薛小霞

圓是平面幾何圖形中最完美的圖形，它既具有軸對(duì)稱(chēng)性，又具有任意角度的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性.本章“對(duì)稱(chēng)圖形——圓”就是在直線型圖形有關(guān)性質(zhì)和判定的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索“最完美”曲線型圖形——圓的有關(guān)性質(zhì).下面就本章的兩個(gè)重點(diǎn)——圓周角定理以及直線與圓的位置關(guān)系作一定的例題拓展.

1. 圓周角、圓心角是本章中最基本、最常見(jiàn)的角.

圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

例1 （2014·湖北宜昌）如圖1，點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，AC、BD相交于點(diǎn)E，則與∠ABD相等的是（ ）.

A. ∠ACD B. ∠ADB

C. ∠AED D. ∠ACB

【解析】∵⊙O中，圓周角∠ABD所對(duì)弧是弧AD，而弧AD所對(duì)的圓周角還有∠ACD，∴選項(xiàng)A正確.

例2 （2013·江蘇無(wú)錫）如圖2，A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)且∠ABC=70°，則∠AOC的度數(shù)是（ ）.

A. 35° B. 140°

C. 70° D. 70°或140°

【解析】∵⊙O中，∠ABC、∠AOC分別是弧AC所對(duì)的圓周角、圓心角，∴∠AOC=2∠ABC，∴選項(xiàng)B正確.

變式1 （2014·江西南昌）如圖3，A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，則∠B的度數(shù)為（ ）.

A. 40° B. 45° C. 50° D. 55°

【解析】∵⊙O中，圓周角∠B所對(duì)弧是弧AC，∴要用圓周角定理必須找弧AC所對(duì)的圓周角或圓心角，∴連接OC，則∠AOC就是弧AC所對(duì)的圓心角.

∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=70°，

∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=70°，

∴∠DOC=40°，∴∠AOC=110°，

∴∠B=55°. ∴選項(xiàng)D正確.

【點(diǎn)評(píng)】以上三題考查圓周角定理，同學(xué)們要注意掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等且等于它所對(duì)弧上圓心角度數(shù)的一半.中考中圓周角定理經(jīng)常出現(xiàn)，但單獨(dú)考查它的題目不多，大多隱含在其他知識(shí)點(diǎn)中.

變式2 （2013·湖南張家界）如圖4，⊙O的直徑AB與弦CD垂直且∠BAC=40°，則∠BOD=________.

【解析】∵⊙O中，∠BAC是弧BC所對(duì)的圓周角，而∠BOD是弧BD所對(duì)的圓心角，由垂徑定理可得弧BC、弧BD是等弧，∴∠BOD=2∠BAC，∴∠BOD=80°.

變式練習(xí) （2014·內(nèi)蒙古赤峰）如圖5，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點(diǎn)，CD⊥AB，若∠DAB=65°，則∠BOC是（ ）.

A. 25° B. 50°

C. 130° D. 155°

變式3 （2013·江蘇南通）如圖6，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為直徑，AB=4，AC=3，D是弧AB的中點(diǎn)，CD與AB的交點(diǎn)為E，則CE∶DE等于（ ）.

A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5

【解析】Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，BC為直徑，AB=4，AC=3，可知Rt△ABC斜邊（⊙O的直徑）為5. D是弧AB的中點(diǎn)，可知“弧AD”、“弧BD”是等弧. 問(wèn)題“CE∶DE”提醒我們要找含CE、DE在內(nèi)的相似三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本章的知識(shí)覆蓋面較大，這就要同學(xué)們不僅能掌握?qǐng)A的基本知識(shí)，還能綜合運(yùn)用圓與直線型圖形的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題.對(duì)于這一類(lèi)綜合性比較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，同學(xué)們要抓住已知條件進(jìn)行聯(lián)想，得到一些結(jié)論，同時(shí)也要把未知向已知轉(zhuǎn)化，這樣就能一步步突破.

2. 直線與圓的位置關(guān)系有3種.

設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則

直線與圓相交？圳0≤d

直線與圓相切？圳d=r，

直線與圓相離？圳d>r.

其中，相切是3種位置關(guān)系中最特殊的一種，下面就切線的性質(zhì)和判定作進(jìn)一步學(xué)習(xí)與拓展.

【解析】連接OA，∵PA是⊙O的切線，我們可得△OAP是直角三角形，由勾股定理得OA=10 cm，

∴⊙O的周長(zhǎng)為2πr=20π，

∴選項(xiàng)C正確.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或說(shuō)理的常見(jiàn)輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題.

例4 如圖9，AD平分∠BAC，P是AD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，以P為圓心，PE長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，請(qǐng)判斷AB與⊙P的位置關(guān)系并說(shuō)明理由.

【解析】AB與⊙P相切.

例5 （2013·山東菏澤）如圖11，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，取CD的中點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.試說(shuō)明：AP是⊙O的切線.

【解析】如圖12，由于A在圓上，那么我們可以連接OA，說(shuō)明∠OAP=90°，即OA⊥AP，則AP是⊙O的切線.

理由：連接AC、AO，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，∠CAD=90°，

∵在△ADC中，∠CAD=90°，E為CD的中點(diǎn)，

∴AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，

∴∠EAC+∠OAC=∠ECA+∠OCA，即∠OAE=∠OCE.

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，即∠OCE=90°，

∴∠OAE=90°，即OA⊥AP且AP過(guò)半徑OA外端A，

∴AP是⊙O的切線.

【點(diǎn)評(píng)】例4、例5都是考查圓的切線，但思路完全不同.例5：已知直線和圓的交點(diǎn)A，則連接圓心和交點(diǎn)，說(shuō)明“垂直”即可；例4：沒(méi)有直線和圓的交點(diǎn)，則要過(guò)圓心作此直線的垂線段，說(shuō)明這條垂線段的長(zhǎng)（即圓心到這條直線的距離d）等于這個(gè)圓的半徑r.

變式4 （2015·遼寧大連）如圖13，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB.過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，與AC的延長(zhǎng)線相交于E，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.試說(shuō)明：EF與⊙O相切.

【解析】如圖14，由于點(diǎn)D在⊙O上，要說(shuō)明EF與⊙O相切，只要連接OD，說(shuō)明OD⊥EF即可.

變式練習(xí) （2015·江蘇泰州）如圖15，△ABC 中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.試說(shuō)明：DF是⊙O的切線.

圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形、軸對(duì)稱(chēng)圖形，圓還具有繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與它自身重合的性質(zhì).利用圓的這些性質(zhì)，可以得到本章很多的結(jié)論，本文重點(diǎn)研究了“圓周角定理”和“直線與圓的位置關(guān)系——相切”兩個(gè)重要的結(jié)論，同學(xué)們只有熟練掌握了這些基本的性質(zhì)，才能靈活運(yùn)用它們解決圓的性質(zhì)及其他知識(shí)的綜合題.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）