李 偉，吳鳳江，孫 力

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程系，黑龍江 哈爾濱 150001；2.黑龍江科技大學(xué) 電氣工程系，黑龍江 哈爾濱 150027）

0 引言

在可再生能源并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)、有源濾波器以及無功補償系統(tǒng)等并網(wǎng)型電力電子系統(tǒng)中，為實現(xiàn)高性能并網(wǎng)運行，普遍采用鎖相環(huán)技術(shù)來獲得電網(wǎng)的實時同步信息，如電網(wǎng)電壓的幅值、相角、頻率等[1-6]。在上述系統(tǒng)中，除了鎖相環(huán)算法以外，還要執(zhí)行電流閉環(huán)控制、電壓閉環(huán)控制、諧波檢測以及脈寬調(diào)制等算法。因此，要求鎖相環(huán)算法盡量簡化，以減少對控制芯片資源的占用，更好地和上述算法相融合。

目前，在應(yīng)用于三相系統(tǒng)的鎖相環(huán)算法中，具有代表性的是基于同步旋轉(zhuǎn)坐標系的鎖相環(huán)以及基于三相靜止坐標系的增強型鎖相環(huán)，二者均能夠準確地估計三相輸入信號的同步信息并由此獲得了廣泛應(yīng)用。其中，前一種方案利用同步旋轉(zhuǎn)坐標變換將三相靜止坐標系下的輸入信號變換到兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標系下的直流量，再通過對直流量的閉環(huán)控制實現(xiàn)相角和頻率的跟蹤[7-14]。所使用的旋轉(zhuǎn)坐標變換中需要進行6次三角函數(shù)計算和乘法運算，計算稍顯復(fù)雜。增強型鎖相環(huán)在經(jīng)典鎖相環(huán)算法的基礎(chǔ)上，加入幅值閉環(huán)估計環(huán)節(jié)，一方面可以獲得電網(wǎng)電壓的幅值信息，同時能夠加快頻率環(huán)的響應(yīng)速度[15-16]。增強型鎖相環(huán)對三相電網(wǎng)電壓直接鎖相，省去了旋轉(zhuǎn)坐標變換環(huán)節(jié)，但是由于其是在三相靜止坐標系下進行的，需要計算較多的三角函數(shù)運算和乘法運算，計算同樣比較復(fù)雜。

另外，在實際系統(tǒng)中，還要考慮非理想電網(wǎng)條件，如諧波以及相間不平衡等對鎖相環(huán)性能的影響?，F(xiàn)有文獻已經(jīng)指出，諧波和相間不平衡將直接導(dǎo)致所估計的信息中產(chǎn)生周期擾動，嚴重影響鎖相環(huán)的性能進而導(dǎo)致整個系統(tǒng)的性能惡化。由于經(jīng)典鎖相環(huán)算法并不能消除諧波和相間不平衡的影響，因此目前在鎖相環(huán)的研究方面普遍圍繞著如何改善非理想輸入條件下鎖相環(huán)的性能來開展，如在基于旋轉(zhuǎn)坐標系下的鎖相環(huán)中加入濾波器或者采用正負序分離技術(shù)再結(jié)合濾波器來同時消除不平衡和諧波的影響。而在增強型鎖相環(huán)中同樣需要加入濾波器來消除這一影響。

對于鎖相環(huán)算法而言，最基本的要求是能夠在三相輸入信號存在諧波和不平衡時仍然準確估計三相輸入信號的幅值、相角和頻率信息，同時要求其具有較快的動態(tài)響應(yīng)性能，以便在輸入信號發(fā)生動態(tài)變化時能夠盡快獲得準確的信息以保持系統(tǒng)的高性能。另外，還要考慮整個鎖相環(huán)算法，尤其是加入針對諧波和不平衡的性能優(yōu)化算法以后的計算量問題。在前述列出的電力電子電能變換系統(tǒng)中，隨著對整個系統(tǒng)性能的要求日益提高，系統(tǒng)的算法越發(fā)復(fù)雜，為其實現(xiàn)帶來較大難度。而縱觀目前的鎖相環(huán)算法，普遍存在算法復(fù)雜、占用控制芯片資源過多等問題，雖然能夠通過采取多處理器協(xié)同工作的方案來間接解決算法的執(zhí)行問題，但是會帶來開發(fā)周期長、調(diào)試難度大、成本增加以及可靠性下降等一系列負面問題。因此如何在實現(xiàn)優(yōu)良估計性能的同時，盡量降低鎖相環(huán)算法自身的復(fù)雜度，從而提高整個系統(tǒng)的集成度和執(zhí)行效率，成為鎖相環(huán)研究中新的熱點和難點問題。

