王 澤，楊洪耕，王佳興，韓 斐

（四川大學(xué) 電氣信息學(xué)院，四川 成都 610065）

0 引言

間諧波的檢測是目前電能質(zhì)量研究領(lǐng)域內(nèi)的一項重要內(nèi)容。國際電工委員會標(biāo)準(zhǔn)IEC61000-4-7規(guī)定采用基于離散傅里葉變換DFT（Discrete Fourier Transform）和快速傅里葉變換FFT（Fast Fourier Transform）算法來測量間諧波，并且規(guī)范了信號同步采樣矩形窗口寬度為10個工頻周期[1-3]。

傳統(tǒng)的加窗插值算法[4]要犧牲采樣窗口寬度以換取更小的頻率分辨率，從而使快速檢測失去意義；有關(guān)頻譜細(xì)化的相關(guān)算法包含的移頻、濾波等步驟會消耗大量的內(nèi)存和時間[5]；以Prony算法為代表的譜估計方法[6]及基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和HHT的檢測方法[7]，計算量大和對噪聲敏感的缺點制約了其在間諧波快速檢測中的應(yīng)用。而針對有限窗長的間諧波快速檢測現(xiàn)已有相關(guān)的研究并取得了一定成果[8-10]，但當(dāng)實際間諧波距離基波、諧波或直流分量較近時，檢測結(jié)果會出現(xiàn)很大的誤差或錯誤。系統(tǒng)出現(xiàn)等幅的低頻振蕩時，直流分量附近會產(chǎn)生0.1～2.5 Hz的超低頻間諧波，對其檢測時必須要考慮負(fù)頻率的干擾影響，文獻(xiàn)[11]指出了負(fù)頻率對檢測結(jié)果的誤差影響，文獻(xiàn)[12-13]考慮了負(fù)頻率的影響，改進(jìn)結(jié)果使測量精度提高，但是均不能滿足IEC標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的10個工頻周期檢測條件。對于鄰近基波或諧波的間諧波，間諧波會泄漏到附近的基波或諧波譜線上，文獻(xiàn)[14]在IEC標(biāo)準(zhǔn)框架下實現(xiàn)了諧波和間諧波頻譜的分離，使鄰近基波或諧波的間諧波幅值測量精度提高，但無法求出間諧波的頻率和相位參數(shù)。

本文在IEC標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的檢測條件下，推導(dǎo)了計及負(fù)頻率影響的間諧波模型，并利用3根不同位置的間諧波譜線組成的線性方程組，求解出不同情況下的間諧波頻率、幅值和相位參數(shù)。重點對超低頻間諧波和鄰近基波或諧波的間諧波進(jìn)行了分析，當(dāng)間諧波與基波、諧波或直流分量的距離小于1個頻率分辨率時，本文算法仍能將間諧波參數(shù)快速測量出來。同時，該方法不受直流分量和諧波分量的影響，檢測速度和抗噪性能也比較好。仿真結(jié)果驗證了本文方法在檢測超低頻間諧波和鄰近基波或諧波的間諧波參數(shù)時的快速性和有效性。

1 負(fù)頻率對頻譜的影響

實際電力系統(tǒng)中的采樣信號為離散實數(shù)序列，依據(jù)的數(shù)學(xué)模型為組合余弦函數(shù)模型[15]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，fs為電網(wǎng)信號的采樣頻率；Ai、fi和 φi分別為分量的幅值、頻率和初相位；Dc為直流成分；v（n）為白噪聲信號；P 為頻率分量個數(shù)；n=0，1，…，N-1（N 為總采樣點數(shù)）。

進(jìn)行DFT／FFT頻譜處理時會先濾除直流分量，分析單個間諧波信號：

歐拉變換得：

上式表明單個實信號可以分解為2個共軛復(fù)指數(shù)信號的線性疊加，在頻域表現(xiàn)為正、負(fù)頻率頻譜的線性疊加。當(dāng)間諧波頻率很低時，正、負(fù)頻率相隔很近，此時就會產(chǎn)生不可忽略的負(fù)頻率干擾現(xiàn)象；間諧波頻率越低，負(fù)頻率對頻譜的干擾就越嚴(yán)重，如圖1所示（圖中幅值為標(biāo)幺值）。對于負(fù)頻率對頻譜的干擾，一般算法為了推導(dǎo)的便利選擇忽略負(fù)頻率成分，只取正頻率部分，這也是直接將復(fù)指數(shù)信號模型用于余弦信號模型產(chǎn)生誤差的原因。

圖1 實信號的正、負(fù)頻率干涉現(xiàn)象Fig.1 Interference phenomenon between positive and negative frequencies of real signal

