李仙枝

【摘 要】傳統(tǒng)TSVD算法穩(wěn)定，運(yùn)算量很大，適用于高信噪比的數(shù)據(jù)反演。將一種改進(jìn)TSVD算法應(yīng)用于核磁測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的反演中，該方法通過(guò)引入正則化算子，對(duì)模型進(jìn)行平坦度約束，解決了傳統(tǒng)TSVD反演算法在實(shí)際應(yīng)用中存在的計(jì)算量大和T2譜分布不連續(xù)的問(wèn)題，提高了TSVD算法的反演精度。數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)表明，該算法在較大范圍內(nèi)具有穩(wěn)定性，反演結(jié)果穩(wěn)定可靠，可以滿(mǎn)足核磁共振測(cè)井工作的需求。

【關(guān)鍵詞】核磁測(cè)井；正則化；TSVD算法；平坦度約束

【Abstract】The effect is not that satisfactory when the traditional TSVD algorithm is applied to the T2 spectrum inversion of NMR logging data acquired，in particularoscillation occurs if the signal-noise ratio is relatively low. Aiming at the above problem， a modified regularization method of TSVD algorithm is proposed. Through applying the flatness restriction on the model with the introduction of regularization operator， the precision of TSVD algorithm is largely increased. Numerical simulation experiments indicate that this modified algorithm is stable in a wide range， and thatthe T2 spectrum inversed is still smooth and continuous，thus it is a better solution to the oscillation problem of TSVD algorithm when applying to data with low signal-noise ratio.

【Key words】NMR logging；Regularization；TSVD algorithm；Flatness restriction

在常規(guī)的核磁共振測(cè)井解釋技術(shù)中，橫向弛豫時(shí)間譜（以下簡(jiǎn)稱(chēng)T2譜）能夠提供許多巖石物性和流體特性的信息，如巖石孔隙大小分布，有效孔隙度，滲透率，可動(dòng)流體與不可動(dòng)流體飽和度等，這些獨(dú)特的地層巖石物理信息為地質(zhì)勘探和油田開(kāi)發(fā)過(guò)程中的儲(chǔ)存評(píng)價(jià)、產(chǎn)量預(yù)測(cè)和開(kāi)發(fā)方案的制定提供了重要依據(jù)。因此，T2譜反演技術(shù)在核磁共振測(cè)井中具有重要地位。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外出現(xiàn)許多不同的反演算法，主要有非負(fù)最小二乘法、奇異值分解法、聯(lián)合迭代重建反演算法等[1]。如何建立快速、適用、分辨率高且對(duì)信噪比要求不高的反演方法，仍然是一個(gè)有待進(jìn)一步研究的重要課題。

本文從第一類(lèi)積分方程的反演求解入手，推導(dǎo)出適合于巖石核磁弛豫多指數(shù)反演算法改進(jìn)奇異值分解（改進(jìn)SVD）方法，傳統(tǒng)TSVD算法穩(wěn)定，運(yùn)算量很大，適用于高信噪比的數(shù)據(jù)反演，當(dāng)信噪比較低時(shí)，其反演精度不高，將會(huì)造成T2譜的不連續(xù)性。本文將一種改進(jìn)TSVD算法應(yīng)用于核磁共振測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的反演中，將正則化算子引入TSVD算法，對(duì)模型進(jìn)行平坦度約束以得到最光滑的解。數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)表明，本文所述算法穩(wěn)定，精度高，對(duì)不同信噪比的回波串反演都能得到穩(wěn)定的T2譜。

1 核磁共振測(cè)井信號(hào)模型

現(xiàn)代NMR測(cè)井中廣泛采用CPMG脈沖序列測(cè)量T2自旋回波[1]，其離散數(shù)學(xué)模型為：

其中，m是采集的每個(gè)回波串中包含的回波個(gè)數(shù)；ti為時(shí)間（1*TE，2*TE，…i*TE，…m*TE）（TE為回波間隔）；Y=[y1，y2，…，ym]T表示回波信號(hào)的幅值；n是橫向弛豫分量的個(gè)數(shù)，即弛豫譜布點(diǎn)數(shù)；T2j是第j種弛豫分量對(duì)應(yīng)的橫向弛豫時(shí)間；X=[x1，x2，…，xn]T，xj是第j種分量對(duì)零時(shí)刻信號(hào)幅度的貢獻(xiàn)值，根據(jù)其物理意義，xj必須滿(mǎn)足非負(fù)約束條件；ε=[ε1，ε2，…，εm]T是噪聲信號(hào)?？梢?jiàn)，反演實(shí)質(zhì)上可歸結(jié)為求解病態(tài)方程：

