孫 磊，張 璨，林振智，文福拴，張 靜，葉 琳

（1.浙江大學 電氣工程學院，浙江 杭州 310027；2.國網浙江省電力公司，浙江 杭州 310007）

0 引言

隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴大和電力市場改革的發(fā)展與深化，電力系統(tǒng)傾向于接近極限運行。雖然依靠保護裝置和自動控制裝置可有效降低大事故發(fā)生的概率，但由于很多不確定性因素的存在，大停電事故的發(fā)生依然無法完全避免[1-3]。一旦發(fā)生大停電事故，將會造成重大經濟損失，甚至可能影響社會穩(wěn)定。因此，如何在大停電事故發(fā)生之后快速、安全、穩(wěn)定地恢復電力系統(tǒng)仍然是具有重大意義的研究課題[4-6]。

電力系統(tǒng)恢復策略總體上可分為2類[7-8]：串行恢復和并行恢復。串行恢復時依次恢復廠站，屬于接力模式；并行恢復則將系統(tǒng)分為若干區(qū)域，首先對每個區(qū)域獨立進行恢復，最后將各個區(qū)域連起來。并行恢復策略將復雜電力系統(tǒng)恢復問題分解成若干區(qū)域進行恢復，可降低問題復雜度，加快系統(tǒng)恢復進程。在此背景下，本文重點研究如何實現電力系統(tǒng)的分區(qū)恢復。

國內外在電力系統(tǒng)分區(qū)恢復方面已經做了一些研究工作。文獻[9]提出一種基于廣域測量系統(tǒng)的分區(qū)策略，在滿足分區(qū)基本約束的前提下，保證各分區(qū)內的每個廠站都是可觀的，以保證恢復系統(tǒng)的安全性。文獻[10-11]基于有序二元決策圖OBDD（Ordered Binary Decision Diagram）對系統(tǒng)進行分區(qū)，將黑啟動分區(qū)搜索問題轉化為布爾量決策問題進行求解。文獻[12]將系統(tǒng)分區(qū)策略與分區(qū)內節(jié)點恢復路徑、恢復順序統(tǒng)一考慮，采用經典的最短路徑法與遺傳算法求解分區(qū)優(yōu)化模型，得出最優(yōu)分區(qū)恢復方案。文獻[13]提出了一種基于超效率數據包絡分析模型的評估方法，對擴展黑啟動方案的恢復相對效率進行評估。文獻[14]基于復雜網絡社團結構理論提出了一種劃分恢復子系統(tǒng)的算法，并利用模塊度指標衡量劃分結果的合理性，給出了子系統(tǒng)之間同步并列的先后次序。文獻[15]提出了基于多代理系統(tǒng)的孤立微電網的黑啟動策略，并分析研究了微電源的黑啟動能力、參考源的選取以及黑啟動過程中微電源控制方式等問題。文獻[16]結合多目標優(yōu)化技術和多屬性決策方法對擴展黑啟動方案進行優(yōu)化和決策，通過對優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解集進行Vague模糊集多屬性決策分析，進而選出最優(yōu)的擴展黑啟動方案。文獻[17-18]以四川電網為例，對大電網黑啟動指導原則、黑啟動過程中的電壓頻率控制以及并網控制等問題進行了研究。

綜上所述，現有黑啟動分區(qū)恢復方面的研究僅考慮了網絡拓撲結構，沒有綜合考慮機組容量、負荷大小、線路潮流等參數。分區(qū)并行恢復的目的是為了保證系統(tǒng)能夠實現快速恢復，這樣就有必要在分區(qū)并行恢復過程中綜合考慮分區(qū)后各區(qū)域中的機組快速恢復問題。區(qū)域內機組恢復問題屬于組合優(yōu)化問題，計算復雜性高；為實現快速恢復，本文提出黑啟動分區(qū)的兩步策略。文中首先介紹圖論中的圖分區(qū)模型和計及電力系統(tǒng)特征的拓撲圖簡化原則；然后根據機組分組模型將系統(tǒng)中所有機組分組；將分組后的拓撲圖簡化，建立電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型，并利用ILOG CPLEX求解機組分組模型和電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型；最后以新英格蘭10機39節(jié)點系統(tǒng)為例，對所提出的方法進行了說明。

1 圖分區(qū)