2 含負(fù)頻率的間諧波頻譜分析

2.1 間諧波的加矩形窗FFT分析

分析式（2）中的單個間諧波模型，根據(jù)IEC標(biāo)準(zhǔn)對間諧波檢測的要求，對其作FFT，結(jié)果為：

其中，k=0，1，…，N－1。

其頻譜分布規(guī)律為：

其中，Δf為頻率分辨率。 令 f1i=fi／Δf，一般 N?1，式（5）簡化為：

其中，H（f1）=sin（πf1）ej（N-1）πf1／N≈sin（πf1）ejπf1。

式（6）即為計及負(fù)頻率影響的間諧波FFT頻譜模型，從中可知，實序列的FFT頻譜上出現(xiàn)正、負(fù)2個分量fi和-fi。若直接忽略負(fù)頻率成分，勢必會影響檢測結(jié)果的精度，實際對電網(wǎng)低頻間諧波檢測時應(yīng)該消除負(fù)頻率的干擾影響。

2.2 間諧波的頻率校正

根據(jù)式（6）的模型，取譜峰附近的3根譜線ka、kb和 kc，對應(yīng)的譜值分別為 X（ka）、X（kb）和 X（kc），這里ka

同理可驗證：

對于負(fù)頻率部分，類似地，可以推導(dǎo)出：

其中，k 取值 ka、kb和 kc。 式（10）視作含非零解[H+，－H-，－1]T的齊次方程組，其充要條件是式（11）所示的式（10）的系數(shù)矩陣 C 的行列式為零[16]。

由 det（C）=0 有：

其中，kba=kb-ka；kcb=kc-kb；kca=kc-ka。

同步采樣時，為了避免直流分量、基波和諧波分量對間諧波分量的干擾，ka、kb和kc不包含直流譜線、基波和諧波譜線，設(shè)km為三者中的最高譜線，即：

其中，ka、kb、kc不等于 0 或 kh，kh為間諧波鄰近的基波或諧波譜線。

間諧波的分布具有隨機性，根據(jù)間諧波位置的不同分成以下3種類型。

a.常規(guī)間諧波：間諧波距離直流分量、基波頻率或諧波頻率1.5Δf以上，判定依據(jù)為其峰值譜線不位于基波和諧波及其左右相鄰譜線處，即：

此時取ka=km-1、kb=km和kc=km+1為相鄰的連續(xù)譜線，則 kba=1、kcb=1、kca=2，式（12）簡化為：

b.超低頻間諧波：由于系統(tǒng)中可能有直流分量的干擾，為避免這種干擾，對實際電網(wǎng)的采樣信號x（n）進(jìn)行頻譜分析時，一般先進(jìn)行隔直處理來濾除直流分量Dc。當(dāng)km=1時，即最高譜線落在Δf上，則km-1譜線落在直流譜線上；此時 X（km-1）=0，則式（10）不能形成三元一次方程組得到唯一解，校正無法進(jìn)行。

為使待求頻率歸一化f1i仍具有式（12）的形式，考慮到正負(fù)頻率在頻譜上的對稱性，取km-1=-1，相應(yīng)的 X（km-1）=X*（km），“*”表示取共軛。 即譜線序號值取[-1，1，2]，對應(yīng)的頻譜值為[X*（1），X（1），X（2）]，可以解得超低頻間諧波的頻率估計值為：

c.鄰近基波或諧波的間諧波：間諧波的位置與鄰近的基波或諧波相隔1.5Δf以下，此時間諧波會與基波或諧波發(fā)生嚴(yán)重的干涉現(xiàn)象，為消除這種干涉，利用式（12）校正時不應(yīng)計及基波或諧波譜線的信息。判定依據(jù)為：

當(dāng)km=kh+1，即間諧波頻率大于鄰近的基波或諧波頻率時，取 ka=km-2、kb=km和 kc=km+1，式（12）化為：

當(dāng)km=kh-1，即間諧波頻率小于鄰近的基波或諧波頻率時，取 ka=km-1、kb=km和 kc=km+2，式（12）化為：

以上即為任意位置間諧波頻率的校正方案，于是消除負(fù)頻率影響的超低頻間諧波頻率估計值為：

2.3 間諧波的幅值和相位校正

局部峰值譜線km具有較高的信噪比，進(jìn)行幅值和相位測量時根據(jù)式（6）有：

由式（20）計算出 fi后，U、V 均為已知量，未知量為 Ai、φi，將 Aiejφi和 Aie-jφi視為整體變量，注意到（Aiejφi）*=Aie-jφi，式（21）的共軛為：

聯(lián)立式（21）、（22）解出：

其中，km和f1i分別對應(yīng)前述頻率校正的各種情況。

式（20）、（23）即為考慮負(fù)頻率的間諧波頻率、幅值和相位估計公式。值得注意的是，上述模型是建立在基頻同步采樣時10周期矩形窗的情況上，符合IEC標(biāo)準(zhǔn)要求。

