杜海清（江蘇淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，江蘇 淮安 223300）

關(guān)于Boussinesq系統(tǒng)行波解的探求①

杜海清
（江蘇淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，江蘇 淮安 223300）

主要考慮利用三角函數(shù)方法，雙曲正切函數(shù)方法，雙曲正割函數(shù)方法和Jacobi橢圓函數(shù)方法去獲得Boussinesq系統(tǒng)的精確行波解.

Boussinesq系統(tǒng)；Jacobi橢圓函數(shù)；行波解

0　引言

近來，對(duì)非線性演化方程的直接求解方法受到越來越多的重視，一些用來獲得非線性演化方程精確行波解的方法被發(fā)展起來.基本思想如下：對(duì)于含有兩個(gè)變量的非線性演化方程

考慮形如

的精確解（其中c為常數(shù)）.不失一般性，設(shè)k＞0.將（2）代入（1）得到關(guān)于u（ζ）的一個(gè)常微分方程，然后將u（ζ）展成f（ζ）的多項(xiàng)式

其中Ai是待定常數(shù)，最高階數(shù)n由方程（1）確定.現(xiàn)對(duì)一類不同時(shí)含有偶數(shù)階和奇數(shù)階偏微商項(xiàng)的非線性演化方程進(jìn)行討論，從而獲得一些精確行波解，但（3）中的f（ζ）滿足第一種橢圓方程［1］.

其中p，q和r是常數(shù)，這樣方程（3）就建立了方程（4）的解與（1）的解之間的一種代數(shù)映射關(guān)系.本文將上述方法應(yīng)用于Boussinesq系統(tǒng)［2］

并得到一些新的精確解.

將（2）代入方程組（5）可得

積分一次有

其中c1，c2是積分常數(shù).

從（7）的第二個(gè)方程中解出u并代入第一個(gè)方程得

將方程v（ζ）=A0+A1f（ζ）（A0，A1為待定常數(shù)）代入方程（8）并利用方程（4）得

比較f的各次冪，有

由此可得

于是Boussinesq系統(tǒng)有下列形式的精確解

下面將討論方程（4）中f的特解

方程（4）有解f（ζ）=tanh（ζ），則Boussinesq系統(tǒng)有精確解

（ii）：p=-（1+m2），q=2m2，r=1

方程（4）有解f（ζ）=snζ于是Boussinesq系統(tǒng)有周期性的孤子波解

當(dāng)m→1時(shí)，snζ→tanhζ，則從（10）得到（9）. （iii）：p=2-m2，q=2，r=m'2≡1-m2

當(dāng)m→0時(shí)，snζ→sinζ，cnζ→cosζ，dnζ→1則由方程（11）可得方程（5）的三角函數(shù)波解

當(dāng)m→1，方程（11）退化為

（iv）：p=-（1+m2），q=2，r=m2

和

當(dāng)m→0時(shí)，方程（12）和（13）退化為

和

當(dāng)m→1時(shí)，由方程（12）得

而方程（13）退化為一個(gè)常數(shù)解

［1］Y Z Peng.A Mapping Method for Obtaining Exact travelling Wave Solutions Tononlinear Evolution Equations（to appear）.

［2］Kaup D J.A Higher-order Water-wave Equation and the Method for Solving it［J］.Prog Theo Phys，1975，54（7）：396-408.

Discussion on Traveling Wave Solutions of Boussinesq System

Du Hai-qing

（Dept of Math，Huaiyin Teachers＇coll，Huaian，223300，China）

In this paper，triangle function methods，hyperbolic function methods and Jacobi elliptic function methods were used to obtain exact traveling wave solutions of a Boussinesq system.

Boussinesq system；Jacobi elliptic function；traveling wave solution

中圖文分類號(hào)：O175.4A

1008-1402（2015）06-0830-02

2015-10-21

杜海清（1966-），男，江蘇漣水人，副教授，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教育和可積系統(tǒng)研究..