在采用圖論方法對電力系統(tǒng)網絡拓撲進行分區(qū)時，首先需要將電力網絡用抽象圖來表示。文獻[19]詳細介紹了電力網絡的簡化原則，在此不再贅述。在把電力網絡抽象為一張稀疏連通圖后，其分區(qū)問題就近似于圖分區(qū)問題，但與一般圖分區(qū)問題不同的是黑啟動分區(qū)需要結合電力系統(tǒng)自身的特征。

1.1 圖分區(qū)問題的數學模型

圖分區(qū)問題的實質是將圖中的節(jié)點在滿足一定約束的前提下劃分到2個或多個分區(qū)中，以優(yōu)化特定的目標函數。到目前為止，圖分區(qū)方法主要應用于并行恢復、稀疏矩陣排序、超大規(guī)模集成電路設計等領域[20-22]。

對于任意一個含有n個節(jié)點、m條支路的圖，定義有向圖的關聯(lián)矩陣A，其中任一元素alj的取值原則為：如果節(jié)點j是支路l的一個頂點且支路l的方向起始于節(jié)點j，則其值為1；如果節(jié)點j是支路l的一個頂點且支路l的方向指向節(jié)點j，則其值為-1；否則其值取0。以圖1所示含有4個節(jié)點、5條支路的系統(tǒng)圖為例，其關聯(lián)矩陣為：

圖1 含4節(jié)點5支路的系統(tǒng)分區(qū)示意圖Fig.1 Schematic diagram of partitioning for a 4-node 5-branch system

定義一個分區(qū)指標列向量X，其維數為網絡的節(jié)點數，其元素取值為1或-1，數值相同的元素所對應的節(jié)點屬于同一分區(qū)。將拓撲圖分為2個區(qū)（即分區(qū) Zq，1和分區(qū) Zq，2，分別表示第 q 次調用分區(qū)模型時所得到的2個分區(qū)）時，定義分區(qū)Zq，1中任意節(jié)點j在指標向量X中的對應值xj都為-1，分區(qū)Zq，2中任意節(jié)點k在指標向量X中對應的值xk都為1。這樣，如果已知分區(qū)指標列向量，就可以判斷出哪些節(jié)點屬于分區(qū) Zq，1，哪些節(jié)點屬于分區(qū) Zq，2。 例如，在圖1所示的網絡中，假設將節(jié)點1和節(jié)點3分到Zq，1內，節(jié)點2和節(jié)點4分到Zq，2內，則其分區(qū)的指標向量X=[-1，1，-1，1]T。 將關聯(lián)矩陣與指標向量相乘得到新的矩陣Y，由于可以根據Y的元素判斷出線路的分區(qū)信息，這里將Y稱為分區(qū)矩陣。Y是m維列向量，如果Y的元素yl為0，那么支路l為分區(qū)內的線路；如果yl不為0，則支路l為分區(qū)間的聯(lián)絡線路，yl的正負與分區(qū)間的聯(lián)絡線構成的割集的方向有關。對于圖1所示網絡，Y=AX=[-2，0，-2，0，2]T，因此支路 l1、l3和 l5為分區(qū)聯(lián)絡線，支路 l2在 Zq，1中，支路l4在 Zq，2中。 由分區(qū)矩陣的含義可以得到[23]：分區(qū)矩陣的轉置與分區(qū)矩陣的乘積等于各分區(qū)間聯(lián)絡線數目的 4 倍，即 YTY=XT（ATA）X=4SIL，這里 SIL是各分區(qū)間的聯(lián)絡線數之和。

綜上所述，由網絡拓撲圖的關聯(lián)矩陣A和指標向量X就可以完全表征分區(qū)間聯(lián)絡線和各分區(qū)內部線路的組成。因此，對于含有n個節(jié)點、m條線路的網絡拓撲圖，以分區(qū)間聯(lián)絡線數目最小為目標的最優(yōu)分區(qū)問題可描述為：