3 數(shù)字仿真分析

為量化檢測結(jié)果的優(yōu)劣，定義檢測值相對于真實值的歸一化偏移誤差εn：

其中，p′k和 pk分別為第k次檢測值和真實值；M 為檢測實驗的次數(shù)。

平均偏移誤差εa：

歸一化偏移誤差εn表征的是檢測結(jié)果的累積誤差，εn值越小代表結(jié)果越精確，檢測算法越穩(wěn)定；平均偏移誤差εa表征的是檢測誤差的平均水平，εa越小代表平均誤差越小。

3.1 低頻間諧波檢測仿真

初相位為0、相對幅值為Ai=0.01、頻率為fi的低頻間諧波，同步采樣為10個周期，采樣頻率fs=6400 Hz。當(dāng)間諧波頻率fi變化時，對應(yīng)式（26）的IEC間諧波組算法和本文方法檢測結(jié)果如圖2所示。

其中，h為諧波次數(shù)；YC，10h+k為譜線號10h+k對應(yīng)的譜線有效值；Yig，h為h次間諧波組有效值。

圖2 低頻間諧波的幅值檢測誤差Fig.2 Amplitude error of low-frequency interharmonic detection

按IEC標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定，同步采樣時頻率分辨率為Δf=5 Hz，容許誤差范圍±5%。由圖2可以看出，IEC間諧波組算法檢測誤差波動較大，容差范圍內(nèi)的幅值歸一化偏移誤差εn約為2.2%，平均偏移誤差εa約為1.6%；而本文方法的檢測結(jié)果誤差較小，幅值歸一化偏移誤差εn僅為0.18%，平均偏移誤差εa約為0.02%。圖3為本文算法在頻率變化時對應(yīng)的相位誤差變化圖，其最大相位誤差小于0.2°。因此本文方法在檢測低頻間諧波時具有較高的準(zhǔn)確性。

對超低頻間諧波的檢測條件同上，當(dāng)間諧波的初相位在0°～360°變化時，測試不同采樣頻率下容差范圍內(nèi)算法能檢測出的最小間諧波頻率，列舉的部分結(jié)果如表1所示。從表1可看出，IEC間諧波組算法檢測超低頻間諧波時，容差范圍內(nèi)最小可分辨的間諧波頻率約為1.8Δf，而本文可分辨至0.2Δf～0.4Δf以下，掙脫了傳統(tǒng)間諧波檢測算法受頻率分辨率Δf的限制。同時，本文方法隨采樣頻率增大，可分辨的最小間諧波頻率變小，這是由于式（5）中的N值變大使式（6）的模型更精確。換言之，要檢測出相同的超低頻間諧波，IEC算法需要的信號長度是本文方法的5倍以上，從而驗證了本文方法檢測超低頻間諧波時的快速性。

圖3 本文方法的相位檢測誤差Fig.3 Phase error of proposed detection method

表1 10周期±5%容差范圍內(nèi)能檢測的最小間諧波頻率Table 1 Detectable minimum interharmonic frequency，with±5%tolerance and for 10 cycles

3.2 鄰近基波或諧波的間諧波檢測仿真

對于檢測與基波或諧波相隔較近的間諧波，此時基波或諧波與間諧波之間的主瓣干涉是影響算法檢測精度的關(guān)鍵因素。傳統(tǒng)的檢測算法通過增加采樣信號長度來減小頻率分辨率Δf以降低這種干涉，但這樣的后果是增加了檢測時間，甚至不能滿足IEC和國標(biāo)規(guī)定的10周期檢測要求，無法達(dá)到快速檢測的目的。為了驗證本文方法可以消除這種主瓣干涉，實現(xiàn)鄰近基波或諧波的間諧波快速檢測，以基波附近的間諧波為例，間諧波的參數(shù)檢測條件同上，采樣頻率fs=3200 Hz。當(dāng)fi以0.01 Hz的步長在40～60 Hz變化時，對應(yīng)的檢測結(jié)果如圖4所示。

從圖4可看出，IEC間諧波組算法在檢測鄰近基波或諧波的間諧波時誤差很大，40～60 Hz范圍內(nèi)的幅值歸一化偏移誤差εn約為34.4%，平均偏移誤差εa約為20.2%，這是因為間諧波相當(dāng)大部分頻譜泄漏在基波或諧波譜線和相鄰頻段上，此時該方法失效；本文方法在無噪聲干擾的情況下可以實現(xiàn)鄰近基波或諧波的間諧波高精度檢測，40～60 Hz范圍內(nèi)幅值歸一化偏移誤差εn僅為0.15%，平均偏移誤差εa為0.05%，且均可以滿足誤差要求。因此本文方法可以在不增加采樣窗長的情況下實現(xiàn)對鄰近基波或諧波的間諧波快速檢測。