本文首次提出兩相靜止坐標系下的增強型鎖相環(huán) TPSF-EPLL（Two-Phase Stationary Frame Enhanced Phase Locked Loop），并給出了其詳細的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。所提出的鎖相環(huán)算法在兩相靜止坐標系下進行運算即可同時獲得輸入信號的幅值、頻率和相角信息，無需旋轉(zhuǎn)坐標變換，從而使計算量大幅簡化。而利用Goertzel濾波器能夠?qū)Χ鄠€低次諧波同時濾除的特點，在每個閉環(huán)控制環(huán)節(jié)中只需要增加1個Goertzel濾波器即可同時消除三相電網(wǎng)電壓不平衡和諧波對鎖相環(huán)輸出性能的影響。由于Goertzel濾波器基于滑動平均的思想，在實現(xiàn)過程中只需執(zhí)行移位存儲、加法和除法運算，因此不會明顯增加算法的執(zhí)行時間。

1 所提出的TPSF-EPLL

下面首先分析所提出的TPSF-EPLL的算法結(jié)構(gòu)。假設(shè)三相電網(wǎng)電壓為：

經(jīng)過靜止坐標變換，坐標變換公式為：

變?yōu)閮上囔o止坐標系下的分量：

為了實現(xiàn)在兩相靜止坐標系下獲得電網(wǎng)電壓的幅值、相角和頻率信息，需要確定所提出的TPSF-EPLL的結(jié)構(gòu)。設(shè)鎖相環(huán)所獲得的兩相靜止坐標系下的瞬時信號的輸出為：

其中，“～”代表由鎖相環(huán)算法獲得的各個變量的估計值。定義成本函數(shù)為輸入信號與所獲得信號差的平方和，即：

根據(jù)梯度下降法，可以得到迭代方程為：

因此，展開式（6），可得：

其中，μU為幅值環(huán)的積分系數(shù)；μω、μθ分別為頻率環(huán)的比例和積分系數(shù)。

由以上分析可以獲得所提出的鎖相環(huán)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，實線表示向量運算，虛線表示代數(shù)運算。頻率環(huán)增加了比例環(huán)節(jié)，以便提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，其輸出經(jīng)過積分器后即獲得輸入信號的相角，由此得到了輸入信號的幅值、頻率和相角信息。

圖1 所提出的TPSF-EPLL示意圖Fig.1 Schematic diagram of proposed TPSF-EPLL

下面對所提出的TPSF-EPLL的穩(wěn)定性進行分析進而獲得參數(shù)設(shè)計原則。

將式（1）、式（2）代入式（7）—（9），得到：

定義：

代入式（10）可得：

式（12）的每一項由兩部分組成，即線性部分與非線性部分?？紤]線性化的局部分析以及在實際系統(tǒng)中存在的低通濾波器性質(zhì)，忽略非線性和2倍頻部分，可以將式（12）簡化為：

在式（13）中，幅值的動態(tài)響應(yīng)含有一個負的實特征根 λU=-μU，對應(yīng)時間常數(shù)τU=μU。 而頻率／幅值的動態(tài)響應(yīng)可以用下式表示：

由式（14）可知，在特征根的各系數(shù)中包含了輸入信號的幅值，其是時變的，導(dǎo)致系統(tǒng)是非線性的。因此在頻率環(huán)的輸入信號中除以輸入信號的幅值，從而實現(xiàn)解耦的目的。由此所提出的TPSF-EPLL經(jīng)過修改后變?yōu)閳D2的形式。

