黃劍波，鄭黎明

（中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春　130033）

母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺機(jī)械誤差分析

黃劍波，鄭黎明

（中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春130033）

為了確定母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺各項(xiàng)機(jī)械誤差與設(shè)備最終刻劃精度之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，為設(shè)備的設(shè)計(jì)和制造提供相關(guān)理論依據(jù)。首先，采用多體系統(tǒng)動力學(xué)方法，確立了母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及低序體陣列。然后，分析確定了運(yùn)動平臺的機(jī)械誤差所包含的各個(gè)誤差項(xiàng)，并建立了運(yùn)動平臺機(jī)械誤差與設(shè)備最終刻劃誤差之間的誤差分析模型。最后，應(yīng)用Matlab軟件根據(jù)所建模型對母光柵刻劃設(shè)備的刻劃精度進(jìn)行了仿真分析。仿真結(jié)果表明：各項(xiàng)機(jī)械誤差綜合結(jié)果在各軸向的分量都在±0.4μm范圍之內(nèi)，均滿足母光柵刻劃設(shè)備精度要求。所建立的誤差分析模型具有簡潔方便、便于編程等優(yōu)點(diǎn)，可以作為設(shè)備設(shè)計(jì)時(shí)誤差合成和誤差分配的依據(jù)。

運(yùn)動平臺；機(jī)械誤差；多體系統(tǒng)動力學(xué)；低序體陣列

在現(xiàn)代機(jī)加行業(yè)中，大多采用光柵傳感器作為位置反饋裝置［1］。母光柵作為光柵尺產(chǎn)品中標(biāo)尺光柵的復(fù)制模板，其質(zhì)量直接決定了光柵尺產(chǎn)品的測量精度。運(yùn)動平臺是母光柵制作設(shè)備的重要部件，其誤差直接決定了母光柵制作的精度。全面分析運(yùn)動平臺的各項(xiàng)誤差與母光柵制作精度兩者之間的關(guān)系是研制母光柵制作設(shè)備過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。因此，本文旨在研究運(yùn)動平臺的各項(xiàng)誤差與設(shè)備最終的刻劃誤差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，為設(shè)備設(shè)計(jì)時(shí)的誤差分析提供依據(jù)。

運(yùn)動平臺的誤差包括平臺零部件和結(jié)構(gòu)的空間幾何誤差、熱誤差、載荷誤差、伺服誤差和插補(bǔ)誤差等［2］。其中前三項(xiàng)誤差屬于機(jī)械誤差，后兩項(xiàng)誤差可以歸屬為控制誤差。由于載荷誤差主要體現(xiàn)在大型和重型機(jī)床上［3］，而母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的載荷不大且屬于靜載荷，因此載荷誤差在此不予考慮。本文借鑒國內(nèi)外關(guān)于數(shù)控機(jī)床誤差建模的研究成果，并利用多體系統(tǒng)動力學(xué)理論建立了母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的幾何誤差及熱變形誤差與設(shè)備最終刻劃誤差之間的工程分析模型。

本文應(yīng)用Matlab軟件對所建模型進(jìn)行了仿真分析，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性和工程實(shí)用性，從而確定了所建的模型可以作為設(shè)備設(shè)計(jì)時(shí)進(jìn)行誤差分配和誤差合成的依據(jù)。

1　母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺整體結(jié)構(gòu)

1.1運(yùn)動平臺整體結(jié)構(gòu)

圖1為母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺組成示意圖，運(yùn)動平臺主要由X軸、Y軸、Z1軸和Z2軸四軸運(yùn)動系統(tǒng)以及基座、龍門架等組成。龍門架與基座固定為一體，X軸運(yùn)動系統(tǒng)置于龍門架上，Z1軸和Z2軸運(yùn)動系統(tǒng)置于X軸的滑塊上，增量碼道曝光頭與絕對碼道曝光頭分別置于Z1軸和Z2軸運(yùn)動系統(tǒng)的滑塊上，Y軸運(yùn)動系統(tǒng)置于基座上，Y軸運(yùn)動系統(tǒng)為宏微兩級運(yùn)動系統(tǒng)，即在采用直線電機(jī)驅(qū)動的宏動平臺滑塊上設(shè)計(jì)一壓電陶瓷驅(qū)動機(jī)構(gòu)作為微動系統(tǒng)，待刻玻璃尺板固定于微動平臺上。