其中，X的第i個元素xi取值為-1或1。

這是一個典型的整型規(guī)劃問題。

1.2 圖的簡化原則

實際電力系統(tǒng)的節(jié)點數和支路數一般都很多，為減少計算負擔、提高計算效率，需要盡可能簡化系統(tǒng)的拓撲圖。文獻[24]給出了研究系統(tǒng)主動解列時系統(tǒng)拓撲圖的簡化原則，其中3條原則同樣適用于本文的研究，具體如下：（1）合并度為1的節(jié)點；（2）刪除度為2的節(jié)點；（3）刪除獨立環(huán)。其中，本文在使用原則（2）對圖進行簡化時，還要求該度為2的節(jié)點既不是發(fā)電機節(jié)點也不是負荷節(jié)點。根據本文所提方法的特點，這里還提出一條簡化原則，即：（4）合并已確定分組的節(jié)點。分組是指在對系統(tǒng)分區(qū)前，首先將部分節(jié)點劃分到一組中，并在分區(qū)模型中等效為一個新節(jié)點，以保證組內的節(jié)點在同一個分區(qū)中。這里將各分組中的待恢復機組與該分組內黑啟動電源等效為一個新的黑啟動電源。新的黑啟動電源所在節(jié)點的有功功率等于實際黑啟動電源和該分組內待恢復機組的有功功率之和，新的黑啟動電源所在節(jié)點的負荷等于實際黑啟動電源節(jié)點、該分組內待恢復機組節(jié)點以及恢復路徑經過的節(jié)點的負荷之和。對于已確定分組的節(jié)點，將這些節(jié)點等效為一個節(jié)點可保證同一組的節(jié)點被劃分到同一個分區(qū)中。

2 恢復分區(qū)模型

2.1 黑啟動分區(qū)的原則與約束

2.1.1 黑啟動分區(qū)個數

文獻[9]給出了黑啟動分區(qū)個數的判斷原則，即分區(qū)個數的最大值等于系統(tǒng)中黑啟動電源數和負荷節(jié)點數中較小者，表示為：

其中，s為最大分區(qū)數；n為節(jié)點數；Nbi和Nli分別表示節(jié)點i處是否存在黑啟動電源和負荷，其取值均為0或1（0表示不存在，1表示存在）。

2.1.2 約束條件

黑啟動分區(qū)是系統(tǒng)恢復過程中的一個重要步驟，為保證系統(tǒng)安全、高效地恢復，各分區(qū)必須滿足以下3個約束：（1）黑啟動電源約束；（2）功率平衡約束；（3）最小有功功率約束。

關于上述3個約束的詳細描述可參見文獻[9]和文獻[10]。

2.2 機組分組模型

為確定待恢復機組最適合由哪臺黑啟動機組來啟動，首先要建立待恢復機組的分組模型，以使得各分組內的待啟動機組從黑啟動電源獲得啟動功率的時間最短。然后，在電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型中，把屬于同一分組內的機組及它們之間的連接線等效為一個新機組，并在系統(tǒng)分區(qū)完成后，將等效的新機組還原到原拓撲網絡中，這樣就可以保證同一組內的機組仍在同一分區(qū)中，從而避免待啟動機組被劃分到其他分區(qū)從而導致其恢復時間延長的問題。

本文在確定待恢復機組分組時考慮了這些機組從黑啟動電源獲取啟動功率所需時間最短這一重要因素，為了保證機組盡快獲得啟動功率，將相關線路恢復時間設定為線路的權重。

這里采用經典的最短路徑算法即Dijkstra算法來確定源節(jié)點到其他任意節(jié)點的最短路徑長度。由于線路的權重為該線路的恢復時間，因此黑啟動機組到待恢復機組的最短距離即為構成恢復路徑的各線路的恢復時間之和。

為構造待啟動機組的分組模型，定義一個b行r列的分組標識矩陣V，其中b為整個電力系統(tǒng)中黑啟動機組臺數，r為待恢復機組臺數。V由r個b維分組標識列向量 Vg組成，Vg=[v1g，v2g，…，vbg]T。 其中，g為任意待恢復機組的編號（1≤g≤r）；v1g、v2g、…、vbg分別為表征機組g所屬分組的布爾變量，對于任一機組g的分組標識向量Vg中的元素，如果滿足veg=1，且對于任意自然數 c（c≠e，且 1≤c≤b、1≤e≤b），vcg=0，則機組g屬于分組e。Vg表征機組g與所有黑啟動機組之間的恢復關系。

將待恢復機組分組，以任一機組從本組中的黑啟動電源獲得恢復功率所需時間最少，分組數等于黑啟動電源數。這樣，待恢復機組最優(yōu)分組問題可描述為：

其中，[w1g，w2g，…，wbg]T為機組 g 的恢復時間向量，其任一元素wtg表示機組g到黑啟動機組t的最短路徑，即啟動功率從黑啟動機組t送到機組g所需時間；α為一個比例系數。式（5）表示任意分組e內非黑啟動機組的臺數不大于系統(tǒng)中非黑啟動機組總臺數乘以α，這樣就可以避免多數待啟動機組被劃分到同一分組中。

