曾小平 劉長紅

國際數(shù)學與科學教育成就趨勢研究（The Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱TIMSS），是由國際教育成就評價協(xié)會（The International Association for the Evaluation of Educational Achievement，簡稱IEA）組織的大型國際教育評價研究項目。該研究的目的在于，評價各國中小學數(shù)學與科學教育成就的發(fā)展趨勢，研究各國數(shù)學與科學教育成就同文化背景、教育制度等影響因素的關系，幫助各國提升數(shù)學和科學教育質量。

TIMSS自1995年起，每4年進行一次，第五次已于2011年完成[1];第六次將于2015年進行，主要針對四年級、八年級學生進行。下面我們對TIMSS 2015數(shù)學評價框架（TIMSS 2015 ?Mathematics Framework[2]）中四年級的數(shù)學內容作詳細介紹，相信對數(shù)學教育評價會有所啟發(fā)。

一、TIMSS數(shù)學評價概要

TIMSS認為數(shù)學教育對學生的發(fā)展極為重要，所有的孩子都能從學習與形成堅實的數(shù)學技能中獲益。因為學習數(shù)學可以提高他們解決問題的技能，并培養(yǎng)他們的恒心與毅力。數(shù)學是日常生活中計算、理財和建筑等活動的工具，同時也是工程、建筑、會計、銀行、商業(yè)、醫(yī)藥、生態(tài)和航空航天等諸多職業(yè)的基礎。此外，在科技發(fā)達的信息社會中，數(shù)學對于經濟與金融來說也是至關重要的。

TIMSS四年級數(shù)學評價框架盡量貼近各參與國家和地區(qū)的數(shù)學課程標準，尤其關注當前的數(shù)學教育研究與改革。比如，美國的“共同核心數(shù)學標準”（Common Core State Standards for Mathematics[3]）、新加坡的“數(shù)學教學大綱”（Mathematics Syllabi）和中國香港的“數(shù)學課程指引”（Mathematics Curriculum Guide）。

TIMSS重點評價基礎知識的掌握和數(shù)學思考的過程。TIMSS 2015四年級數(shù)學重視數(shù)學問題解決的評價，有三分之二的問題考查學生的推理和運用技能。評價包括知識和認知兩個領域，“知識領域”（Content Domains）側重對代數(shù)與幾何的評價，“認知領域”（Cognitive Domains）側重對推理的評價。

二、數(shù)學評價的知識領域

TIMSS 2015四年級數(shù)學評價框架的“知識領域”包含“數(shù)”“幾何形體與測量”和“數(shù)據(jù)呈現(xiàn)”三個區(qū)域，各區(qū)域所占比重分別為50%、35%和15%。其中，“數(shù)”和“數(shù)據(jù)呈現(xiàn)”分別相當于我國數(shù)學課程中的“數(shù)與運算”和“概率與統(tǒng)計”。

（一）數(shù)（Number）

TIMSS 2015認為整數(shù)及其運算是小學數(shù)學的基礎，學生要能夠使用合理的形式進行運算，并能借助運算解決問題。由于物體和數(shù)量并不總是整數(shù)，學生還要認識到，分數(shù)也是計算的基礎，學生要比較熟悉分數(shù)與小數(shù)。此外，代數(shù)知識在小學已有滲透，學生需要理解簡單方程中的未知量，還要初步理解變量之間的相互關系。

在四年級的“數(shù)”領域，TIMSS 2015重點評價“數(shù)與運算”中基礎知識的理解與基本技能的掌握，該領域由“整數(shù)”“分數(shù)與小數(shù)”和“符號、方程和關系”三個部分構成，評價比重分別為25%、15%和10%。

1.整數(shù)

說明位置值，識別和書寫數(shù)字的拓展形式，能使用文字、語言和符號表征整數(shù);整數(shù)的大小比較;整數(shù)的四則運算;解決特定情境中涉及測量、貨幣和簡單比例等內容的問題;辨認奇數(shù)與偶數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)。

2.分數(shù)與小數(shù)

認識分數(shù)可以表示整體中的某些部分、集合中的某些部分或者數(shù)軸上的一個點，能使用語言、數(shù)字和模型來表征分數(shù);分數(shù)的相等與大小比較，分數(shù)的加減運算（包括在具體問題情境中的加減運算）;用語言、數(shù)字和模型解釋小數(shù)的位值制，小數(shù)的相等與大小比較，小數(shù)的加減運算（包括在具體問題情境中的加減運算）。（注：四年級的分數(shù)只限于分母是2、3、4、5、6、8、10、12的分數(shù)，小數(shù)只限于一位小數(shù)和兩位小數(shù)。）

3.符號、方程和關系

發(fā)現(xiàn)算式中缺失的數(shù)字或者運算符號（比如，確定17+x=29中的x是多少）;使用算式和符號表征未知的問題情境;識別和使用已知模式中的數(shù)量關系（比如，根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出后面一項，進而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律）。

