趙暢（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130103）

黃海海戰(zhàn)的蘭徹斯特?cái)?shù)學(xué)模型①

趙暢
（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130103）

分析原有的蘭徹斯特微分方程，根據(jù)黃海海戰(zhàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)資料，對(duì)此方程進(jìn)行相應(yīng)的修改，建立符合這場(chǎng)戰(zhàn)役的蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型.利用該模型分析戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)結(jié)果，找到影響戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的因素，并假設(shè)適當(dāng)引入現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭(zhēng)的科學(xué)技術(shù)，對(duì)黃海海戰(zhàn)進(jìn)行合理猜想，推測(cè)雙方獲勝的可能性，得出信息技術(shù)的重要性.

黃海海戰(zhàn)；蘭徹斯特微分方程；蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型；信息化戰(zhàn)爭(zhēng)

0　引言

（1）黃海海戰(zhàn)

甲午中日戰(zhàn)爭(zhēng)是19世紀(jì)末日本侵略中國的戰(zhàn)爭(zhēng).在甲午戰(zhàn)爭(zhēng)中有一場(chǎng)著名戰(zhàn)役叫做黃海海戰(zhàn)，發(fā)生在在黃海北部海域，它是甲午戰(zhàn)爭(zhēng)中清日兩軍的第一次主力決戰(zhàn).開戰(zhàn)之初，清軍即北洋水師總兵力2126人，日軍即日本聯(lián)合艦隊(duì)總兵力3916 人.歷時(shí)5個(gè)多小時(shí)，清軍死傷千余人，日軍死傷600余人，此役北洋水師失利，使黃海制海權(quán)落入日本聯(lián)合艦隊(duì)之手，對(duì)甲午戰(zhàn)爭(zhēng)的后期戰(zhàn)局具有決定性影響.

（2）蘭徹斯特方程

蘭徹斯特微分方程是描述交戰(zhàn)過程中雙方兵力變化關(guān)系的微分方程組.1915年，英國工程師F. W.Lancherster首次提出發(fā)表，從古代使用冷兵器進(jìn)行戰(zhàn)斗和近代運(yùn)用槍炮進(jìn)行戰(zhàn)斗的不同特點(diǎn)出發(fā)，在一些簡(jiǎn)化假設(shè)的前提下，建立了相應(yīng)的微分方程組，深刻地揭示了交戰(zhàn)過程中雙方兵力變化的數(shù)量關(guān)系.

1　蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型建立

戰(zhàn)爭(zhēng)的勝負(fù)與戰(zhàn)爭(zhēng)雙方參加戰(zhàn)爭(zhēng)軍隊(duì)的人數(shù)（兵力）成正比，而軍隊(duì)人數(shù)因戰(zhàn)斗的減少和非戰(zhàn)斗的減少，因后備軍的增援而增加.

軍隊(duì)的戰(zhàn)斗力是軍隊(duì)殺傷對(duì)方軍隊(duì)的能力，根據(jù)著名的蘭徹斯特戰(zhàn)斗力定律，有：戰(zhàn)斗力=參戰(zhàn)單位總數(shù)×單位戰(zhàn)斗效率.

假設(shè)清軍戰(zhàn)斗減員率f只與日軍的兵力n有關(guān)，則設(shè)f與n成正比.即

其中km表示日軍的戰(zhàn)斗有效率，

其中rn表示日軍的進(jìn)攻率，Pn表示日軍每次進(jìn)攻的命中率.同理，對(duì)于日軍的戰(zhàn)斗減員率g有

其中kn表示清軍的戰(zhàn)斗有效率，rm表示清軍的進(jìn)攻率，Pm表示清軍每次進(jìn)攻的命中率.

根據(jù)清日兩軍的減員率，可建立兩軍兵力變化模型：

其中：m（t），n（t）分別表示清日兩軍在時(shí)刻t的兵力；f（m，n），g（m，n）分別表示清日兩軍戰(zhàn)斗減員率；φ（m），Ψ（n）分別表示清日兩軍非戰(zhàn)斗減員率；σ（t），δ（t）分別表示清日兩軍在時(shí)刻t的增援率.

在分析甲午戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局時(shí)因非戰(zhàn)斗減員與戰(zhàn)斗減員相比，數(shù)量很少可忽略這一項(xiàng).且由于歐美列強(qiáng)采取默許或縱容的態(tài)度，并未對(duì)兩軍進(jìn)行軍隊(duì)支持，即清日兩軍都沒有增援，既有σ（t）=δ（t）=0.設(shè)清日兩軍的初始兵力分別是則建立模型.

