張學(xué)朋，蔣宇靜，王剛, , 3，李天斌

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基于顆粒離散元模型的巖石蠕變模擬試驗

張學(xué)朋1，蔣宇靜1，王剛1, 2, 3，李天斌2

(1. 山東科技大學(xué)礦山災(zāi)害預(yù)防控制省部共建國家重點實驗室培育基地，山東青島，266590；2. 成都理工大學(xué)地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室，四川成都，610059；3. 山東科技大學(xué)山東省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點實驗室，山東青島，266590)

為了從巖石顆粒之間不連續(xù)特征的角度研究其永久變形行為，基于顆粒流理論，采用顆粒離散元方法對微觀顆粒之間的接觸賦予Burgers模型，進行巖石二維離散元虛擬單軸蠕變試驗。采用單因素法研究分析顆粒粒徑、摩擦因數(shù)、顆粒法向與切向剛度比對流變特性模擬值的影響。從單軸蠕變壓縮的軸向蠕變及軸向蠕變速率曲線的離散元模擬值與其解析解對比可以看出：模擬結(jié)果與解析解具有較高的吻合性；為更加明確地表示出蠕變不同階段，選用對數(shù)蠕變?nèi)崃縼磉M行解析解與模擬值的比對，蠕變初始階段，PFC壓縮模型會低估蠕變?nèi)崃?，而在穩(wěn)定蠕變階段，兩者具有高度的一致。數(shù)值模擬與解析解結(jié)果對比驗證顆粒流Burgers模型適合用于巖石蠕變試驗研究中，可為巖石蠕變的后續(xù)深入研究提供有益的參考。

巖石；不連續(xù)特征；永久變形；離散元法；Burgers模型

巖體的力學(xué)形態(tài)不僅表現(xiàn)出彈性和塑性的特征，而且具有與時間相關(guān)的流變性。由隧洞圍巖變形、圍巖與支護共同作用隨時間的發(fā)展及巖體強度隨時間的降低可看出：充分考慮巖石的流變特性，研究產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因及其宏細觀力學(xué)機制，無論對于巖石力學(xué)理論研究，還是對于實際巖石工程應(yīng)用都具有十分重要的意義。因此，國內(nèi)外學(xué)者分別從室內(nèi)試驗、理論分析及數(shù)值模擬等方面對巖石流變力學(xué)特性展開研究。室內(nèi)試驗[1?4]是進行巖石蠕變特性研究的一個重要手段，但是蠕變試驗因周期長、工作量大、需要消耗較大的人力和物力，從而限制了這一方法的進一步應(yīng)用。利用流變理論[5?7]，可進行各種復(fù)雜黏彈性、黏塑性、黏彈塑性問題的求解，而所建立的蠕變特性方程中通常含有較多不易測定的參數(shù)，這使得理論分析的應(yīng)用受到較大的限制。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值模擬已經(jīng)與理論分析和室內(nèi)試驗一起成為科學(xué)研究的三大支柱。針對巖石流變特性的研究，數(shù)值模擬能夠真實地模擬受施工過程等各種工程因素影響的巖體流變力學(xué)行為，已經(jīng)成為一種有效的研究手段。主要方法有有限元、邊界元、有限差分等[8?11]。上述模擬方法主要從巖石應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)隨時間而持續(xù)增長變化的角度來進行研究，但是巖石流變特性是由于巖石礦物組構(gòu)(骨架)隨時間的不斷調(diào)整造成的[12]，而上述方法無法從細觀角度揭示巖石流變的產(chǎn)生機理。隨著巖體工程問題的日趨復(fù)雜，僅靠對表象規(guī)律性的了解已不能較好地解決復(fù)雜的工程問題，只有對巖石流變的宏細觀機制進行充分研究，才有可能較好地解決這些工程問題。因此，本文作者基于顆粒流理論，采用顆粒離散元法對微觀顆粒之間的接觸賦予Burgers模型，進行了巖石二維離散元虛擬單軸蠕變試驗，與Burgers模型理論解對比分析，用來驗證此方法的可靠性，使得從細觀角度研究巖石在各種影響因素下蠕變過程中內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化和改組成為可能。

