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        基礎(chǔ)共能力一卷 創(chuàng)新與應(yīng)用齊飛

        2015-10-09 07:35:21徐剛陳發(fā)志
        求學(xué)·理科版 2015年9期
        關(guān)鍵詞:考試題主干圖象

        徐剛 陳發(fā)志

        隨著新課改的逐步深入,高考命題也不斷與時(shí)俱進(jìn).縱觀2015年各省市的數(shù)學(xué)高考試題,不難發(fā)現(xiàn)在命題方面有很多共同點(diǎn),除了延續(xù)“總體穩(wěn)定、深化能力立意、積極改革創(chuàng)新”的命題原則,還從原來的注重雙基向優(yōu)化雙基轉(zhuǎn)變,突出對創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查.

        規(guī)律揭秘:2015年高考考什么

        1.立足課本重基礎(chǔ),平穩(wěn)過渡是主流

        高考試題既注重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法,又突出對支撐學(xué)科知識體系主干內(nèi)容的考查,做到了重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考查.

        從上述表格中不難看出,試題的設(shè)計(jì)分別取材于構(gòu)成高中數(shù)學(xué)主題框架內(nèi)容的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)等,不僅考查分值比例高,而且有機(jī)融合了與之相關(guān)的技能和方法.我們可以預(yù)測,2016年的高考數(shù)學(xué)仍將圍繞著這些主干知識展開命題.

        例1 (2015·山東卷)一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為( )

        A. 或 B.或

        C. 或 D.或

        點(diǎn)評:試題考查直線與圓的位置關(guān)系,取材于人教版高中數(shù)學(xué)必修2第152頁B組的第5題,一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)x軸反射后與圓C:(x-3)2+(y-2)2=1相切,求反射光線所在直線的方程. 很多高考試題都“源于課本,高于課本”,在課本練習(xí)的基礎(chǔ)上經(jīng)過加工改造、組合嫁接而成,這也是很多高考選擇題和填空題的命題思路.

        例2 (2015·上海卷)已知函數(shù)f(x)=ax2+ ,其中a為常數(shù).

        (1)根據(jù)a的不同取值,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并說明理由;

        (2)若a∈(1,3),判斷函數(shù)f(x)在[1,2]上的單調(diào)性,并說明理由.

        點(diǎn)評:試題考查函數(shù)的核心內(nèi)容“三性”中的單調(diào)性和奇偶性.函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容,是高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)、最典型的問題,在教材中都有很多類似的例題和習(xí)題. 這道題目根植于書本,很好地考查了考生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度.同時(shí),隨著新課改的推行,導(dǎo)數(shù)作為工具性作用更為突出,但是數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)不會被削減,支撐起數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心概念仍然會重點(diǎn)考查.

        2.突出主干重能力,數(shù)學(xué)思想是核心

        高考試題雖然大都以常規(guī)題出現(xiàn),但是從不削弱對基本能力的要求.對支撐學(xué)科知識體系的主干知識重點(diǎn)考查,不回避熱點(diǎn),同時(shí)通過多道主干知識問題的設(shè)置,淡化壓軸題,突出多題把關(guān).在突出主干知識,注重基本技能的同時(shí),強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的考查,問題的設(shè)計(jì)始終以數(shù)學(xué)思想為核心,堅(jiān)持能力立意,全面考查空間想象、抽象概括、數(shù)據(jù)處理、推理論證、運(yùn)算求解等能力.

        例3 (2015· 天津卷)已知函數(shù)f(x)= ,

        函數(shù)g(x)=b-f(2-x) ,其中b∈R . 若函數(shù)y=f(x)-g(x) 恰有4個(gè)零點(diǎn),則b的取值范圍是( )

        A. (,+∞) B. (-∞,) C. (0,) D. (,2)

        點(diǎn)評:本題可以將y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象交點(diǎn)問題.根據(jù)圖象的性質(zhì)可知y=f(x)與y=-f(2-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1, 0)對稱,故g(x)=b-f(2-x)為函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1, 0)對稱后上下平移|b|個(gè)單位而得到,由此做出兩個(gè)函數(shù)圖象,并對y=-f(2-x)的圖象進(jìn)行上下平移,尋求4個(gè)交點(diǎn)的臨界位置,進(jìn)而求出b的取值范圍.

        該題是典型的利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題.高考對數(shù)形結(jié)合的考查形式主要有集合及其運(yùn)算問題(韋恩圖與數(shù)軸)、用函數(shù)圖象解決有關(guān)問題(如方程、不等式、函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)等)、考查運(yùn)用向量解決有關(guān)問題、考查三角函數(shù)的圖象及其應(yīng)用、解析幾何和立體幾何中的數(shù)形結(jié)合等,其中尤其以結(jié)合函數(shù)圖象解決性質(zhì)問題最為突出.

        例4 (2015·全國新課標(biāo)卷I)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是 .

