楊敏欣

摘 要： 不等式是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，不等式的證明蘊涵著豐富的數(shù)學思想方法.不等式作為高中數(shù)學的重點、難點內(nèi)容之一，是培養(yǎng)學生探究思維能力的好材料，因而是數(shù)學高考命題的熱點.本文針對高三數(shù)學不等式復(fù)習中證明與求解不等式的方法容易出現(xiàn)的問題提出注意點.

關(guān)鍵詞： 不等式 均值不等式 三角換元 反證法 函數(shù)的單調(diào)性

一、利用均值不等式求解不等式

均值不等式在高中數(shù)學的應(yīng)用比較廣泛，常用于求函數(shù)的最值，或者應(yīng)用于不等式的證明.解題思路比較明確，因為公式的應(yīng)用主要是原式或者是它們的變式，所以比較好下手，但是在解題中一定要注意公式自身所隱含的條件.在利用公式求函數(shù)的最值時特別是要滿足“一正，二定，三相等”這句話.即第一個條件是兩個數(shù)都應(yīng)該是正數(shù)；第二個條件是和或是積要定值，不能含有跟自變量有關(guān)的參數(shù)；第三個條件是在函數(shù)取到最值時能夠取到等號，也就是相應(yīng)的自變量能取得到.看以下一個例題.

例1：已知x，y>0，x+y=1，求■+■的最小值.

上述是一道非常典型的題目，上過高三老師在不等式復(fù)習時也都會把它重新再拿來講一遍.很多學生在做題過程中很容易出現(xiàn)套公式的現(xiàn)象，常會出現(xiàn)以下錯誤：

∵x+y≥2■∴xy≤（■）■=■，∴■+■≥2■≥4■.

問題出在哪里呢？很多學生一時查不出來.后面老師提醒了一下很多學生就知道原因了：不等式取不到等號，上述解題過程中用到兩次均值不等式，但是兩次的x，y取不到相同的值.故最小值不是4■.正解如下：

■+■=（x+y）（■+■）=3+■+■≥3+2■=3+2■，此時當且僅當■=■，x=■-1，y=2-■時，取到最小值.

二、利用反證法證明不等式

反證法，它是從反面的角度思考問題，即肯定題設(shè)否定結(jié)論，從否定的結(jié)論出發(fā)導出矛盾，從而最終肯定命題是正確.反證法是高中數(shù)學不等式中常用的方法之一，它是直接證明不易下手，此時應(yīng)該考慮的是“正難則反”的原則，從反面的角度進行推理.它常用于以下證明：

（1）難于直接使用已知條件導出結(jié)論的命題；

（2）唯一性命題；

（3）“至多”或“至少”性命題；

（4）否定性或肯定性命題.

例2：已知x，y>0，x+y>2，試證：■，■中至少有一個小于2.

分析：要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯.直接由條件推出結(jié)論不夠清晰.另外，如果從正面證明，需要對某一個分式小于2或兩個分式都小于2等進行分類討論，而從反面證明，則只要證明兩個分式都不小于2是不可能的即可.于是考慮用反證法.

證明：假設(shè)■，■都不小于2，即■≥2，且■≥2因為x，y≥0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，把這兩個不等式相加得，2+x+y≥2（x+y），從而x+y≤2.

這與已知條件x+y>2矛盾.因此，■，■都不小于2是不可能的，即原命題成立.

三、利用三角換元解證不等式

有些不等式證明問題中，含有一些特殊的條件及特殊的運算關(guān)系.這些條件或運算關(guān)系恰好滿足三角關(guān)系，則可以采用三角代換證明.常見的換元形式有（1）x■+y■=a■，可令x=acosθ，y=asinθ；（2）x■+y■≤1，可令x=tcosθ，y=tsinθ（|t|≤1）.

例3：已知x■+y■=1，求證：|x■+2xy-y■|≤■.

分析：本題中，由x■+y■=1可聯(lián)想到三角換元公式：sin■θ+cos■θ=1，進行三角換元證明.

證明：令x=sinθ，y=cosθ，則

|x■+2xy-y■|=|cos■θ+2sinθcosθ-sin■θ|

=|cos2θ+sin2θ|=■|sin（2θ+■）|≤■

故命題得證.

例4：已知x■+y■=1，m■+n■=4，求mx+ny的最大值.

分析：很多學生首先會想到用公式：ab≤■，因而會有如下解法：mx≤■，nx≤■，把這兩個不等式相加就得到

mx+ny≤■+■=■=■，從而得到它的最大值是■.

解題過程錯在哪里呢？這也是很多學生會忽略的一個問題：就是等號取不到，因而它的最大值不是■，這種類型題還是應(yīng)該考慮三角換元或是用柯西不等式求解.

正解：令x=cosα，y=sinα；m=2cosβ，n=2sinβ，則mx+ny=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（α-β）≤2.

當然本題用柯西不等式也很簡單，這邊不再說明.

四、利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的最值

在求解不等式的過程中往往會出現(xiàn)一些題目直接用公式或是其他方法不易得出結(jié)論，甚至得出的結(jié)論是錯誤的.這時可以考慮構(gòu)造函數(shù)通過證明函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，問題往往會迎刃而解.

例5：求函數(shù)f（x）=■的最小值.

分析：本題很多學生第一個想到的還是會用均值不等式進行求解，先把它拆成f（x）=■+■≥2，從而得到最小值是2的錯誤答案.主要也是錯在等號取不到的原因.這時可以考慮構(gòu)造函數(shù)，通過證明函數(shù)的單調(diào)性進行求解.

解：令f（t）=t+■（t≥2），令t■>t■≥2

f（t■）-f（t■）=（t■+■）-（t■+■）=■>0，

∴f（t）在[2，+∞）上是增函數(shù).∴f（t）■=f（2）=■，此時x=0.

不等式的證明方法和求解方法不只上面所談到的這幾種，還有很多.只要我們平時多注意收集，多做歸納，多做觀察，多做比較，多做反思，在高三數(shù)學總復(fù)習中才會有的放矢，事半功倍.

參考文獻：

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[2]郭慧清.一類分式不等式的新證法[J].數(shù)學通報.

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[4]余元希，田萬海，毛宏德.初等代數(shù)研究.高等教育出版社.

[5]曹鳳山.利用基本不等式的變化證明分式不等式[J].數(shù)學通報.