葉麗芳

概念是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)。對(duì)它的理解和掌握，關(guān)系到學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)，關(guān)系到學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)。近年來(lái)，就如何有效開展概念教學(xué)，不少一線教師進(jìn)行了有益的探索，但在日常教學(xué)中，仍然會(huì)存在著一些問(wèn)題，如只重視動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)相關(guān)對(duì)象的性質(zhì)，卻忽視動(dòng)腦推理；只習(xí)慣用“例——規(guī)法”，卻難見“規(guī)——例法”；只重視概念本身的理解，卻忽視概念的橫向聯(lián)系；只重視生活聯(lián)系，卻忽視知識(shí)之網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)。本文就這些誤區(qū)作一定的梳理，并就如何改進(jìn)教學(xué)作一些探討。

誤區(qū)之一：只重視操作發(fā)現(xiàn)，卻忽視利用概念動(dòng)腦推理

眾所周知，小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不應(yīng)簡(jiǎn)單地以嚴(yán)格的定義作為直接的出發(fā)點(diǎn)展開教學(xué)，而應(yīng)高度重視概念的形成過(guò)程，由此，動(dòng)手操作活動(dòng)的安排似乎成了必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié)。但如果只是片面強(qiáng)調(diào)通過(guò)學(xué)生主動(dòng)動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)相關(guān)對(duì)象的性質(zhì)，而忽視從概念出發(fā)動(dòng)腦推理，勢(shì)必會(huì)影響學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的深入理解，造成推理能力的缺失。

【例1】“圓的性質(zhì)”教學(xué)

教師布置任務(wù)：①在圓的紙片上畫一些半徑和直徑；②通過(guò)折一折、量一量，想一想圓的半徑和直徑有什么特點(diǎn)。

學(xué)生活動(dòng)后得出：同圓（等圓）半徑相等；同圓（等圓）直徑相等；直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條；同圓（等圓）直徑是半徑的2倍。

【分析與建議】教師的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，自然地發(fā)現(xiàn)圓的有關(guān)特性。其優(yōu)點(diǎn)是通過(guò)動(dòng)手操作，學(xué)生能很快得出圓的半徑和直徑的一些性質(zhì)。但這樣的操作學(xué)生扮演的角色是“操作工”，無(wú)助于思維能力的提升。因此，在動(dòng)手操作環(huán)節(jié)的安排中，教師應(yīng)處理好“動(dòng)手”與“動(dòng)腦”的關(guān)系，如果通過(guò)“動(dòng)手”可以促進(jìn)“動(dòng)腦”，那么這樣的“動(dòng)手”就應(yīng)提倡；如果通過(guò)“動(dòng)手”對(duì)“動(dòng)腦”沒有多大的幫助，那么可以放棄“動(dòng)手”，重在學(xué)生的“動(dòng)腦”，切實(shí)促進(jìn)學(xué)生由單純的操作經(jīng)驗(yàn)向相關(guān)知識(shí)深刻理解的轉(zhuǎn)變。筆者認(rèn)為，要得出圓的半徑和直徑的特點(diǎn)，可以進(jìn)行這樣設(shè)計(jì)：①通過(guò)什么是圓的討論，得出圓的定義——當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡叫作圓（可以用學(xué)生的語(yǔ)言描述 ）；②由圓的定義推理出相關(guān)性質(zhì)。這樣不僅能加深學(xué)生對(duì)圓的理解，還能促進(jìn)學(xué)生推理能力的提高。

誤區(qū)之二：只習(xí)慣用“例——規(guī)法”，卻難見“規(guī)——例法”

提供范例的方法有兩種。一種是例——規(guī)法，即先向?qū)W生呈現(xiàn)某個(gè)概念的正例和反例，然后要求他們總結(jié)歸納出一個(gè)定義。另一種是規(guī)——例法，即先給學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)定義，接著呈現(xiàn)幾個(gè)正例和反例。有些概念的教學(xué)如果只采用例——規(guī)法，將會(huì)導(dǎo)致課堂教學(xué)低效。

【例2】“面積”的概念教學(xué)