圖1　運(yùn)動平臺組成示意圖

根據(jù)光柵尺的測量原理以及生產(chǎn)光柵尺的工藝水平，要求母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的機(jī)械誤差在各軸向的誤差分量不得超出±0.5μm范圍之外。

1.2運(yùn)動平臺各項(xiàng)機(jī)械誤差

與數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動軸機(jī)械誤差同理，母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺每軸運(yùn)動系統(tǒng)均有六項(xiàng)誤差［4］：3項(xiàng)平動誤差和3項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差，四軸共有24項(xiàng)誤差，同時(shí)各軸之間還有5項(xiàng)垂直度誤差，因此母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺具有29項(xiàng)幾何誤差。

母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的熱變形誤差主要是由于所用位移傳感器與傳感器安裝基體的材料熱膨脹系數(shù)不一致所引起的平動誤差，母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺共采用3根光柵尺和一臺雙頻激光干涉儀作為位移測量元件，本文將環(huán)境變化引起雙頻激光干涉儀的測量誤差當(dāng)作熱變形誤差，從而方便與其余3項(xiàng)光柵尺測量時(shí)的熱變形誤差進(jìn)行同類處理，因此設(shè)備的熱變形誤差共用4項(xiàng)。

綜上所述，母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的機(jī)械誤差共計(jì)33項(xiàng)，其中29項(xiàng)為幾何誤差，另外4項(xiàng)為熱變形誤差。

2　母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的拓?fù)涿枋?/h2>

2.1母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的拓?fù)涿枋?/p>

多體系統(tǒng)是對一般機(jī)械系統(tǒng)的完整抽象和有效描述，是分析和研究機(jī)械系統(tǒng)的最優(yōu)模型形式［5，6］。對于任意多體系統(tǒng)都可用低序體陣列對系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)字化描述［7］。采用多體系統(tǒng)理論來描述復(fù)雜系統(tǒng)，具有簡潔方便、規(guī)范化、通用性好并且程式化的優(yōu)點(diǎn)，特別方便于計(jì)算機(jī)編程。

圖2　運(yùn)動平臺的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

圖2為母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，B0為基座及龍門架，即為本系統(tǒng)的慣性參考系，B1為Y軸運(yùn)動系統(tǒng)的宏動級，B2為Y軸運(yùn)動系統(tǒng)的微動級，待刻玻璃板固定在B2上，B3為X軸運(yùn)動系統(tǒng)，B4為Z1軸運(yùn)動系統(tǒng)，B5為Z2軸運(yùn)動系統(tǒng)。表1為母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的各階低序體陣列，表中的k為體號，Ln（）K 為低序體算子，n為階數(shù)。

表1　低序體陣列

若高序體 j有大于低序體i的其它低序體，則低序體i的坐標(biāo)系至高序體j的坐標(biāo)系之間的齊次坐標(biāo)系變換矩陣為［8，9］：

式（1）中k為j的不小于i的低序體號。

2.2母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺機(jī)械誤差描述

母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的33項(xiàng)機(jī)械誤差分別為：X軸的3項(xiàng)平動誤差δxx、δyx、δzx，X軸的3項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差εxx、εyx、εzx；Y軸的3項(xiàng)平動誤差δxy、δyy、δzy，Y軸的3項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差εxy、εyy、εzy；Z1軸的3項(xiàng)平動誤差δxz1、δyz1、δzz1，Z1軸的3項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差εxz1、εyz1、εzz1；Z2軸的3項(xiàng)平動誤差δxz2、δyz2、δzz2，Z2軸的3項(xiàng)轉(zhuǎn)角誤差εxz2、εyz2、εzz2；各軸之間的垂直度誤差Sxy、Syz1、Syz2、Sxz1、Sxz2；各軸的熱變形誤差δx、δy、δz1、δz2。文中，δ表示平動誤差，ε表示角度誤差，第一下角標(biāo)表示誤差方向，第二角標(biāo)表示運(yùn)動軸方向，熱變形誤差項(xiàng)的單角標(biāo)即表示運(yùn)動軸方向，x、y、z1、z2分別表示設(shè)備工作時(shí)在各軸向的運(yùn)動增量。