式（3）—（5）所描述的優(yōu)化模型是典型的帶約束線性整數規(guī)劃問題，可采用ILOG CPLEX求解，得到所有待恢復機組的分組結果。

2.3 電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型

分區(qū)并行恢復可以提高整個系統(tǒng)恢復速度。影響分區(qū)恢復效率的一個重要因素是各分區(qū)的同步問題。為提高分區(qū)同步并列恢復的效率，在分區(qū)時應盡量使得分區(qū)之間的聯(lián)絡線條數最少。另一方面，電力網絡作為一種復雜網絡，具有社團結構特性，分區(qū)結果應能在一定程度上反映其社團結構，即社團內部節(jié)點間的連接比較緊密，社團間的連接相對稀疏[14]。分區(qū)間的聯(lián)絡線潮流也是影響同步并列的一個重要因素，因此在黑啟動分區(qū)時需要適當考慮聯(lián)絡線潮流，使聯(lián)絡線上有功功率絕對值之和最小。黑啟動分區(qū)策略是在系統(tǒng)恢復之前制定的，此時無法預知系統(tǒng)恢復后的聯(lián)絡線潮流，可利用停電前線路的有功功率作為其近似值。

以聯(lián)絡線上有功功率絕對值之和最小為目標的優(yōu)化問題可用數學方式描述為：

其中，Al為矩陣A第l行的行向量；Pl為線路l上的有功功率。

這樣，以分區(qū)間聯(lián)絡線個數最少和聯(lián)絡線上有功功率絕對值之和最小為目標的電力系統(tǒng)分區(qū)模型可描述為：

其中，β為比例系數，用于反映聯(lián)絡線個數最小和聯(lián)絡線上有功功率絕對值之和最小這2個目標的相對重要程度。

該優(yōu)化模型還需滿足如下3個約束條件。

a.分區(qū)內黑啟動電源約束。

其中，PGj為節(jié)點j的機組容量，如果j處沒有發(fā)電機組，則該值為0；PLj為節(jié)點j的負荷容量，如果j處沒有負荷，則該值為0；xj為分區(qū)指標列向量X的第j個元素，且xj的取值為-1或1；ε為一個數值很小的正數；U（x）為邏輯函數，當 x≥0 時 U（x）=1，當 x＜0時 U（x）=0；⊕為邏輯與運算符。式（8）用于保證每個分區(qū)內至少包含1個黑啟動電源和1個負荷。

b.分區(qū)內功率平衡約束。

其中，d為分區(qū)內容許的有功功率不平衡量。式（9）保證每個分區(qū)內的功率不平衡量不大于一定的閾值。c.分區(qū)內機組最小有功出力約束。

其中，PminGj為位于節(jié)點j的發(fā)電機最小有功功率。式（10）表示各分區(qū)中總的負荷功率不低于分區(qū)中所有機組的最小有功功率之和。

上述電力系統(tǒng)圖分區(qū)優(yōu)化模型屬于有約束二次整型規(guī)劃問題，其中的優(yōu)化變量只能取1或-1。這樣，可以采用線性變換將該模型轉換為有約束二次布爾類型的規(guī)劃問題，并用ILOG CPLEX求解。

在此說明本節(jié)所給出的公式含義及其關系。式（2）用于確定黑啟動分區(qū)個數；式（3）—（5）分別為待恢復機組最優(yōu)分組問題的目標函數和約束條件；式（7）為電力系統(tǒng)分區(qū)模型的目標函數；式（8）—（10）均為約束條件。 式（3）—（5）和式（7）—（10）的關系為：式（3）—（5）為所提出的待恢復機組分組模型，是黑啟動分區(qū)策略的第一步；式（7）—（10）為所提出的電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型，是黑啟動分區(qū)策略的第二步。

對于用上述模型求解得到的某個分區(qū)是否要繼續(xù)劃分的判斷原則是該分區(qū)所含黑啟動電源數是否大于等于2。如果該分區(qū)有2個或2個以上的黑啟動電源，那么該分區(qū)可以考慮繼續(xù)劃分，直至每個分區(qū)僅含有1個黑啟動機組。例如，對于一個含有3個黑啟動機組的區(qū)域，第1次求解電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型時所獲得的2個區(qū)域必然分別含有1個和2個黑啟動電源。一般而言，含有2個黑啟動電源的區(qū)域其機組功率相對較大，其負荷一般也大些，因此該分區(qū)的規(guī)模就相對大些；如此對分區(qū)進一步劃分，最終得到的各分區(qū)規(guī)模一般不會相差很大。