1 微觀接觸模型及其參數(shù)確定

1.1 微觀接觸模型

PFC(particle flow code)中的基本模型有接觸模型、滑動模型和接觸黏結(jié)模型3種，在基本的巖石常規(guī)試驗?zāi)M中，常常選用接觸模型和接觸黏結(jié)模型來表征巖石顆粒的剛度及顆粒之間的膠結(jié)物[13]，而上述模型無法描述巖石的流變特性，因此選用流變模型，本文選用PFC自帶的Burgers流變模型，其基本原理如圖1所示。圖中：mn，ms，kn和ks為黏壺單元的黏性系數(shù)；mn，ms，kn和ks為彈簧單元的剛度系數(shù)?？紤]到巖石顆粒剛度特性，同時使用接觸模型中的線性接觸模型。

圖1 Burgers模型

使用上述2種接觸模型的顆粒之間是通過彈簧單元與burgers模型串聯(lián)而成的，如圖2所示。因此在計算過程中可以將彈簧單元與Burgers模型中彈簧原件按照彈簧串聯(lián)理論進行參數(shù)校核。

圖2 線性接觸模型與Burgers模型并存時參數(shù)轉(zhuǎn)換

1.2 宏細觀參數(shù)轉(zhuǎn)化

細觀參數(shù)是接觸點處力學(xué)性質(zhì)的抽象表述，也是PFC中模型參數(shù)的間接表達。PFC中的微觀模型的參數(shù)很難直接從室內(nèi)試驗得到，需要建立微觀模型參數(shù)與宏觀試驗參數(shù)之間的關(guān)系，通過室內(nèi)試驗得到宏觀試驗參數(shù)，進而根據(jù)已建立的轉(zhuǎn)化關(guān)系得到微觀模型參數(shù)[14]。

Burgers模型本構(gòu)方程如下：

式中：n和s分別為接觸點處法向和切向接觸力；n和s分別為接觸點處法向和切向相對位移；k和k分別為開爾文單元中的法向和切向位移；mk和mk分別為麥克斯韋爾模型中彈簧單元部分的法向和切向位移；mc和mc分別為麥克斯韋爾模型中黏壺單元部分的法向和切向位移。

有研究認為[15]顆粒之間的接觸特性與梁的兩端連接2個顆粒的作用特性相同，因此，對于本文中所研究的顆粒之間的黏彈性特性，選用兩端作用一定力和力矩的黏彈性梁來描述離散單元之間的接觸特性，從而推導(dǎo)出黏彈性參數(shù)與細觀參數(shù)之間的關(guān)系，基本原理圖如圖3所示。

圖3 黏彈性梁示意圖

在軸向加載條件下，Burgers模型3個部分位移可以通過相關(guān)的應(yīng)變表示：

將式(5)代入式(1)得到法向接觸力與應(yīng)變之間關(guān)系：

宏觀Burgers模型相應(yīng)的應(yīng)力表達為

式中：為黏彈性梁的長度，即相鄰單元的球心距；1和1分別為Maxwell模型中彈簧單元模量與黏壺單元黏度；2和2分別為Kelvin模型中彈簧單元模量與黏壺單元黏度。

在二維情況下，假設(shè)顆粒單元的厚度為，此時黏彈性梁的厚度也為，即梁截面面積為=[15]。

由法向應(yīng)力與合力關(guān)系f=得到：

將式(6)和式(7)代入式(8)：

即有：

同理：

通過上述等式，即可將Burgers模型參數(shù)轉(zhuǎn)換為PFC接觸模型的4個法向細觀參數(shù)。根據(jù)彈性模量()與剪切模量之間的關(guān)系)：=2(1+)可得到PFC接觸模型的4個切向細觀參數(shù)[14]：

本文流變參數(shù)借鑒已有的室內(nèi)壓縮蠕變試驗擬合參數(shù)：1=0.256GPa，2=0.470GPa，1=2100.000GPa·h，2=3.020GPa·h[16]。

模擬試驗中細觀流變參數(shù)使用FISH語言通過判別每2個相鄰顆粒之間的距離來進行設(shè)置。線性接觸模型中接觸模量選取30GPa，泊松比選為0.25，線性接觸模型剛度取值按照已有經(jīng)驗公式進行確定[17]。