X軸運(yùn)動的誤差特征變換矩陣為：

Y軸運(yùn)動的誤差特征變換矩陣為：

Z1軸運(yùn)動的誤差特征變換矩陣為：

Z2軸運(yùn)動的誤差特征變換矩陣為：

3　誤差模型

將圖2中從基座B0到光刻頭B4或B5稱為刀具分支，而把從基座B0到Y(jié)軸運(yùn)動系統(tǒng)微動級B2稱為工件分支。在待刻玻璃尺板的安裝基面上設(shè)置一坐標(biāo)系n作為工件坐標(biāo)系，在光刻頭的安裝基面上設(shè)置一坐標(biāo)系m作為刀具坐標(biāo)系，且n與m的各坐標(biāo)軸平行且方向相同，參考坐標(biāo)系j到坐標(biāo)系n的齊次變換矩陣為，參考坐標(biāo)系 j到坐標(biāo)系m的齊次變換矩陣為。假如各個(gè)部件沒有任何誤差，那么理想情況下，空間中一點(diǎn)的位移增量分別經(jīng)過刀具分支和工件分支變換到慣性參考系中的坐標(biāo)值應(yīng)該完全相等。由于各項(xiàng)誤差的存在，使得設(shè)備在各軸向的位移出現(xiàn)誤差，誤差的形式為：

式（6）即為母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺機(jī)械誤差模型的一般表達(dá)式，式中，｛｝t為設(shè)備工作時(shí)各軸的運(yùn)動增量。因此，可以得到增量碼道的誤差模型為式（7）：

同理可得到絕對碼道的誤差模型為式（9）：

從而可得到增量碼道的誤差在各軸向的分量值為式（9），增量碼道的誤差在各軸向的分量為式（10）。

4　仿真結(jié)果

母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，運(yùn)動平臺的設(shè)計(jì)方案中四個(gè)運(yùn)動軸系均采用氣浮導(dǎo)軌，X、Z1、Z2三軸均采用直線電機(jī)直接驅(qū)動，Y軸的宏動部分也采用直線電機(jī)驅(qū)動，微動部分采用壓電陶瓷驅(qū)動。設(shè)計(jì)時(shí)采用的導(dǎo)軌、電機(jī)等元件的性能參數(shù)均可以參考元件供貨商現(xiàn)有產(chǎn)品的參數(shù)。將各個(gè)參數(shù)與誤差矩陣的參數(shù)對應(yīng)起來，采用蒙特卡洛法進(jìn)行隨機(jī)模擬，即可得到母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺設(shè)計(jì)方案的機(jī)械誤差統(tǒng)計(jì)規(guī)律，從而預(yù)測運(yùn)動平臺的設(shè)計(jì)方案是否滿足要求。

表2　各項(xiàng)機(jī)械誤差的取值范圍

各項(xiàng)幾何誤差在其取值范圍內(nèi)隨機(jī)變化，因此將各項(xiàng)幾何誤差視為隨機(jī)誤差進(jìn)行仿真。設(shè)備所處恒溫室的溫度范圍是±0.1℃，因此在各軸的整個(gè)運(yùn)動過程中，溫度變形也在一定范圍內(nèi)變動，那么也將溫度變形作為隨機(jī)誤差進(jìn)行仿真。根據(jù)母光柵刻劃設(shè)備的總體精度指標(biāo)要求以及當(dāng)前針對各機(jī)械零件的加工精度水平和材料的線膨脹系數(shù)等，為各項(xiàng)機(jī)械誤差分配相應(yīng)的誤差范圍。各個(gè)誤差項(xiàng)的取值范圍如表2所示。

根據(jù)所得誤差模型，利用Matlab進(jìn)行隨機(jī)仿真10000次。進(jìn)行隨機(jī)模擬時(shí)即是根據(jù)表2所列的誤差范圍對各項(xiàng)機(jī)械誤差進(jìn)行隨機(jī)取值，每進(jìn)行一次隨機(jī)仿真，所有33項(xiàng)機(jī)械誤差的值都隨機(jī)取值一次，將33個(gè)隨機(jī)誤差取值代入第3節(jié)所得到的誤差模型（即式（9））中，即可得到一次各軸向誤差分量的隨機(jī)仿真結(jié)果。隨機(jī)仿真1000次后即可得到各軸向誤差分量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。由于Z1軸和Z2軸結(jié)構(gòu)完全相同，因此，仿真僅對包含Z1軸的增量碼道的誤差模型進(jìn)行仿真，將Z1軸和Z2軸統(tǒng)稱為Z軸。將仿真結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表3是設(shè)備的機(jī)械誤差在各軸向的誤差分量的仿真結(jié)果樣本統(tǒng)計(jì)的特征值，圖3是各軸向誤差分量值，圖4是各軸向誤差分量的概率統(tǒng)計(jì)直方圖。