黑啟動分區(qū)問題從根本上而言屬于圖論中的多分區(qū)問題（k-way partitioning problem），而研究多分區(qū)問題最常用的方法就是遞歸二分法（recursive bisection）。本節(jié)中所構造的電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型就是基于遞歸二分法的思想發(fā)展起來的，并將其描述為有約束二次整型規(guī)劃問題。每次調用該圖分區(qū)算法都可保證局部最優(yōu)，整個求解過程則兼顧了全局最優(yōu)。圖分區(qū)問題屬于NP完全問題，對于大規(guī)模問題無法在多項式時間內獲得全局最優(yōu)解。本文利用遞歸二分法將黑啟動分區(qū)問題轉化為凸二次規(guī)劃問題，從而將其由NP完全問題轉化為P問題，降低了問題的復雜性。

需要指出，在所構造的電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型中考慮了系統(tǒng)調頻能力。在系統(tǒng)恢復過程中，通過控制各階段負荷恢復量，使分區(qū)內發(fā)電機組有功功率不小于恢復負荷量，并留有一定裕度，從而保證各分區(qū)內的機組有能力對本分區(qū)進行頻率調節(jié)。在黑啟動子系統(tǒng)內可選擇的電壓調節(jié)方式有多種，包括利用發(fā)電機、變壓器變比、無功補償設備等。在系統(tǒng)恢復過程中，系統(tǒng)調度員可以合理選擇電壓調節(jié)方式，使電壓保持在給定的安全范圍內。

2.4 恢復分區(qū)步驟

本文提出了大停電后電力系統(tǒng)的黑啟動分區(qū)兩步策略。其中，第一步將系統(tǒng)中待恢復機組分組，以使得各分組內的待恢復機組從黑啟動電源獲得啟動功率的時間最短，并保證在第二步分區(qū)過程中同一組內的機組仍在同一分區(qū)中，避免待啟動機組被劃分到其他分區(qū)而導致其恢復時間延長的問題；第二步采用電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型對整個系統(tǒng)進行分區(qū)，為實現系統(tǒng)并行恢復奠定基礎，從而提高整個系統(tǒng)恢復的速度。

在此說明本文所提出的黑啟動分區(qū)與主動解列分區(qū)的異同。兩者的相同點有以下2點。

（1）均采用了兩步策略。第一步將機組劃分到若干機組群，第二步則確定最優(yōu)的分區(qū)間聯(lián)絡線并對系統(tǒng)進行分區(qū)。

（2）目標函數相同。兩者都以分區(qū)聯(lián)絡線個數最小和聯(lián)絡線上有功功率絕對值之和最小為目標函數。

兩者的不同點有以下3點。

（1）對機組群的劃分方式不同。所提出的方法將待恢復機組與為其提供啟動功率的黑啟動機組分到一組中，而主動解列的分區(qū)則是將同調機組劃分到一個機組群中。

（2）分區(qū)的目的不同。黑啟動分區(qū)用于將系統(tǒng)分為若干分區(qū)，待各分區(qū)實現恢復后再連通分區(qū)間聯(lián)絡線實現整個系統(tǒng)的快速恢復；主動解列分區(qū)則是在發(fā)生大干擾時及時發(fā)現系統(tǒng)中的失步機群，快速而準確地確定失步斷面，避免系統(tǒng)大面積停電。

（3）約束條件不同。本文提出的黑啟動分區(qū)方法所考慮的約束條件主要包括黑啟動電源約束和最小有功功率約束；主動解列分區(qū)時所考慮的則主要包括孤網內發(fā)電機功角同調、有功功率平衡和節(jié)點電壓可控等約束。