（二）幾何形體與測量（Geometric Shapes and Measures）

TIMSS 2015認為，我們生活在不同形狀與不同大小的物體構成的世界里，幾何有助于我們發(fā)現(xiàn)和理解形狀和大小的關系。學習幾何重在培養(yǎng)空間觀念，學生要能夠按要求畫出幾何圖形，能夠在解決問題中分析和使用幾何關系，學生要會使用工具和儀器來測量長度、角度、面積和體積，并利用公式計算長方形與正方形的周長和面積。

該領域包括“點、線和角”與“平面圖形與立體圖形”兩個部分，僅涉及測量、坐標平面、線和角，還包含物體的體積與表面積。

1.點、線和角

測量與估計長度;識別和畫出平行與垂直的直線;識別、比較和畫出不同類型的角（比如，直角、銳角和鈍角）;利用直角坐標系確定平面上的點。

2.平面圖形與立體圖形

描述和比較圖形的基本屬性（包括線和旋轉對稱性）;確定立體圖形某個側面的形狀特征;計算多邊形的周長和長、正方形的面積，利用密鋪方法估算圖形的面積，利用填充方法估計立體圖形的體積。（注：四年級的平面圖形涉及三角形、四邊形和圓，立體圖形涉及長方體、正方體、圓柱和圓錐。）

（三）數(shù)據(jù)呈現(xiàn)（Data Display）

TIMSS 2015認為，我們置身于信息社會的海量數(shù)據(jù)當中，互聯(lián)網、報紙、雜志、教科書、參考資料和文章等以圖表的形式向我們提供了大量數(shù)據(jù)。四年級學生要能夠面對簡單的情境和給出的數(shù)據(jù)，閱讀和識別各種形式的數(shù)據(jù)。同時，四年級學生還要能夠以圖表的形式組織和表征數(shù)據(jù)，能夠對比數(shù)據(jù)的特征，進而得出合理的結論。

該領域包含一個主題，即“閱讀、解釋和表征”。具體要求是：對統(tǒng)計表、象形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖中提供的數(shù)據(jù)進行閱讀、解釋和表征;挖掘數(shù)據(jù)中隱含的信息來解決問題（比如，在解決問題和執(zhí)行計算中使用數(shù)據(jù)，組合數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)得出結論）。

三、數(shù)學評價的認知領域

TIMSS 2015四年級數(shù)學評價框架的“認知領域”包括“知道”“運用”和“推理”三個層次，各層次所占比重分別為40%、40%和20%。

（一）知道（Knowing）

“知道”層次，涵蓋了學生需要知道的數(shù)學事實、概念和程序。該層次包含“回憶”“辨認”“分類/排序”“計算”“提取”和“測量”六個層級，各層級含義見表1。

表1 “知道”的六個層級

回憶 回憶定義、術語、數(shù)的性質、測量單位、幾何性質和符號。

辨認 辨認數(shù)、表達式、數(shù)量和形狀，辨認數(shù)學上相等的量。比如，辨認相等的分數(shù)、小數(shù)和百分數(shù)，辨認簡單幾何圖形。

分類/

排序 根據(jù)屬性對數(shù)、表達式、數(shù)量和形狀進行分類。

計算 整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)和代數(shù)式的加、減、乘、除運算、混合運算。

提取 從圖像、表格、測量儀器和其他資料中提取數(shù)據(jù)。

測量 選擇測量單位和測量儀器進行測量。

數(shù)學應用的能力和數(shù)學情境的推理，依賴于熟悉的數(shù)學概念和熟練的數(shù)學技能。比如，學生能夠回憶更多的相關知識，能夠明白更廣泛的概念，能夠解決更大范圍的問題。

如果缺少基礎知識、符號表示和空間關系，那么學生很難進行有目的的數(shù)學思維。因為它們是基本的數(shù)學語言、基本的數(shù)學概念、基本的數(shù)學結論和數(shù)學思想的載體。

程序（算法，回憶和執(zhí)行一定行動）架起基礎知識與運用數(shù)學解決問題，尤其是那些人們在日常生活中遇到的問題之間的橋梁。學生需要高效和準確地使用多種計算程序和工具，來解決一般的典型問題，而不只是個別問題。