圖2 修改后的TPSF-EPLLFig.2 Revised TPSF-EPLL

由于 μθ、 μω、U 均為正數(shù)，可得式（14）的特征根均在左半平面，因此該式能夠證明此系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。

在式（14）中，由于幅值環(huán)獨立于頻率環(huán)，因此只考慮幅值環(huán)的動態(tài)響應(yīng)就能夠獲得整個系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。幅值的動態(tài)響應(yīng)含有一個負的實特征根λU=-μU，對應(yīng)時間常數(shù)τU=1 ／μU。 在實際系統(tǒng)中，調(diào)整時間 Ts=5τU，因此，對于 50 Hz系統(tǒng)，若 μU=125，則τU=1 ／μU=0.008（s），Ts=5τU=0.04（s），相當于2個基波周期。對于頻率環(huán)，由式（14）可知，頻率環(huán)為典型的二階系統(tǒng)，綜合考慮其快速性和暫態(tài)性能，本文選擇臨界阻尼狀態(tài)，即使其具有2個相等的實根，則有 ζ=1，ωn=ω0=314 rad ／s，從而有 μθ=2ζ／ωn≈0.006，μω=8ζω2n／3≈262 922。

2 非理想電網(wǎng)條件對鎖相環(huán)的影響及其抑制

在實際系統(tǒng)中，電網(wǎng)電壓通常不是理想正弦波，而是包含負序、零序分量和諧波。下面分析這些非理想因素對鎖相環(huán)性能的影響進而給出相應(yīng)的解決方案?？紤]上述非理想因素的輸入信號表示為：

其中，U+h、U-h、U0h以及 φ+h、φ-h、φ0h分別為 h 階正序、負序和零序分量的幅值和相角。當h=1時，各個變量代表基波成分。經(jīng)過3／2坐標變換后，得到新的輸入信號為：

此時新的輸入信號不存在零序分量。根據(jù)圖1，假設(shè)此時鎖相環(huán)的輸出電壓跟隨正序基波分量，頻率環(huán)和幅值環(huán)的輸入信號變?yōu)椋?/p>

由式（17）、（18）可知，在這 2 個環(huán)節(jié)的輸入信號中會產(chǎn)生周期波動，最低次為2次。這一波動將導(dǎo)致鎖相環(huán)估計的幅值、相角和頻率同樣存在周期波動。

因此本文將Goertzel濾波器引入到頻率環(huán)和幅值環(huán)的輸入側(cè)，用于濾除不平衡和諧波的影響。改進后的鎖相環(huán)如圖3所示。

圖3 包含Goertzel濾波器的TPSF-EPLLFig.3 TPSF-EPLL with Goertzel filter

Goertzel濾波器是由滑動離散傅里葉變換所推導(dǎo)出來的一種濾波器，根據(jù)滑動離散傅里葉變換算法，采樣點數(shù)為N，某一時刻q第k個頻率單元的頻譜值表示為［17］：

其中，x（q）和 x（q-N）分別為 q 和 q-N 時刻的采樣值。因此，當所要得到的頻率為直流時，令k=0，并且通過z變換，可以得到Goertzel濾波器在z域下的表達式為：

其中，fs為采樣頻率；f0為基波頻率；1／N是為了補償濾波器帶來的增益變化的系數(shù)。通過以上濾波器，可以濾除所有頻率為下式所示的諧波：

由于本文需要濾除頻率環(huán)的比例積分控制器輸入信號中的交流成分，而該交流成分的頻率分布為原始輸入信號的2倍頻的整數(shù)倍，中國電網(wǎng)額定頻率為50 Hz，故設(shè)定f0=100 Hz。圖4為采樣頻率為10 kHz、N=10000／100=100 時 Goertzel濾波器的 Bod圖?？梢?，該濾波器在100 Hz及其倍數(shù)次頻率處的增益變?yōu)?150 dB，說明對2倍頻及其倍數(shù)次諧波具有較好的衰減作用，而在其他頻段增益接近于1，衰減很小。該濾波器能夠達到上述濾波目的。

