潘志偉

摘 要： 函數(shù)問題是初中數(shù)學基礎知識的重要組成部分，也是每年中考必考的一大熱點.本文通過例題分析，結(jié)合函數(shù)的知識范疇，對初中函數(shù)常用的思想方法作歸納.

關鍵詞： 函數(shù) 例題 思想方法

函數(shù)問題是初中數(shù)學基礎知識的重要組成部分，也是每年中考必考的一大熱點.其中蘊含的思想方法極為豐富，對學生觀察、分析、解決問題的能力都有十分明顯的提升作用.初中函數(shù)介紹了有關函數(shù)的一些最基礎、最初級的知識，為學習高中函數(shù)知識打下了堅實的基礎.本文結(jié)合初中函數(shù)的知識范疇，對解函數(shù)題常用的思想方法作簡單的歸納及應用.

一、待定系數(shù)法

該方法主要用于求一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的解析式.它的一般步驟是（一設、二列、三解、四還原）：（1）先設待求函數(shù)關系式，其中包括未知的系數(shù).（2）把自變量與函數(shù)的對應值代入函數(shù)關系式中，得到關于待定系數(shù)的方程或方程組.（3）解方程（組）求出待定系數(shù)的值.（4）寫出函數(shù)關系式.例如已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（-1，1）和點（1，-5），求這個函數(shù)的解析式.簡析：本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.解：設所求函數(shù)關系式為：y=kx+b由題意，得1=-k+b-5=k+b.解這個方程組，得k=-3b=-2，這個函數(shù)解析式為：y=-3x-2.點評：用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式或待定系數(shù)是每年中考考查的一大熱點，它的解題思路就是按四個步驟進行.

二、數(shù)形結(jié)合法

該方法主要用于解答含有幾何圖形的函數(shù)題，這種類型的函數(shù)題最大的特點是數(shù)形結(jié)合，即用代數(shù)的方法研究幾何問題.例如（2006年泉州中考18題）如左圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC的長為常數(shù)，點P從起點C出發(fā)，沿CB向終點B運動，設點P所走過路程CP的長為x，△APB的面積為y，則下列圖像能大致反映y與x之間的函數(shù)關系的是（？搖 ？搖）

簡析：解決本題的關鍵是讀懂圖意，表示出y與x的關系式，從而判斷圖像的形狀.

解答：設BC的長度為常數(shù)k，則y=■×2×k-■×2x=k-x，那么此函數(shù)為一次函數(shù)，因為x系數(shù)小于0，所以應是減函數(shù).故選C.點評：把幾何圖形放在平面直角坐標系中，將函數(shù)的概念與幾何知識巧妙結(jié)合，解這種類型的函數(shù)題，常用數(shù)形結(jié)合法，這種方法常常用化“虛”為“實”，化“難”為“易”.

三、配方法

對于任何一個二次函數(shù)都可以通過配方法把原來的二次函數(shù)通過配方變成頂點式y(tǒng)=a（x-h）■+k的形式，則得到頂點坐標（h，k），對稱軸直線x=h；若a>0，函數(shù)y有最小值k；若a<0時，函數(shù)y有最大值為k.例如某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進價為每箱40元，生產(chǎn)廠家要求每箱售價在40元～70元之間.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每箱發(fā)50元銷售，平均每天可售出90箱，價格每降低1元，平均每天多銷售3箱；價格每升高1元，平均每天少銷售3箱.（1）寫出售價x（元/箱）與每天所得利潤w（元）之間的函數(shù)關系式；（2）每箱定價多少元時，才能使平均每天的利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）依題意得：y=（x-40）[90+3（50-x）]或y=（x-40）[90-3（x-50）]；（2）由（1）得：y=（x-40）[90+3（50-x）]=-3x■+360x-900=-3（x-60）■+1200，∵a=-3<0拋物線開口向下，又40

四、分類討論法

該方法解函數(shù)題的關鍵在于列出函數(shù)關系式，再進行分類討論.

例如：甲、乙兩旅行社服務質(zhì)量相同，組織旅游去A地價格是每人400元，如果10人以上集體購票，甲旅行社給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社在優(yōu)惠320元的基礎上，每人享受8折優(yōu)惠.試分別列出甲、乙兩集體組團去A地的總收費用y（元）與參游人數(shù)x（人）的函數(shù)關系式，并幫助選擇哪家旅行社的總費用較少.解：依題意得y■=400×0.75x即y■=300x，y■=400×0.8x-320即y■=320x-320，分類討論：①當y■=y■時，解得x=16；②當y■>y■時，解得x<16；③當y■16，所以，當游客人數(shù)為16人時，選擇甲或乙兩旅行社費用相同；當游客人數(shù)在10—15人時，應選擇乙旅行社；當游客人數(shù)多于16人時，應選擇甲旅行社.點評：用分類討論法解函數(shù)題一般分三步：第一，根據(jù)題目需要確定分類討論的對象；第二，針對討論對象進行合理的分類討論；第三，對討論結(jié)果進行歸納合并，綜合得出結(jié)論.

五、跨學科聯(lián)系滲透法

該方法主要用于解決跨學科的函數(shù)問題.這種類型的函數(shù)題常與物理、化學進行有機滲透，體現(xiàn)了數(shù)學作為工具學科的本質(zhì)特征.

例如：已知二氧化碳的密度p（kg/m■）與體積V（m■）的函數(shù)關系式是p=■.求當V=5m■時，二氧化碳的密度p，并說明二氧化碳的密度p隨體積V的增大或減小而變化的情況，簡析：這是一題應用反比例函數(shù)性質(zhì)與物理相結(jié)合應用題.解：依題意得p=■=1.98（kg/m■），∵k>0，∴當CO■體積增大密度減小，體積減小密度增大.點評：跨學科函數(shù)題的關鍵是熟練進行學科知識聯(lián)系，解決相應跨學科問題的知識間的相互滲透.

總之，函數(shù)問題是歷屆中考的重要考點，解函數(shù)題的思想方法還有很多，如取特殊值法、函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化法等.本文歸納了一些常見的基本思想方法，這些方法必須掌握好.