1.3 時間轉(zhuǎn)換

顆粒流理論是一種中心差分算法，其時步計算的理論基礎(chǔ)是求解單自由度有阻尼彈性體系的中心差分格式下的臨界時步。計算公式為：(式中：p為顆粒質(zhì)量，為接觸剛度)。只有在時步不超過與最小固有周期相關(guān)的極限時步時才能夠保證計算結(jié)果的穩(wěn)定性，且Cundall等[18]指出離散元的一個基本思想就是時步必須足夠小以保證在一個時間步內(nèi)擾動只會影響最近的基本單元。經(jīng)過反復(fù)測試，選取固定計算時步為1.0×10?5，足以滿足計算結(jié)果的穩(wěn)定性及有效性。

2 蠕變壓縮試驗數(shù)值模型及參數(shù)研究

2.1 蠕變壓縮試驗數(shù)值模型建立

本研究基于BPM(bonded-particle model method)方法建立數(shù)值模型，模型尺寸采用與室內(nèi)試驗同樣尺寸50mm×100mm(直徑×高)。圖4所示為顆粒平均粒徑為0.3375 mm時的壓縮模型。模型采用剛性wall邊界(1號~4號)。為與室內(nèi)試驗剛性加載板相一致，上下wall端面(1號，3號)剛度設(shè)置為模型顆粒剛度的10倍，而側(cè)向wall邊界(2號，4號)設(shè)置為模型平均顆粒剛度的0.1倍，從而來實現(xiàn)側(cè)向的柔性條件。通過FISH語言編寫伺服機制來實現(xiàn)對顆粒流模型施加1MPa的軸向荷載。

圖4 蠕變壓縮試驗數(shù)值模型

2.2 參數(shù)研究

在PFC模擬的過程中，除了上述流變參數(shù)通過1.2節(jié)關(guān)系式確定以外，對計算結(jié)果的影響因素還有顆粒粒徑、摩擦因數(shù)、顆粒法向與切向剛度比，對上述3個參數(shù)的影響研究采用單因素分析法。

2.2.1 顆粒粒徑影響分析

使用不同顆粒粒徑建立壓縮試驗?zāi)Ｐ?，不同顆粒粒徑時模型的顆?？倲?shù)如表1 所示。圖5和圖6所示分別為不同顆粒粒徑下模型的軸向應(yīng)變及蠕變速率曲線。從圖5可以看出：隨著顆粒粒徑的增大，軸向應(yīng)變整體上呈現(xiàn)出增大的趨勢，在小的范圍內(nèi)也會存在一定的反增長趨勢，如平均顆粒粒徑2.2500mm下的軸向應(yīng)變要小于平均顆粒粒徑1.6875mm下的軸向應(yīng)變；隨著顆粒粒徑的減小，正增長的影響程度逐漸減小。從圖6可以看出：初始蠕變階段，蠕變速率隨著顆粒粒徑的增加而增大，到達穩(wěn)定蠕變階段，顆粒粒徑對蠕變速率幾乎不產(chǎn)生影響；當(dāng)顆粒粒徑較大(如3.000~3.750mm)時，穩(wěn)定蠕變階段的蠕變速率會存在較大的起伏變化。通過軸向應(yīng)變及軸向蠕變速率曲線綜合比對可知：不同顆粒粒徑下的壓縮模型從初始蠕變到穩(wěn)定蠕變過渡所經(jīng)歷的時間約為30h，顆粒粒徑對初始蠕變階段到穩(wěn)定蠕變階段過渡所需要的時間影響不大。

表1 影響參數(shù)的模擬工況

顆粒粒徑/mm：1—3.000~3.750；2—2.000~2.500；3—1.500~1.875；4—1.000~1.250；5—0.800~1.000；6—0.500~0.625；7—0.300~0.375；8—0.200~0.250

顆粒粒徑/mm：1—3.000~3.750；2—2.000~2.500；3—1.500~1.875；4—1.000~1.250；5—0.800~1.000；6—0.500~0.625；7—0.300~0.375；8—0.200~0.250

綜上所述，顆粒粒徑對模型軸向應(yīng)變以及初始蠕變階段的軸向蠕變速率產(chǎn)生一定的影響，隨著顆粒粒徑變小，這種影響逐漸變小，在平均顆粒粒徑 0.5625~0.2250 mm范圍內(nèi)，軸向應(yīng)變及其變化速率在很小的范圍內(nèi)浮動。因此考慮到模型計算效率問題，在后續(xù)的研究中選擇平均顆粒粒徑為0.3375mm的顆粒。

