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        運(yùn)算律應(yīng)該怎么教學(xué)

        2015-09-18 12:36:14俞正強(qiáng)
        中國(guó)教師 2015年12期
        關(guān)鍵詞:分配律乘法運(yùn)算

        俞正強(qiáng)

        不管是學(xué)生還是教師,都覺(jué)得運(yùn)用乘法分配律很難,差錯(cuò)很多,因此,有許多學(xué)生很怕簡(jiǎn)便運(yùn)算。這很令教師困惑:原本可以減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)的運(yùn)算定律為何卻成為學(xué)生的負(fù)擔(dān)?下面我們以“乘法分配律”為例,討論運(yùn)算律應(yīng)該怎么教學(xué)。

        一、理解:算律是算法的“竅門”

        計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)可以概括為四個(gè)字:又對(duì)又快。當(dāng)將算律與算法放在一起時(shí),相對(duì)而言,算法解決的是“對(duì)”的問(wèn)題,而算律解決的是“快”的問(wèn)題。算律是對(duì)算法的熟能生“竅”。因此,算律源于算法的運(yùn)用。所以,算律的教學(xué)應(yīng)該從算法的運(yùn)用開始。為此,“乘法分配律”的教學(xué)應(yīng)該有這樣的流程。

        流程一:練習(xí),看誰(shuí)算得又快又對(duì)。(獨(dú)立完成)

        14×6+6×6

        78×14+22×14

        146×12– 46×12

        ……

        設(shè)計(jì)意圖:這些題目,學(xué)生在計(jì)算時(shí)會(huì)有以下兩種方法。

        方法1:按照“先乘除后加減”的算法進(jìn)行計(jì)算

        14×6+6×6

        =84+36

        =120

        方法2:按照“幾個(gè)幾加幾個(gè)幾一共幾個(gè)幾”的意義理解進(jìn)行計(jì)算

        14×6+6×6

        =20×6

        =120

        就當(dāng)下的學(xué)生而言,對(duì)混合運(yùn)算的算法,教師是教過(guò)的。但運(yùn)用乘法意義來(lái)做這題目,則是學(xué)生自己的“調(diào)皮”,或者說(shuō)是“竅門”。

        流程二:討論,怎樣算得又對(duì)又快?

        問(wèn)題:我們能改變運(yùn)算順序嗎?

        結(jié)論:14個(gè)6加6個(gè)6一共是20個(gè)6。

        設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解,在小學(xué)二年級(jí)算兩位數(shù)乘一位數(shù)的時(shí)候,就已經(jīng)蘊(yùn)含其中了。

        12×3→10×3+2×3=36

        當(dāng)時(shí)的理解是10個(gè)3加2個(gè)3一共是12個(gè)3。因此,學(xué)生理解14個(gè)6加6個(gè)6是20個(gè)6是很自然的事。也就是說(shuō),學(xué)生將這一類題目的運(yùn)算順序加以改變,十分自然。

        流程三:討論,我們改變運(yùn)算順序跟這些題目有關(guān)嗎?是不是所有題目都可以改變運(yùn)算順序呢?

        材料: 14×6+6×6

        78×14+22×14

        146×12-46×12

        結(jié)論:運(yùn)算特征: 乘 加(減) 乘 a×b±c×b

        數(shù)字特征:有一個(gè)相同數(shù) b

        兩個(gè)湊整數(shù) a±c為一整數(shù)

        設(shè)計(jì)意圖:教師提供的這組練習(xí)題有兩個(gè)特征:運(yùn)算特征與數(shù)字特征。當(dāng)滿足這兩個(gè)特征時(shí),可以先加減后乘,這樣就把運(yùn)算律的前提條件給明確了。

        流程四:判斷這樣算法,是又對(duì)又快嗎?

        ① (25+14)×4 ② (15+45)×3

        =25×4+14×4 =15×3+45×3

        =100+56 =45+135

        =156 =180

        問(wèn)題1:先算括號(hào)里面再算括號(hào)外面,這兩道題目都沒(méi)有先算括號(hào)里面,可以嗎?