“面積”這一概念的教學(xué)，一般都是采用例——規(guī)法，即先通過(guò)比較兩本書的封面、老師與學(xué)生手掌面以及一些平面圖形的大小，再讓學(xué)生找一找、摸一摸、比一比身邊某兩個(gè)物體表面的大小，進(jìn)而歸納出面積的概念。按照這樣的教法，從表面上看課堂熱鬧，學(xué)生興趣濃厚，但深入調(diào)查其教學(xué)效果令人震驚。

調(diào)查內(nèi)容：比較下面兩個(gè)圖形的面積大?。ㄒ妶D1）。

圖1

是比什么？請(qǐng)用涂色表示。調(diào)查結(jié)果：全班49人，只有23人做對(duì)，得分率為46.9%。

【分析與建議】為什么面對(duì)保底的題目，得分率還不到50%呢？究其原因，主要是學(xué)生在眾多例子的體驗(yàn)中，所得到的對(duì)面積“大小”的認(rèn)識(shí)與周長(zhǎng)的“多少”混淆，根本沒有與面積概念中的“大小”對(duì)接。筆者認(rèn)為，當(dāng)學(xué)生對(duì)例子的體驗(yàn)所得與概念的內(nèi)涵聯(lián)系的緊密度較低時(shí)，不宜采用“例——規(guī)法”，而應(yīng)采用“規(guī)——例法”，或把兩種方法結(jié)合成為“規(guī)——例——規(guī)法”，其教學(xué)效果較為理想。同樣以“面積”的概念教學(xué)為例，可以這樣進(jìn)行設(shè)計(jì)：①讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)什么是面積（說(shuō)不到位時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生看書）；②說(shuō)說(shuō)給定的一些物體或平面圖形的面積指的是什么；③通過(guò)對(duì)恰當(dāng)題目的練習(xí)，讓學(xué)生明晰周長(zhǎng)與面積的區(qū)別。這樣的設(shè)計(jì)不僅使學(xué)生明確面積是什么不是什么，還與當(dāng)前提倡的“以學(xué)生為中心”的理念相一致。

誤區(qū)之三：只重視概念本身的理解，卻忽視概念的橫向聯(lián)系

通常情況下，每當(dāng)概念呈現(xiàn)后有一個(gè)理解概念的教學(xué)環(huán)節(jié)。就目前而言，不少的概念課只關(guān)注對(duì)概念本身的理解，很少通過(guò)對(duì)概念間的橫向聯(lián)系的比較達(dá)到加深理解概念的目的。

【例3】“體積概念”教學(xué)

師：在“物體所占空間的大小，叫作物體的體積”這一句話中，關(guān)鍵詞是什么？

生：物體、空間、大小。

教師在相應(yīng)的詞下加圈后，讓學(xué)生讀一讀概念。先是生1讀，再是生2讀，然后是齊讀。接下來(lái)的教學(xué)中，就理解體積概念而言，除了通過(guò)教材上的兩道練習(xí)：“1.一團(tuán)橡皮泥，小明第一次把它捏成長(zhǎng)方體，第二次捏成球，捏成的兩個(gè)物體體積哪個(gè)大？為什么？2.用枚數(shù)相等的硬幣分別疊成下面的形狀（見圖2），哪個(gè)體積大？為什么？”之外，還有一道體積與容積不同點(diǎn)的比較的題目。

一元硬幣 一角硬幣 一元硬幣

圖2

【分析與建議】 案例中就理解體積概念的途徑而言，教師只局限于體積概念本身的變式、抓關(guān)鍵詞和讀一讀，就橫向聯(lián)系而言只與容積不同點(diǎn)的比較。用這樣的教學(xué)方式來(lái)理解概念還是膚淺的，勢(shì)必會(huì)影響學(xué)生對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)。教師應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到幫助學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)各個(gè)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，有利于學(xué)生通過(guò)已知概念掌握新概念，通過(guò)新概念的學(xué)習(xí)加深對(duì)已知概念的理解，從而促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)“點(diǎn)成線”“線成網(wǎng)”，真正建立起對(duì)知識(shí)的“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)”。筆者認(rèn)為，體積概念理解的教學(xué)，除了保留上述教學(xué)中的兩道練習(xí)以及與容積不同點(diǎn)的比較外，還應(yīng)增加一個(gè)這樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容：

有人說(shuō)“立體圖形中體積與表面積的關(guān)系，就像平面圖形中面積與周長(zhǎng)的關(guān)系”，你覺得這個(gè)說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)用文字或畫圖說(shuō)明。