2.2.2 摩擦因數(shù)影響分析

選取0~1.0范圍內(nèi)的摩擦因數(shù)來分析其對模型試驗的影響，具體工況如表1所示。圖7和圖8所示分別為不同摩擦因數(shù)下模型的軸向應(yīng)變及蠕變速率曲線。從圖7可以看出：瞬時蠕變隨著摩擦因數(shù)的增加逐漸增大，而其影響程度隨著摩擦因數(shù)的增加有所減小。初始蠕變階段和穩(wěn)定蠕變階段，摩擦因數(shù)為0時，軸向應(yīng)變最大，隨著摩擦因數(shù)的增加，模型內(nèi)部內(nèi)聚力加大，從而使得軸向應(yīng)變逐漸減小。從圖8可以看出：摩擦因數(shù)對蠕變速率不產(chǎn)生任何影響，不同摩擦因數(shù)下的壓縮模型從初始蠕變到穩(wěn)定蠕變過渡所經(jīng)歷的時間約為30h，可以看出摩擦因數(shù)對初始蠕變階段到穩(wěn)定蠕變階段過渡所需要的時間影響不大。

摩擦因素：1—0；2—0.2；3—0.5；4—0.6；5—0.7；6—1.0

摩擦因素：1—0；2—0.2；3—0.5；4—0.6；5—0.7；6—1.0

2.2.3 顆粒剛度比影響分析

選取0.5~5.0范圍內(nèi)的剛度比來分析其對模型試驗的影響，具體工況如表1所示。圖9和圖10所示分別為不同顆粒剛度比下模型的軸向應(yīng)變及蠕變速率曲線。從圖9可以看出：顆粒剛度比的影響存在一個臨界點，在所選取的幾個工況中，當(dāng)顆粒剛度比小于1.0時，軸向蠕變會隨著顆粒剛度比的增加而逐漸增加，但是當(dāng)顆粒剛度比超過1.0時，顆粒剛度對軸向應(yīng)變幾乎不產(chǎn)生影響。從圖10可以看出：顆粒剛度比對蠕變速率不產(chǎn)生任何影響。通過軸向應(yīng)變及軸向蠕變速率曲線綜合比對可知，不同顆粒剛度比下的壓縮模型從初始蠕變到穩(wěn)定蠕變過渡所經(jīng)歷的時間約為30h，可以看出顆粒剛度比對初始蠕變階段到穩(wěn)定蠕變階段過渡所需要的時間影響不大。

剛度比：1—0.5；2—1.0；3—2.0；4—3.0；5—4.0；6—5.0

剛度比：1—0.5；2—1.0；3—2.0；4—3.0；5—4.0；6—5.0

3 壓縮蠕變數(shù)值模擬結(jié)果驗證

為了驗證數(shù)值模擬結(jié)果的正確性，將模型試驗結(jié)果與Burgers解析解進行比對分析。

3.1 Burgers模型

宏觀Burgers模型如圖11所示，其一維本構(gòu)方程和蠕變方程為：

式中：1和2分別為瞬時彈性模量和黏性模量；和分別為應(yīng)力對時間的一次求導(dǎo)和二次求導(dǎo)；和分別為應(yīng)變對時間的一次求導(dǎo)和二次求導(dǎo)；1和2為黏滯系數(shù)。

圖11 Burgers模型

3.2 蠕變壓縮模擬結(jié)果驗證

根據(jù)上述不同參數(shù)對結(jié)果的影響分析研究，選取顆粒平均粒徑為0.3375mm，摩擦因數(shù)為0.5，顆粒法向與切向剛度比為3.0，流變參數(shù)根據(jù)1.2節(jié)方法進行確定。圖12~14所示為1.0MPa軸向荷載下Burgers模型的解析解與模擬值的對比。

1—Burgers解析解；2—PFC模擬值

1—Burgers解析解；2—PFC模擬值

1—Burgers解析解；2—PFC模擬值

由圖12可見：兩者具有較高的吻合度，但是模擬解要比解析解略大。這是由于：PFC壓縮模型的內(nèi)部孔隙率與實際試件內(nèi)部孔隙率存在著不同，另外，本文PFC壓縮模型采用圓形顆粒與真實巖石顆粒存在著差別。