圖4 鄰近基波的間諧波幅值檢測誤差Fig.4 Amplitude error of interharmonic detection when it is near fundamental

3.3 噪聲干擾對間諧波檢測的影響

上述分析均建立在無噪聲干擾的理想情況下，但實際電力系統(tǒng)中采樣信號難免會受到噪聲信號的污染。為考察各種算法的抗噪性能，選取目前常用的間諧波檢測算法進(jìn)行比較：IEC間諧波組算法[1]（方法1）、擴展 Prony 算法[6]（50 階模型）（方法2）、3點插值修正算法[17]（方法3）、本文方法（方法4）。

采樣頻率fs=5120 Hz，10個基頻周期同步采樣信號，采樣點數(shù)N=1024。其中信號包含基波、2次諧波和1個間諧波，為不失一般性，各畸變分量的相位角為0，間諧波參數(shù)變化依次如表2所示。

表2 各分量參數(shù)Table 2 Parameters of different components

表2中2.5 Hz頻率成分為超低頻間諧波，51.2 Hz頻率成分為與基波鄰近的間諧波，87 Hz頻率成分為常規(guī)間諧波，102.6 Hz頻率成分為鄰近2次諧波的間諧波。所疊加的噪聲為高斯白噪聲信號，其信噪比 SNR（Signal to Noise Ratio）為 10～100 dB，分別考察不同噪聲環(huán)境下各間諧波的檢測精度。各間諧波的頻率誤差Ef、幅值誤差EA和相位誤差Ep結(jié)果如表3—6所示，“—”表示無法檢測對應(yīng)項，其中51.2 Hz分量在不同噪聲環(huán)境下的幅值誤差變化情況如圖5所示（方法3無法檢測出幅值）。

表3 不同噪聲下2.5 Hz分量的檢測誤差對比Table 3 Comparison of detection error among different noises for 2.5 Hz component

表4 不同噪聲下51.2 Hz分量的檢測誤差對比Table 4 Comparison of detection error among different noises for 51.2 Hz component

表5 不同噪聲下87 Hz分量的檢測誤差對比Table 5 Comparison of detection error among different noises for 87 Hz component

表6 不同噪聲下102.6 Hz分量的檢測誤差對比Table 6 Comparison of detection error among different noises for 102.6 Hz component

圖5 加噪時51.2 Hz間諧波幅值檢測誤差比較Fig.5 Comparison of amplitude error of 51.2 Hz interharmonic detection，with noise

表7 87 Hz間諧波各種算法的平均檢測時間Table 7 Average detection time of 87 Hz interharmonic for different algorithms

為檢驗4種算法的檢測響應(yīng)時間，以含87 Hz間諧波分量的檢測為例，多次測試求取檢測時間的平均值作為結(jié)果，4種算法各自的平均檢測時間對比如表7所示。

從表3—7和圖5可以看出，方法1檢測速度最快，但只能進(jìn)行頻段內(nèi)的幅值檢測，無法檢測間諧波的幅值和相位信息，且無法對超低頻間諧波和鄰近基波或諧波的間諧波（簡稱特殊間諧波）進(jìn)行檢測；方法2建立了很高的模型階數(shù)，因而檢測時間最長，可以檢測特殊間諧波，但對噪聲干擾比較敏感，誤差較大；方法3能夠?qū)崿F(xiàn)常規(guī)間諧波的高精度檢測，但對于特殊間諧波的檢測卻無能無力，其根本原因在于該算法模型只適用于旁瓣干涉情況，未考慮主瓣干涉影響；方法4（本文方法）在特殊間諧波的檢測具有相當(dāng)大的優(yōu)勢，同時該方法的抗噪性能較好、檢測速度較快，在較大噪聲環(huán)境中可以滿足IEC和國家標(biāo)準(zhǔn)的檢測要求。

4 結(jié)論

本文提出的間諧波快速檢測方法消除了負(fù)頻率對頻譜的干擾，通過組建和求解不同位置的間諧波譜線方程組，得到了間諧波參數(shù)的顯式求解公式，實現(xiàn)了在IEC標(biāo)準(zhǔn)檢測要求下對低頻間諧波的快速檢測。特別是當(dāng)間諧波與鄰近的基波、諧波或直流分量相距小于1個頻率分辨率時，該方法仍能在有限的采樣數(shù)據(jù)長度下對間諧波快速精確檢測。仿真結(jié)果表明該方法的檢測速度和抗噪性能較好，不受直流偏移和諧波分量的影響。

本文方法只適用IEC標(biāo)準(zhǔn)要求的同步采樣矩形加窗情況，在間諧波頻率較低時有很大的優(yōu)勢，其他加窗可以進(jìn)一步抑制多個間諧波之間的相互干擾來提高檢測精度，但有待進(jìn)一步研究。