綜上所述，所提出的恢復分區(qū)優(yōu)化步驟如下：

步驟1 將實際電力網絡用抽象圖表示；

步驟2 采用機組分區(qū)模型將待恢復機組分組；

步驟3 簡化電力系統(tǒng)拓撲圖，通過合并恢復路徑的方式將步驟2得到的各分組內的待啟動電源和黑啟動電源等效為一個新電源節(jié)點；

步驟4 根據電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型得到分區(qū)結果；

步驟5 若得到的某個分區(qū)中含有2個或2個以上的黑啟動電源，則該分區(qū)重復步驟3和步驟4，直至得到的分區(qū)內都僅含有1個黑啟動電源。

3 算例及結果

本文以新英格蘭10機39節(jié)點系統(tǒng)為例來說明所提出的方法。假定線路的恢復時間如表1所示，線路的參考方向與潮流方向一致；假定節(jié)點30、31和34為黑啟動機組所在節(jié)點。黑啟動電源和負荷的個數分別為3和19，取兩者中的較小值3為黑啟動分區(qū)的個數。

表1 新英格蘭10機39節(jié)點系統(tǒng)中線路的恢復時間Table 1 Restoration time of transmission lines in New England 10-unit 39-bus power system

3.1 機組分組

本算例含有3臺黑啟動機組和7臺待啟動機組，所以各待恢復機組的分組標識向量的維數為3。這里定義節(jié)點30、34、31分別為組1、組2、組3的源節(jié)點。α取值為60%。7臺待啟動機組的分組標識向量按編號由小到大的順序分別定義為V1、V2、…、V7。對于任一節(jié)點，比如節(jié)點37，其從3個組的黑啟動電源節(jié)點獲取啟動功率所需時間分別為6 min、20 min、19 min，這樣節(jié)點37的恢復時間向量可表示為[6，20，19]T。 對于其他所有待恢復機組，分別求取其恢復時間向量（結果如表2所示，其中t1、t2、t3分別表示從組1、2、3源節(jié)點獲取啟動功率所需時間），然后后代入式（3），可求得系統(tǒng)的分組標識矩陣為：

表2 新英格蘭10機39節(jié)點系統(tǒng)中待恢復機組的恢復時間向量Table 2 Recovery time vectors of units to be restored in New England 10-unit 39-bus power system

由求解得到的分組標識矩陣可知，節(jié)點37、38、39屬于分組1，它們將從黑啟動機組節(jié)點30獲取啟動功率；節(jié)點33、35、36屬于分組 2，它們將從黑啟動機組節(jié)點34獲取啟動功率；節(jié)點32屬于分組3，其將從黑啟動機組節(jié)點31獲取啟動功率。

3.2 圖的簡化

在得到分組結果后，可根據前述的圖簡化原則對系統(tǒng)拓撲圖進行簡化，得到15節(jié)點簡化圖。簡化前后的圖形變化情況如表3所示。

表3 39節(jié)點系統(tǒng)簡化前后比較Table 3 Comparison of 39-bus power system before and after simplification

分組1中新的黑啟動節(jié)點13的功率為2 620 MW，負荷為1956.5 MW；分組2中新的黑啟動節(jié)點15的功率為2350 MW，負荷為1839.5 MW；分組3中新的黑啟動節(jié)點14的功率為1222.9 MW，負荷為9.2 MW。

3.3 電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型

該系統(tǒng)有3個黑啟動電源，因此需要求解2次拓撲分區(qū)模型。發(fā)電機的最小有功出力取其額定功率的60%。分區(qū)內允許的有功功率不平衡量d的取值為分區(qū)內機組有功功率總容量的5%，該值可根據實際系統(tǒng)的具體情況合理給定。式（7）所表示的目標函數中的比例系數β可由專家根據所研究的系統(tǒng)情況憑經驗給出，在本算例中取β=0.01。

在第一次求解拓撲分區(qū)模型時，首先對15節(jié)點系統(tǒng)拓撲圖建立電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型并求解，得到分區(qū)指標向量X′：

由 X′可知，節(jié)點 1、2、3、4、5、6、7、8、12、13 和 14在一個分區(qū)內，稱之為分區(qū)Z1，1，該分區(qū)的功率不平衡量為9.9 MW；節(jié)點9、10、11和15在另一個分區(qū)內，稱之為分區(qū)Z1，2，該分區(qū)的功率不平衡量為32.5 MW。

可得到分區(qū)矩陣 Y′=[0，0，-2，0，0，0，0，0，0，0，0，-2，0，0，0，2，0，0，0，0]T，分區(qū)間的聯(lián)絡線編號是向量Y′中值不為0的元素所對應的行號。因此，第一次模型求解時的分區(qū)間聯(lián)絡線為線路1-11、10-12和 8-9。

