強　華，　唐永魯，　顧銀魯（銀川能源學院基礎部，寧夏 銀川 750105）

一類實平面四次微分系統(tǒng)的奇點量和可積性①

強華，唐永魯，顧銀魯
（銀川能源學院基礎部，寧夏 銀川 750105）

研究了一類只含某些2，4次項的實平面四次微分系統(tǒng)，根據(jù)形式級數(shù)法并利用科學計算軟件Mathematica得到該系統(tǒng)在原點的前3個奇點量的代數(shù)遞推公式，借助不變代數(shù)曲線理論討論了系統(tǒng)的可積性問題.

微分系統(tǒng)；奇點量；可積性條件

0　引言

平面多項式微分系統(tǒng)定性理論研究的兩個重要問題是：焦點量的計算和中心條件判定.目前，熱門的實多項式微分系統(tǒng)形式為

通常采用傳統(tǒng)的形式級數(shù)法和后繼函數(shù)法來計算微分系統(tǒng)的焦點量［1～2］，但由于推導過程復雜、計算量大而繁瑣，因此對處理復雜的高次系統(tǒng)很難開展或已基本不可行.為使這類問題易于解決，劉一戎、李繼彬等學者提出了一套微分系統(tǒng)定性理論，將具有細焦點和細鞍點的實平面微分自治系統(tǒng)通過適當?shù)淖儞Q化為了復系統(tǒng)，這樣焦點量與鞍點量的計算都統(tǒng)一為奇點量的計算.進而系統(tǒng)的可積性問題亦可迎刃而解.

1　系統(tǒng)的奇點量

本文擬研究一類缺少3次項，只含某些2、4次項的實平面四次微分系統(tǒng)：

其中

系統(tǒng)（1）按傳統(tǒng)方法計算奇點量，分析可積性條件較為復雜.但此系統(tǒng)可經過復系數(shù)線性變換：

即

化為其對應的復伴隨系統(tǒng)：

引進廣義相似旋轉變換

按照在（7）下旋轉指數(shù)的不同，系統(tǒng)（5）的系數(shù)可分為以下2類：

分別在R1和R-1中任取k，l個元素（可重復?。┫喑?，形成一個單項式g，g的全體集合記作G，即

如果k=l，且ζ=（k，l）是其一個基本正規(guī)解，那么稱g是一個基本旋轉不變量［3］.

定理1.1系統(tǒng)（5）恰有下表中的16個基本旋轉不變量.

表1　系統(tǒng)（5）基本旋轉不變量

證明： 解方程k=l，得其基本正規(guī)解為ζ= （1，1），即在R-1和R1中各任取一個元素，然后利用（9）式，以上16個基本旋轉不變量便可被構造出來.

定理1.3對系統(tǒng)（5），?（α，β），當α+β≥2 且α≠β時，cαβ由遞推公式

確定.且對?（k，j），當k＜0或j＜0時，已置akj= bkj=ckJ=0.

利用科學計算軟件Mathematica可求得

定理1.4系統(tǒng)（5）在原點的前3個奇點量為：

在上述μm的表達式中已置

2　系統(tǒng)的可積性

定理2.1當且僅當以下4組條件之一成立時，系統(tǒng)（5）原點的前3個奇點量均為零.

證明：充分性不證自明，現(xiàn)只需考察必要性，由1=2=3=0，即

可知條件Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ之一成立.

定理2.2當定理2.1中的條件Ⅰ成立時，系統(tǒng)（5）有積分因子

定理2.3當定理2.1中的條件Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ成立時，系統(tǒng)（5）在每個條件下原點的所有奇點量全部為零.

定理2.2系統(tǒng)（5）原點的奇點量全部為零的充要條件是其前3個奇點量均為零，即定理2.1 的4組條件之一成立，這4組條件便為系統(tǒng)（5）原點的中心條件.

3　結語

微分方程定性理論對動力系統(tǒng)中心焦點判定和系統(tǒng)的可積性問題等研究具有強大的理論意義.

本文運用相關知識構造了一類特殊的實平面四次微分系統(tǒng)，通過研究其復伴隨系統(tǒng)的奇點量及可積性條件，等價地完成了實系統(tǒng)中心焦點的判定問題.

［1］ 葉彥謙.多項式微分系統(tǒng)定性理論［M］.上海：上?？萍汲霭嫔?，1995.

［2］ 張芷芬，丁同仁等.微分方程定性理論［M］.北京：科學出版社，1985.

［3］劉一戎，李繼彬.論復自治微分方程的奇點量［J］.中國科學（A緝），1989，32（3）：245-255.

Singular Point Quantities and Integrable properties of A Class of Real Planar Quartic Differential Systems

QIANG Hua， TANG Yong-lu， GU Yin-lu
（Department Of Basic，Yinchuan Energy Institute，Yinchuan 750105，China）

In this paper，we study a class of real planar quartic differential systems which contains only some item 2，4 times.according to formal series method，And using scientific computing software Mathematica，The algebraic recursion formula of the first 3 singular points for this system at the origin is obtained.With the help of invariant algebraic curves theory the integrability problem for the system is discussed.

Differential System；Singular Point Quantities；Integrability Conditions.

O193文獻識別碼：A

1008-1402（2015）06-0000-03

2015-07-21

銀川能源學院科研項目資助（2014-KY-Y-18）.

強華（1982-），男，寧夏中寧人，碩士研究生，銀川能源學院教師，主要從事微分方程定性理論研究.