Ax=b（3）

核磁共振測(cè)井反演中遇到系數(shù)矩陣通常為大型混定矩陣。此時(shí)，無(wú)論是采用針對(duì)超定問(wèn)題的最小二乘法還是針對(duì)欠定問(wèn)題的最小模型法，都無(wú)法得到滿(mǎn)意的解[2]。正則化是解決這類(lèi)不適定問(wèn)題的一類(lèi)重要手段，其基本思想是用一個(gè)對(duì)攝動(dòng)較不敏感的系統(tǒng)替代原系統(tǒng)，結(jié)合某些解的已知信息對(duì)解進(jìn)行限制，使其能很好地逼近原問(wèn)題的真實(shí)解。

2 理論分析

對(duì)方程（3）的系數(shù)矩陣Am×n進(jìn)行SVD分解：

3 數(shù)值模擬

首先構(gòu)造雙峰油水譜模型驗(yàn)證改進(jìn)TSVD算法的效果。選擇回波間隔TE=0.2ms，回波個(gè)數(shù)NE=1000。橫向弛豫時(shí)間T2布點(diǎn)范圍為0.0003-3s，布點(diǎn)數(shù)為128。運(yùn)用TSVD法和改進(jìn)TSVD法分別對(duì)構(gòu)造的無(wú)噪回波數(shù)據(jù)進(jìn)行T2譜反演，如圖1所示。計(jì)算得TSVD法的相對(duì)誤差為3.16%，改進(jìn)TSVD法的相對(duì)誤差為0.47%?？梢?jiàn)，TSVD算法經(jīng)過(guò)改進(jìn)后誤差下降了85%，幾乎與構(gòu)造譜曲線(xiàn)完全重合。

向以上的模擬數(shù)據(jù)中混入不同幅度的高斯白噪聲，結(jié)果如圖2所示。總體看來(lái)，這兩種算法在信噪比較高（SNR=300、SNR=100和SNR=50）時(shí)反演精度較高，但是當(dāng)數(shù)據(jù)的信噪比繼續(xù)下降時(shí)（SNR=30），TSVD法出現(xiàn)明顯震蕩，而改進(jìn)型TSVD方法由于加入了對(duì)平滑度的約束，較好地抑制了譜線(xiàn)的震蕩；同時(shí)反演譜與構(gòu)造譜分布趨勢(shì)一致，譜線(xiàn)光滑連續(xù)，可見(jiàn)與TSVD算法相比，改進(jìn)型TSVD算法更適用于低信噪比的數(shù)據(jù)。

4 結(jié)論

核磁共振測(cè)井是一種間接的測(cè)量技術(shù)，它的關(guān)鍵在于對(duì)回波信號(hào)的反演。而核磁共振弛豫測(cè)量多指數(shù)反演的結(jié)果受多種因素的控制，并且各種算法對(duì)反演參數(shù)的響應(yīng)特征各不相同。由于傳統(tǒng)的TSVD算法計(jì)算量大，耗時(shí)，適用于高信噪比數(shù)據(jù)等問(wèn)題，本文提出了改進(jìn)TSVD算法。該算法對(duì)模型施加平坦度約束實(shí)現(xiàn)正則化，較好地抑制了反演結(jié)果的震蕩，極大地優(yōu)化了傳統(tǒng)TSVD算法的反演效果。通過(guò)將傳統(tǒng)TSVD算法和改進(jìn)TSVD算法應(yīng)用油水同層模型的解譜結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該改進(jìn)算法的有效性。數(shù)值仿真結(jié)果表明，改進(jìn)TSVD反演算法穩(wěn)定，運(yùn)算速度快，容易實(shí)現(xiàn)非負(fù)約束條件，獲得連續(xù)性好的T2譜，該算法可以滿(mǎn)足實(shí)際應(yīng)用的要求。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王為民，郭和坤.陸相儲(chǔ)層巖石核磁共振物理特征的實(shí)驗(yàn)研究[J].波譜學(xué)雜志，2001，18（2）：113-121.

[2]姚姚.地球物理反演基本理論與應(yīng)用方法[M].武漢：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)出版社，2002：25-30.

[3]Per Christian Hansen， Takashi Sekii， Hiromoto Shibahashi. The Modified Truncated SVD Method for Regularization in General Form[J].SIAM J. Sci. and Stat. Comput.，13（5），1142-1150.

[4]張文權(quán)，翁愛(ài)華.地面核磁共振正則化反演方法研究[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：地球科學(xué)版，2007，37（4）：809-0813.

[責(zé)任編輯：劉展]