在第二次求解拓撲分區(qū)模型時，首先對第一次求解時所得到的分區(qū)Z1，1進行簡化，得到一個9節(jié)點系統(tǒng)。該9節(jié)點系統(tǒng)中含有2個黑啟動電源，分別位于節(jié)點8和9。對該9節(jié)點系統(tǒng)建立電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型并進行求解，得到分區(qū)指標向量X″為：

>

由X″可知，節(jié)點1和8在同一分區(qū)內，稱之為分區(qū)Z2，2，該分區(qū)的功率不平衡量為60.5 MW；其他節(jié)點在另一個分區(qū)內，稱之為分區(qū)Z2，1，該分區(qū)的功率不平衡量為-50.6 MW。

分區(qū)矩陣 Y″=[0，-2，0，0，0，0，0，0，0，0，-2，0]T。這樣，9節(jié)點系統(tǒng)的分區(qū)間聯(lián)絡線為線路2-1和5-8。

對所求得的分區(qū)進行重新編號，得到最終分區(qū)結果如圖2所示。

為說明所提出的方法的可行性和有效性，下面通過算例對本文方法與文獻[14]的方法進行比較分析。表4給出了采用這2種方法得到的分區(qū)結果。

從表4可以看出以下2點。

a.從機組分組結果來看，2種方法的差別在于發(fā)電節(jié)點39被劃分到不同分區(qū)中。節(jié)點39從黑啟動機組節(jié)點30獲取啟動功率的路徑所包含的線路依次為 30-2、2-1、1-39，所需時間為 8 min；節(jié)點 39從黑啟動機組節(jié)點31獲取啟動功率的路徑所包含的線路依次為 31-6、6-7、7-8、8-9、9-39，所需時間為15 min。顯然，為保證節(jié)點39能夠快速恢復，節(jié)點39應該被劃分到分區(qū)3中，由黑啟動機組節(jié)點30為其提供啟動功率。

圖2 39節(jié)點系統(tǒng)的分區(qū)結果Fig.2 Result of 39-bus system partitioning

b.從電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型的結果來看，文獻[14]得到的結果中分區(qū)1和分區(qū)2的功率不平衡量均大于閾值。2種方法得到的分區(qū)1的結果差異在于是否包含節(jié)點17和節(jié)點18，文獻[14]得到的分區(qū)1中有功功率遠大于負荷，而且節(jié)點17和節(jié)點18并入分區(qū)1中，這可以使分區(qū)1內的有功功率不平衡量小于閾值。2種方法得到的分區(qū)2的結果差異在于是否包含節(jié)點39，文獻[14]得到的分區(qū)2中有功負荷遠大于可用有功功率，且節(jié)點39并入到分區(qū)3中，這使得分區(qū)2內的有功功率不平衡量小于閾值。采用本文方法所得到的各分區(qū)內有功功率不平衡量占相應分區(qū)的發(fā)電容量的百分比均不超過5%，且其絕對值相差不大，而采用文獻[14]中的方法所得到的分區(qū)1和2的有功功率不平衡量的百分比均超過5%，且各分區(qū)有功功率不平衡量的百分比的絕對值相差較大。

因此，與文獻[14]的方法相比，采用本文方法優(yōu)化得到的分區(qū)結果更有利于大停電后的系統(tǒng)安全而快速恢復。

表4 采用2種方法得到的分區(qū)結果Table 4 Result of partitioning by two methods

4 結語

本文提出了基于遞歸二分法的電力系統(tǒng)黑啟動分區(qū)的兩步策略。第一步首先建立了待恢復機組的分組模型，將待恢復機組與為其提供啟動功率的黑啟動電源分為一組，從而保證了各分組內的待啟動機組從黑啟動電源獲得啟動功率的時間最短；第二步則發(fā)展了電力系統(tǒng)圖分區(qū)模型，在滿足一定約束條件的前提下實現了聯(lián)絡線數目最少和聯(lián)絡線的有功功率絕對值之和最小。然后，將黑啟動分區(qū)問題轉化為凸二次規(guī)劃問題，從而將原來的NP完全問題轉化為P問題，明顯降低了問題的復雜性，為解決大規(guī)模系統(tǒng)分區(qū)問題提供了一種有效方法。新英格蘭10機39節(jié)點系統(tǒng)的仿真結果表明了所提出的方法具有可行性和有效性。