        問(wèn)題2:改變運(yùn)算順序的目的是什么?哪道題目的算法滿足這個(gè)目的?

        設(shè)計(jì)意圖:幾個(gè)幾加幾個(gè)幾等于共有幾個(gè)幾,反之,共有幾個(gè)幾可以分為幾個(gè)幾加幾個(gè)幾。改變運(yùn)算順序的目的是為了又對(duì)又快,于是得出我們認(rèn)可并推薦的“竅門”,將其命名為乘法分配律。

        (a±b)c=ac±bc

        流程五:練習(xí)(略)

        二、討論:算律是“規(guī)律”的運(yùn)用

        目前,教材基本上把算律歸為“規(guī)律”,其基本流程如下。

        與該流程相類似的在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中通常限于“數(shù)學(xué)好玩”或“數(shù)學(xué)廣角”等材料中,比如“打電話”。

        我們可以比較打電話與乘法分配律兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容,打電話需要分析個(gè)例發(fā)現(xiàn)規(guī)律,以解決比較繁雜的問(wèn)題,這是正確的。但乘法分配律這個(gè)算律如果稱之為規(guī)律,可以用意義來(lái)理解,不需要發(fā)現(xiàn)。把乘法分配律作為問(wèn)題解決來(lái)教學(xué),是在把簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化。

        三、推而廣之:加法交換律應(yīng)該怎么教學(xué)

        一次,有位同事問(wèn):加法交換律的生活原型是什么?想了許久,也想不出加法交換律的原型。在去聽課的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)有的教師會(huì)請(qǐng)兩位學(xué)生到講臺(tái)上來(lái),問(wèn)其他學(xué)生:這是誰(shuí)和誰(shuí)?

        然后將兩位學(xué)生交換位置,問(wèn):這又是誰(shuí)和誰(shuí)?

        學(xué)生回答:是誰(shuí)和誰(shuí)。

        教師問(wèn):有沒(méi)有變化?

        學(xué)生回答:沒(méi)有變。

        教師又說(shuō):這是不是說(shuō)明位置變了,大小沒(méi)變???

        學(xué)生回答:是的。

        聽了這個(gè)原型,心里有一種說(shuō)不出的味道,書上是這樣設(shè)計(jì)的:

        一問(wèn):2+8=10

        二問(wèn):8+2=10

        三問(wèn):同學(xué)們,有什么發(fā)現(xiàn)嗎?

        問(wèn)題是,2+8=8+2,這需要發(fā)現(xiàn)嗎?難道不發(fā)現(xiàn)就不能知道2+8=8+2了嗎?

        那么,正確的呢?自然應(yīng)從算法入手。

        流程一:練習(xí),看誰(shuí)算得又對(duì)又快?

        8+6+2

        7+9+3

        11+5+9

        流程二:交流,誰(shuí)算得又對(duì)又快?

        從左到右依次計(jì)算→先湊整再相加。

        流程三:討論,這樣改變運(yùn)算順序的理由是什么?

        都是合并(加法意義)。

        流程四:結(jié)論,連加算式中,如果能湊整,可以改變順序,交換位置,即兩個(gè)加數(shù)交換位置,和不變。

        四、比較:差別在哪里

        我們來(lái)比較兩種教學(xué)流程所呈現(xiàn)的教學(xué)意義上的差別,如表1所示。

        表1 兩種教學(xué)流程呈現(xiàn)的教學(xué)意義上的差別

        兩種主張:對(duì)于知識(shí)而言,學(xué)生最終要記住ab±ac=a(b±c),并運(yùn)用它以達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的目的,差別不大。但對(duì)知識(shí)的獲得過(guò)程,兩種主張的差別是巨大的。

        本文主張要使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到,算律脫胎于對(duì)算法的靈活運(yùn)用,而靈活運(yùn)用的依據(jù)是對(duì)運(yùn)算意義的理解。教材主張的特征是割裂了算律與算法之間的密切聯(lián)系,使之成為一個(gè)獨(dú)立于算法的規(guī)律,把一個(gè)自然而然的“竅門”變成隆重的問(wèn)題解決。

        以上思考,僅供大家參考。

        (責(zé)任編輯:孫建輝)

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