通過(guò)對(duì)這一問(wèn)題的思考讓學(xué)生體會(huì)到，周長(zhǎng)是平面圖形邊界的長(zhǎng)度，面積是邊界所圍成的平面圖形內(nèi)部的大小；表面積是物體的邊界大小，體積是物體表面所圍成的該物體內(nèi)部的大小。

又如，對(duì)體積單位1立方厘米的理解，除了找到理想的生活原型外，應(yīng)與長(zhǎng)度單位1厘米和面積單位1平方厘米進(jìn)行異同比較（見圖3，當(dāng)然這種比較可以安排在學(xué)了長(zhǎng)方體的體積后進(jìn)行）。

通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)，不僅使學(xué)生體會(huì)到從長(zhǎng)度單位到面積單位再到體積單位，是一維到兩維再向三維的轉(zhuǎn)變，還使學(xué)生理解了面積單位為什么有平方，而體積單位為什么有立方的原因所在。

誤區(qū)之四：只重視概念的生活應(yīng)用，卻忽視知識(shí)之網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)

“數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，又到生活中去。”這句話已成為一些教師的口頭禪，更有甚者把是否利用概念解決生活中的實(shí)際問(wèn)題作為衡量一節(jié)課好壞的標(biāo)準(zhǔn)之一。筆者并不反對(duì)利用數(shù)學(xué)的概念解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象、解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題，反對(duì)的是只關(guān)注概念在日常生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，而忽視知識(shí)之網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的功能之傾向。

【例4】“比的認(rèn)識(shí)”教學(xué)

為了使學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)“比”的必要性以及“比”與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，教師先是讓學(xué)生解決5張照片（其中3張的長(zhǎng)與寬的比相同，2張不相同）像與不像的問(wèn)題，再是讓學(xué)生根據(jù)馬拉松選手長(zhǎng)跑的有關(guān)信息、購(gòu)物的有關(guān)信息填表，從而引出比的概念。練習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生根據(jù)圖片說(shuō)一說(shuō)甘蔗汁與水的體積比和樹高與影長(zhǎng)的比后，聯(lián)系生活實(shí)際說(shuō)說(shuō)“1∶4”的含義。小結(jié)時(shí)教師問(wèn)學(xué)生：“為什么要學(xué)習(xí)比？”有的學(xué)生說(shuō)“比”可以解決像與不像的問(wèn)題，有的學(xué)生說(shuō)樹高與影長(zhǎng)中有“比”……

【分析與建議】 上述案例告訴我們，學(xué)習(xí)“比”的價(jià)值如果只局限于日常生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，看似重視培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，實(shí)際上與課標(biāo)所倡導(dǎo)的“應(yīng)用意識(shí)”的含義相差甚遠(yuǎn)。“我們應(yīng)注意防止各種簡(jiǎn)單化的理解，特別是認(rèn)為所說(shuō)的作用必定是指相關(guān)概念在日常生活中的應(yīng)用；恰恰相反，這是數(shù)學(xué)概念（乃至一般概念）的一個(gè)主要作用，即為人們具體地認(rèn)識(shí)世界、分析問(wèn)題提供了必要的概念框架（這也正是“知識(shí)之網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)”的主要含義）?！惫P者認(rèn)為，通過(guò)“比的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)，除了讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)“比”的價(jià)值不僅在于與生活實(shí)際有密切的聯(lián)系，還在于解決除法與分?jǐn)?shù)不能解決的問(wèn)題：除法體現(xiàn)了運(yùn)算的過(guò)程，分?jǐn)?shù)表達(dá)是運(yùn)算的結(jié)果，而“比”關(guān)注的是兩個(gè)量之間的關(guān)系，它不僅包括兩個(gè)同類量的倍數(shù)關(guān)系，也包括不同類量比的關(guān)系。事實(shí)上，不同類兩個(gè)量的關(guān)系是難以用除法和分?jǐn)?shù)表示的。后者應(yīng)該是學(xué)習(xí)“比”的主要價(jià)值所在。作為教師還應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到，學(xué)習(xí)“比”的作用遠(yuǎn)不止這些，如“比”的教學(xué)可以看成是在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透“函數(shù)觀念”的良好“節(jié)點(diǎn)”。

（浙江衢州市衢江區(qū)云溪鄉(xiāng)中心小學(xué) 324016）