        點(diǎn)評:該題考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想,將解三角形的原理推廣運(yùn)用到四邊形中,要求考生打破常規(guī)思路,獨(dú)立思考,積極探究.考生對解三角形的問題很熟練,平時(shí)也練得很多,如果只是陷入題海,不能轉(zhuǎn)化與化歸,本題也無從下手.本題解決的關(guān)鍵是將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題,以B,C為定點(diǎn),直線BC為定直線構(gòu)造一個(gè)三角形BCD,然后根據(jù)∠A=75°構(gòu)造一條動直線AD,從運(yùn)動的規(guī)律找出點(diǎn)A的臨界位置,從而求出AB的范圍.轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位,高考對這種思想方法的考查所占比重很大,是歷年高考考查的重點(diǎn).

        3.創(chuàng)新問題重情境,文化滲透是亮點(diǎn)

        數(shù)學(xué)源于生活與實(shí)踐,數(shù)學(xué)知識是解決實(shí)際問題的有力工具,各省市高考試題都注重對問題情境的設(shè)計(jì),通過一些涉及應(yīng)用背景的創(chuàng)新問題,體現(xiàn)高考命題的實(shí)用性.

        例5 (2015·全國新課標(biāo)卷I)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖1,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆為一個(gè)圓錐的四分之一,米堆底部的弧度為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放斛的米約有( )

        A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

        圖1

        點(diǎn)評:試題在設(shè)置的過程中滲透了傳統(tǒng)文化,以《九章算術(shù)》這一古代數(shù)學(xué)中的問題為背景,考查了立體幾何模型的體積計(jì)算,體現(xiàn)了中國文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長.

        例6 (2015·湖北卷)如圖2,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2.endprint

        (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .

        (2)過點(diǎn)A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論:

        ① =;② -=2;

        ③ +=2.

        其中正確結(jié)論的序號是 . (寫出所有正確結(jié)論的序號)

        點(diǎn)評: 本題第(2)問的設(shè)計(jì)隱含阿波尼斯圓的幾何性質(zhì). 阿波尼斯圓:在平面上給定兩點(diǎn)A、B,設(shè)P點(diǎn)

        在同一平面上且滿足=k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)P的

        軌跡是一個(gè)圓,它是由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的. 以阿波尼斯圓為背景的高考試題并非第一次在高考試題中出現(xiàn),在教材中也有其身影,如人教版數(shù)學(xué)必修2第131頁B組第3題:已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0, 0),A(3, 0)的距離之

        比為,利用信息技術(shù)手段,探求點(diǎn)M的軌跡,并求出

        它的方程.

        備考錦囊:2016年高考怎么考

        1. 夯實(shí)基礎(chǔ)——咬定青山不放松

        高考注重對主干知識的考查,因此我們備考時(shí)要針對主干內(nèi)容(如函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何等)進(jìn)行突破,把所學(xué)過的知識連成線、鋪成面、織成網(wǎng),梳理出知識結(jié)構(gòu),形成有序立體的知識網(wǎng)絡(luò). 在構(gòu)建知識體系的過程中,可采用思維導(dǎo)圖等方法,結(jié)合典型例題,熟知知識的前后關(guān)聯(lián)、橫縱比較、綜合交匯,通過不斷的強(qiáng)化訓(xùn)練,達(dá)到舉一反三的效果.

        要注重通性通法的訓(xùn)練,淡化技巧.在這幾年的高考試題中,這一點(diǎn)都得以體現(xiàn).對于解決一類問題的一般方法要重點(diǎn)訓(xùn)練,通過題組、變式訓(xùn)練等方式鞏固通性通法.對于典型問題的常見思想方法要加以概括、歸納,形成方法體系網(wǎng)絡(luò).

        2.提升能力——藝高膽大勤訓(xùn)練

        考生要圍繞《考試大綱》涉及的五種基本能力(空間想象、抽象概括、數(shù)據(jù)處理、推理論證、運(yùn)算求解)的要求進(jìn)行專項(xiàng)強(qiáng)化訓(xùn)練.這五種能力的互相關(guān)系也不同,每個(gè)考生的側(cè)重點(diǎn)也不一樣,如運(yùn)算能力是相當(dāng)一部分考生需要突破的瓶頸,尤其是解析幾何綜合題的求解,總是看得到思路卻求不出結(jié)果.因此,我們要對解析幾何復(fù)雜運(yùn)算過程進(jìn)行訓(xùn)練,通過分步運(yùn)算,一個(gè)階段給出運(yùn)算目標(biāo),通過不斷的目標(biāo)調(diào)整提高運(yùn)算能力.

        3.實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新——功夫還是在書外

        創(chuàng)新問題的設(shè)計(jì)情境新穎,注重問題求解的多樣性和思維的發(fā)散性.因此創(chuàng)新問題的訓(xùn)練應(yīng)該在書外,考生要注重多個(gè)章節(jié)知識和內(nèi)容的遷移交匯,通過各章節(jié)知識點(diǎn)的有機(jī)融合,在解題過程中看清知識發(fā)生的本源,看透知識的形成、推廣和應(yīng)用過程.

        小編寄語:高考試題是“年年歲歲題相似”,卻總是“歲歲年年意不同”,有延續(xù)、有傳承,更有創(chuàng)新、有突破.只要肯鉆研、肯學(xué)習(xí)、肯下苦功夫,高考的成功一定屬于我們.endprint

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