Euler equation is derived. the effect of a one-time shock to the productivity, consumption, investment and returns on the level of productivity are simulated by using Matlab program. The results show that the shock to these variables will gradually close to 0 with time-varying, and the speed and precision of the model are calculated to achieve the desired requirements.

dynamic stochastic model; productivity level shock; impulse response; Euler equation

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.04.006

O 245

1672–6146(2015)04–0025–05

余燕團(tuán), yantuanyu@163.com。

2015–05–18

2014年湖南省研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(CX2014B221)。