（二）運用（Applying）

“運用”層次，著重于評價學生運用知識和概念的理解來解決問題或回答問題的能力。該層次包含“確定”“表征/建?！焙汀皩嵤比齻€層級，各層級含義見表2。

表2 “運用”的三個層級

確定 使用通常方法，確定有效的/適當?shù)牟僮?、策略和工具來解決問題。

表征/

建模 利用表格或圖表展示數(shù)據(jù);在問題情境中建立等式和不等式、幾何圖形、圖表建立模型，對數(shù)學圖形和關系進行等價表征。

實施 利用熟悉的概念和程序，實施策略和行動來解決問題。

“運用”層次涉及數(shù)學在一定背景和范圍內的應用，要求學生熟悉數(shù)學事實、概念、程序和問題解決。學生需要借助數(shù)學事實、技能和程序的知識與對數(shù)學概念的理解來進行數(shù)學表征，數(shù)學思想是進行數(shù)學思考和交流的核心，而創(chuàng)造等價表征的能力是在數(shù)學上取得成功的基礎。

解決問題是“運用”的核心，重點是熟悉日常任務。問題可能來源于現(xiàn)實生活，也可能來源于數(shù)學內部，比如數(shù)或代數(shù)表達式、函數(shù)、方程、幾何圖形和統(tǒng)計數(shù)據(jù)等。

（三）推理（Reasoning）

“推理”層次，側重評價學生對非常規(guī)問題的解決方案，比如不熟悉的情況、復雜的環(huán)境和多步驟的問題。該層次包括“分析”“整合/綜合”“評價”“結論”“概括”和“論證”六個層級，各層級含義見表3。

表3 “推理”的六個層級

分析 在數(shù)、表達、數(shù)量和形狀中確定、描述或使用關系之間的關系。

整合/

綜合 聯(lián)系不同知識單元、相關表征和程序來解決問題。

評價 評價解決問題的不同策略和方案。

結論 在信息和證據(jù)的基礎上做出有效的結論。

概括 得到更一般的或者更廣泛的結論。

論證 為方法和策略提供數(shù)學支持。

“推理”需要邏輯性和系統(tǒng)性思維，它包括：基于模式和規(guī)律的直覺與演繹推理;在新穎的或者陌生的情境下尋找解決現(xiàn)實問題或者純粹數(shù)學問題的方案。這兩種情況都需要轉換知識與技能以面對新的情境，而推理是其中的共同特點。

“推理”中列舉的很多認知技能都會在思考和解決新穎的或者陌生的問題中表現(xiàn)出來。這是數(shù)學教育價值的外在表現(xiàn)，然而更多的是對學習者思維的內在影響。比如，推理不僅需要觀察和猜想能力，還需要基于特定假設、規(guī)則和正確結果的邏輯演繹推理能力。

四、四年級數(shù)學的評價樣題

在TIMSS 2015數(shù)學評價框架的“附錄”中，給出了一些評價樣題。通過這些樣題，我們可以更好地了解TIMSS 2015四年級數(shù)學評價的形式、理念與重點。

1.如圖1所示，某人以固定的速度從A地騎車去B地，2小時后她來到一個路牌前。此人以同樣的速度騎車，再有多長時間可以到達B地？（）

圖1

A. 小時 ? ? ? B.2小時 ? ? ? C.3小時 ? ? ? D.3小時

2.某人有12個蘋果，她吃了一些，還剩下9個。下面哪個算式更能夠表達這件事情？（）

A.12+9=□ ? ? ? ? ?B.9=12+□

C.12-□=9 ? ? ? ?D.9-□=12

3.甲吃了塊蛋糕，乙吃了塊蛋糕，他們一共吃了多少蛋糕？

答案_______。

4.下面選項中，哪一個折疊之后，能成為右邊的盒子？（ ? ）

5.如圖2所示，某人在墻角堆了一些盒子，每個盒子的大小都是一樣的。他一共用了多少個盒子？ （ ? ）

圖2

A.25 ? ? ? B.19 ? ? ? C.18 ? ? ? D.13

6.某人調查了她的朋友們最喜歡的顏色，得到了以下信息（見表4）。然后，她畫出圖來表示這些信息，請幫助她把圖畫完。

表4 最喜歡的顏色統(tǒng)計圖表

顏色 最喜愛

的人數(shù)

紅 4

綠 2

藍 6

黃 7

（參考答案1.C;2.C; 3.?塊; 4.D ;5. C;6.略 。）

通過這些樣題，我們可以體會到TIMSS 2015四年級數(shù)學評價的側重點是：重視對學生問題解決過程的評價，重視評價學生數(shù)學推理和數(shù)學運用的能力，重視評價學生基礎知識的掌握和數(shù)學思考的過程。

【參考文獻】

[1]曾小平等. TIMSS2011數(shù)學評價：“框架”“結果”與“啟示”[J]. 數(shù)學教育學報，2013，22（6）：79-84.

[2] TIMSS 2015 Mathematics Framework [EB/OL]. http：//timssandpirls.bc.edu/timss2015/frameworks.html.

[3] 曾小平，劉效麗. 美國“共同核心數(shù)學課程標準”的背景、內容、特色與啟示[J]. 課程·教材·教法，2011，31（7）：92-96.

（首都師范大學初等教育學院 ? 100048）