圖4 Goertzel濾波器的Bode圖Fig.4 Bode diagram of Goertzel filter

3 實驗結(jié)果與對比

本文提出一種新的鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的非理想輸入條件下的性能優(yōu)化方案，需對其穩(wěn)態(tài)跟蹤精度、動態(tài)響應(yīng)性能以及在非理想輸入條件下的幅值、相角、頻率和跟蹤性能進行實驗驗證。搭建了基于浮點型DSP芯片（TMS30F28335）的實驗平臺用于對所提出TPSF-EPLL的性能進行驗證。考慮到實際電網(wǎng)電壓波形是不可控的，難以對所提TPSF-EPLL的性能進行全面檢驗，因此將三相輸入信號在DSP中用軟件產(chǎn)生，以便于產(chǎn)生階躍變化以及加入不平衡和諧波。三相輸入信號和鎖相環(huán)的輸出信號經(jīng)DA轉(zhuǎn)換芯片（DAC7515）將數(shù)字量轉(zhuǎn)換為模擬量以便于通過示波器觀察。三相輸入信號的初始條件為：幅值為1 p.u.，頻率為50 Hz，三相信號保持對稱且不包含諧波。

首先對其在理想輸入條件下的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度和動態(tài)性能進行實驗驗證?？紤]到在實際應(yīng)用中，最常見的就是輸入信號發(fā)生幅值、相角和頻率的突變，實驗方案為：在初始階段，三相輸入信號保持平穩(wěn)，鎖相環(huán)達到了穩(wěn)態(tài)，即已經(jīng)獲得了三相輸入信號的幅值、相角和頻率信息，而在某一時刻分別將幅值對稱突減40%、相角對稱跳變40°以及頻率跳變10%，經(jīng)過5個基波周期后幅值和頻率均恢復(fù)為初始狀態(tài)。下面給出完整的實驗結(jié)果，包括穩(wěn)態(tài)階段和突變后的動態(tài)變化過程直至達到新的穩(wěn)態(tài)的完整過程的波形。實驗波形分別如圖5—7所示，分別對應(yīng)三相輸入波形、三相輸入的兩相坐標變換波形、兩相估計波形、估計的幅值和幅值誤差、估計的頻率和頻率誤差、估計的相角和相角誤差。通過穩(wěn)態(tài)階段的波形能夠分析其穩(wěn)態(tài)估計精度，而通過動態(tài)過程的波形能夠?qū)ζ鋭討B(tài)響應(yīng)性能進行評價。

由圖5—7可知，在系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，所估計的幅值、相角和頻率誤差均為零，說明所提出的TPSFEPLL很好地實現(xiàn)了對輸入信號同步信息的估計。在幅值發(fā)生突變時，最大幅值誤差等于相應(yīng)的突變值，經(jīng)過短暫的過渡過程（大約20 ms），幅值誤差等于零，說明跟隨上了新的幅值；相角和頻率均產(chǎn)生小的波動，經(jīng)過5 ms恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)值。在相角跳變時，最大相角誤差等于跳變值，動態(tài)響應(yīng)時間約為20 ms；所估計的幅值和頻率均產(chǎn)生瞬態(tài)波動，最大瞬態(tài)幅值誤差為0.08 p.u.，經(jīng)過5 ms恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)，頻率誤差較大，超過20 Hz，這是由于輸入信號的瞬態(tài)相角跳變在頻率環(huán)的輸入側(cè)產(chǎn)生了較大的誤差信號，經(jīng)過10 ms重新恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)。在頻率跳變時，最大頻率誤差等于跳變值，動態(tài)響應(yīng)時間約為20 ms；幅值環(huán)幾乎沒有受到影響；所估計的相角產(chǎn)生瞬態(tài)波動，最大瞬態(tài)相角誤差為4°，經(jīng)過20 ms恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)值。