對(duì)此微分方程組進(jìn)行求解，得

由初始條件，解得

當(dāng)a＞0時(shí)，存在一個(gè)時(shí)刻t1，有m（t1）=0，且n（t1）＞0.這表示清軍兵力為零時(shí)，日軍兵力為正值，即日軍獲勝.因此，

當(dāng)a＞0時(shí)，日軍獲勝；當(dāng)a=0時(shí)，兩軍戰(zhàn)平；當(dāng)a＜0時(shí)，清軍獲勝.

日軍若要獲勝，則需滿足以下條件：

2　模型的求解與擴(kuò)展

根據(jù)資料顯示，可假設(shè)在黃海海戰(zhàn)中單位時(shí)間內(nèi)清軍死傷1000人，日軍死傷600人，有

則

可見，日軍獲勝的可能性很大，與歷史上的實(shí)際結(jié)果相同.

當(dāng)代的社會(huì)是一個(gè)信息化，科技化的社會(huì)，戰(zhàn)斗的方式與以前有了很大的不同.假設(shè)當(dāng)年清軍北洋水師能夠利用現(xiàn)在的隱藏作戰(zhàn)技術(shù)（在隱蔽區(qū)域內(nèi)活動(dòng)）和雷達(dá)探測(cè)技術(shù)（準(zhǔn)確擊中目標(biāo)），清日兩軍的其他裝備依舊不變，下面根據(jù)假設(shè)對(duì)已得到的蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型進(jìn)行改進(jìn)擴(kuò)展.

設(shè)清軍在日軍看不到的某個(gè)面積為Sm的隱蔽區(qū)域內(nèi)活動(dòng)，日軍不是向清軍船只開火，而是向此隱蔽區(qū)域內(nèi)開火，并且無法了解清軍的死傷情況.這時(shí)，在這個(gè)有限的隱蔽區(qū)域里清軍兵力越多，死傷也越多，因此清軍戰(zhàn)斗減員率不僅與日軍兵力有關(guān)，而且隨著清軍兵力的增加而增加.有

且日軍戰(zhàn)斗的有效系數(shù)為

其中rn表示日軍的進(jìn)攻率，Pn表示日軍每次進(jìn)攻的命中率，且為日軍每次進(jìn)攻的有效面Sn與清軍的隱蔽活動(dòng)區(qū)域Sm之比.則

依舊可以忽略清軍非戰(zhàn)斗減員率φ（m），日軍非戰(zhàn)斗減員率Ψ（n），令清日兩軍在時(shí)刻t的增援率σ（t）=δ（t）=0.則有

解此微分方程組有

根據(jù)初始條件，解得2

同理，當(dāng)b＞0時(shí)，日軍獲勝；當(dāng)b=0時(shí)，兩軍戰(zhàn)平；當(dāng)b＜0時(shí)，清軍獲勝.

這時(shí)，清軍若想獲勝需滿足以下條件：

即

根據(jù)英國海軍年鑒的統(tǒng)計(jì)計(jì)算，日本艦隊(duì)的火力rn相當(dāng)于北洋艦隊(duì)火力rm的3倍，再由假設(shè)清軍利用現(xiàn)代信息技術(shù)，每次射擊的命中率達(dá)到Pm= 1，故有

解上述不等式，有

得到清軍的隱蔽活動(dòng)區(qū)域Sm與日軍每次射擊的有效面Sn之比大于10819.654時(shí)，清軍就能獲勝.黃海有海域遼闊的地理?xiàng)l件，現(xiàn)代信息化的高科技可以滿足這樣的條件，故清軍可以有以少勝多的可能性.

Lancherster Mathematical Model of Battle of Yalu River

ZHAO Chang
（College of Mathematics，Jilin Normal University，Changchun 130103，China）

Based on the analysis of the original Lancherster differential equations，according to the interrelated data of Battle of Yalu River，the equations were modified accordingly.A Lanchester combat model conforming to the battle was established.Then，the model analysis outcome of the war was used to find the influencing factors of the war outcome.The results of Yalu River Battle was conjectured reasonably according to the assumption of the appropriate introduction of science and technology of modern information war.speculated that likely to win on both sides，The importance of information technology was discussed.

Battle of Yalu River；Lanchester differential equations；Lanchester combat model；Information war

O175.1

A

1008-1402（2015）06-0819-02

2015-10-05

趙暢（1991-），女，吉林九臺(tái)人，吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院在讀研究生，應(yīng)用數(shù)學(xué).