從圖13可以看出：解析解與模擬值具有良好的吻合度，并且從初始蠕變階段向穩(wěn)定蠕變階段轉(zhuǎn)變的時間也具有很高的吻合度。

為了更加明確地表示出蠕變不同階段，選用對數(shù)蠕變?nèi)崃縼磉M行解析解與模擬值的比對，如圖14所示。由圖14可以看出：在蠕變初始階段，PFC壓縮模型會低估蠕變?nèi)崃浚诜€(wěn)定蠕變階段，兩者具有高度的一致性。

4 結(jié)論

1) 基于顆粒流理論，在解決Burgers模型宏細觀參數(shù)等問題后，采用PFC程序建立單軸蠕變顆粒流模型，實現(xiàn)了巖石二維離散元虛擬單軸蠕變試驗。

2) 確定宏細觀蠕變參數(shù)以后，采用單因素法研究分析了顆粒粒徑、摩擦因數(shù)、顆粒法向與切向剛度比值對流變特性的影響。顆粒粒徑及剛度比對軸向蠕變的影響都存在一個臨界值，超過臨界值以后，軸向蠕變隨著顆粒粒徑的增大而增大，而不受剛度比的影響；軸向蠕變隨著摩擦因數(shù)的增加出現(xiàn)非線性增加的趨勢；初始蠕變階段，蠕變速率隨著顆粒粒徑的增加而增加，而不受摩擦因數(shù)和顆粒剛度比的影響，穩(wěn)定蠕變階段，三因素對蠕變速率幾乎不產(chǎn)生影響。

3) 單軸蠕變壓縮的軸向蠕變及軸向蠕變速率曲線的離散元模擬值與其解析解具有較高的吻合性；為了更加明確地表示出蠕變不同階段，選用對數(shù)蠕變?nèi)崃縼磉M行解析解與模擬值的比對。在蠕變初始階段，PFC壓縮模型會低估蠕變?nèi)崃?，而在穩(wěn)定蠕變階段，兩者具有高度的一致。

4) 驗證了顆粒流Burgers模型適合用于巖石蠕變試驗研究中，使得從細觀角度研究巖石在各種影響因素下蠕變過程中內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化和改組成為可能，從而通過宏細觀變形機理的綜合分析，能夠進一步充實巖體流變理論，促進巖體流變理論的工程應(yīng)用。

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Creep simulation test of rock based on particle discrete element method

ZHANG Xuepeng1, JIANG Yujing1, WANG Gang1, 2, 3, LI Tianbin2

(1. State Key Laboratory of Mining Disaster Prevention and Control Co-founded by Shandong Province and the Ministry of Science and Technology, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China; 2. State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection, Chengdu University of Technology, Chengdu 610059, China;3. Shandong Provincial Key Laboratory of Civil Engineering Disaster Prevention and Mitigation,Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China)

In order to investigate the permanent deformation behavior of rock considering its discontinuous feature, a two-dimension (2D) virtual uniaxial creep test of rock was developed based on the particle flow theory. According to the discrete element method, the micro parameters of Burgers model in particle flow code (PFC) was studied first. The effects of the micro-properties such as the particle radius, friction coefficient and the ratio of particle normal and shear stiffness on its creep behavior were examined using the single factor method. The simulated results of the axial strain and its rate exhibit similar trends to their corresponding analytical results. The main advantage of plotting the creep compliance is that it allows easy identifying of the distinct creep stages. The comparison shows that the simulation results underestimate the creep compliance in the initial creep stage but do a satisfactory prediction in the steady-state creep stage. The correctness of Burgers model in the study of rock creep behavior was verified by the comparison between the simulation and analytical results and it can function as a beneficial reference for further research on the rock creep in PFC.

rock; discontinuous feature; permanent deformation; discrete element method; Burgers model

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.10.047

TU452

A

1672?7207(2015)10?3914?08

2015?02?02；

2015?04?09

國家自然科學(xué)基金資助項目(51279097，51379117，51479108)；山東省博士后基金資助項目(201402014)(Projects (51279097, 51379117, 51479108) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (201402014) supported by the Shandong Province Postdoctoral Science Foundation)

王剛，博士，副教授，從事巖石力學(xué)與工程方面研究；E-mail：wanggang1110@gmail.com

(編輯 陳愛華)