表3　各軸向誤差分量統(tǒng)計(jì)特征值

由圖3、圖4和表3可以得知，母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺的綜合機(jī)械誤差在各個(gè)軸向的分量值均在±0.4μm范圍之內(nèi)，其置信度為99.73%，且誤差在各個(gè)軸向的分量值近似符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

圖3　各軸向誤差分量

圖4　各軸向誤差分量的概率密度

5　結(jié)論

采用多體系統(tǒng)動力學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)了對母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺機(jī)械誤差與設(shè)備最終刻劃誤差之間的誤差分析建模，并根據(jù)工程實(shí)際給出各個(gè)機(jī)械誤差量的取值范圍，應(yīng)用Matlab對所建誤差模型進(jìn)行仿真分析。仿真結(jié)果表明：最終的刻劃誤差在各個(gè)軸向誤差分量值均在±0.4μm之內(nèi)，完全滿足母光柵刻劃設(shè)備的指標(biāo)需求；各軸向的誤差值概率分布近似符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。通過對母光柵刻劃設(shè)備運(yùn)動平臺機(jī)械誤差的工程建模，可以快速簡便地預(yù)測設(shè)備最終精度，同時(shí)也能根據(jù)模型和零部件的加工難易程度對各機(jī)械誤差值進(jìn)行重新分配和調(diào)整，在保證最終精度的前提下適當(dāng)?shù)亟档土悴考圃炀龋瑥亩档椭圃斐杀竞图庸るy度。

［1］ 孫強(qiáng).高精度絕對式光柵尺研究進(jìn)展及技術(shù)難點(diǎn)［J］.世界制造技術(shù)與裝備市場，2012，（5）：72-73.

［2］ 劉啟東，徐春廣.基于多體系統(tǒng)理論的車銑中心空間誤差模型分析［J］.組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)，2005，（5）：55-58.

［3］ 陳振東.數(shù)控機(jī)床載荷誤差及其補(bǔ)償?shù)难芯浚跠］.天津：天津大學(xué)，2007.

［4］ 何振亞.數(shù)控機(jī)床三維空間誤差建模及補(bǔ)償研究［D］.浙江：浙江大學(xué)，2010.

［5］ 劉又午.多體動力學(xué)的休斯敦方法及其發(fā)展［J］.中國機(jī)械工程，2000，11（6）：601-607.

［6］ 戎保，芮筱亭，王國平，等.多體系統(tǒng)動力學(xué)研究進(jìn)展［J］.振動與沖擊，2011，30（7）：178-187.

［7］ 休斯敦RL，劉又午.多體系統(tǒng)動力學(xué)［M］（上下冊）.天津：天津大學(xué)出版社，1987/1991.

［8］ 粟時(shí)平，李圣怡，王貴林.多軸數(shù)控機(jī)床的通用運(yùn)動學(xué)綜合空間誤差模型［J］.國防科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，23（4）：45-50.

［9］ 齊朝暉.多體系統(tǒng)動力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2008.

Mechanical Error Analysis for Motion Platform of Master Grating Ruling Engine

HUANG Jianbo，ZHENG Liming
（Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033）

In order to establish the relationship between the mechanical errors of the motion platform and the ultimate accuracy for the master grating ruling engine，and provide a theoretical basis for the design and manufacture.First，the topological structure and the lower body array have been established，using the method of multibody system dynamics. Then after establishing the error components of the mechanical error of the motion platform，a analytical model between the error components and the ultimate accuracy of the master grating ruling engine has been established.Finally，Matlab simulation for the accuracy of the master grating ruling engine based on the model has been accomplished.The simulation results indicate that every axial error component is within±0.4μm range and meets the master grating ruling requirement.The model can be used as a theoretical basis of error synthesis and error allocation for instrument design，as well as its advantages of simple and convenient，and easy programming etc.

motion platform；mechanical error；multibody system dynamics；lower numbered body array

TH128

A

1672-9870（2015）05-0009-05

2015-07-14

國家科技重大專項(xiàng)子課題“高集成化單碼道絕對式光柵尺研發(fā)及產(chǎn)業(yè)化”（2013ZX04007-021）

黃劍波（1983-），男，碩士，助理研究員，E-mail：huangjianbo208@163.com