進一步與包含陷波濾波器的雙同步旋轉(zhuǎn)坐標系下的鎖相環(huán)和三相增強型鎖相環(huán)的控制性能和計算量進行了對比。為節(jié)省篇幅，只把這2種傳統(tǒng)鎖相環(huán)和所提出TPSF-EPLL的動態(tài)性能數(shù)據(jù)以及代碼執(zhí)行時間列于表1。表中，Tset為動態(tài)響應(yīng)時間；ΔUm、Δθm、Δfm分別為動態(tài)過程中幅值、相角和頻率的最大誤差。由表1可知，所提出的TPSF-EPLL獲得了和傳統(tǒng)鎖相環(huán)相近的動態(tài)控制性能，包括動態(tài)響應(yīng)時間和各估計量的最大瞬態(tài)誤差。由于所提出的TPSFEPLL在兩相靜止坐標系下進行運算，因此總執(zhí)行時間減少約40%，顯著降低了對控制器資源的占用。

圖5 幅值突變下的動態(tài)響應(yīng)實驗波形Fig.5 Experimental waveforms of dynamic response to amplitude step change

圖6 相角跳變下的動態(tài)響應(yīng)實驗波形Fig.6 Experimental waveforms of dynamic response to phase angle step change

圖7 頻率跳變下的動態(tài)響應(yīng)實驗波形Fig.7 Experimental waveforms of dynamic response to frequency step change

表1 3種鎖相環(huán)的動態(tài)數(shù)據(jù)及代碼執(zhí)行時間Table 1 Dynamic data and code execution time for three kinds of PLL

最后對加入濾波器后的所提出的TPSF-EPLL在輸入信號存在諧波和不平衡時的鎖相性能進行了實驗驗證。為驗證其抗諧波擾動性能，實驗條件設(shè)為：將5、7、11以及13次諧波加入輸入信號，幅值均為0.1 p.u.，在某一時刻突然加入連續(xù)5個基波周期的諧波以后輸入信號恢復(fù)為理想正弦波形。圖8給出了相應(yīng)的實驗波形，由圖可知，在突加諧波時，幅值環(huán)幾乎沒有受到影響，而所估計的相角和頻率中包含周期波動，經(jīng)過大約40 ms以后系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)，所估計的幅值、相角和頻率信息中均不包含輸入諧波成分，濾波器的加入明顯抑制了諧波的影響。需要說明的是，所估計的相角和頻率中存在的短時周期波動是由Goertzel濾波器的工作特性所決定的。最后對所提出的TPSF-EPLL在輸入信號不平衡情況下的性能進行實驗驗證，實驗條件為：將a相輸入信號的幅值變?yōu)?.1 p.u.，b相相角跳變80°。等效為正序相量為U+=0.536∠-37.71°p.u.，負序相量為U-=0.129∠-52.8°p.u.。同樣在5個基波周期以后輸入信號恢復(fù)為理想三相對稱正弦波形。實驗波形如圖9所示。由圖9可知，輸入信號突然變?yōu)椴黄胶鈺r，所估計的幅值、相角和頻率均產(chǎn)生較大瞬態(tài)誤差，經(jīng)過大約30 ms的動態(tài)過程，系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)，此時在所估計的幅值、相角和頻率波形中均不存在周期波動，說明濾波器的加入很好地抑制了不平衡造成的影響，獲得了較好的鎖相性能。

圖8 諧波輸入條件下的所提出TPSF-EPLL的實驗波形Fig.8 Experimental waveforms of proposed TPSF-EPLL for input signals with harmonics

圖9 不平衡輸入條件下的所提出TPSF-EPLL的實驗波形Fig.9 Experimental waveforms of proposed TPSF-EPLL for unbalanced input signals

4 結(jié)論

a.提出了TPSF-EPLL用于三相電網(wǎng)電壓的信息估計，包括幅值、相角和頻率，相應(yīng)的實驗結(jié)果表明，所提出的TPSF-EPLL具有和現(xiàn)有三相鎖相環(huán)相近的動靜態(tài)性能，而計算量降低約40%；

b.通過將Goertzel濾波器引入到所提出TPSFEPLL的頻率環(huán)和幅值環(huán)，有效抑制了輸入諧波和不平衡的影響，穩(wěn)態(tài)估計信息中已不再含有周期波動；

c.所提出的TPSF-EPLL有效減小了控制器的計算負擔，更加有利于與并網(wǎng)型電力電子電能變換系統(tǒng)相融合，具有較好的應(yīng)用前景。