Kevin Knudson

數(shù)學(xué)家及諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者約翰·納什在5月23日的一次車禍中去世，享年86歲。他的妻子艾莉西亞當(dāng)時與他在一起，同樣沒能從這車禍中幸存。納什一家當(dāng)時正從挪威返回在普林斯頓的家。在挪威，納什（與Louis Nirenberg一起）被授予今年的阿貝爾獎（數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎）。

感謝《美麗心靈》，由Sylvia Nasar撰寫的納什傳記，以及由Russell Crowe主演的電影版，使得納什成為少數(shù)在學(xué)術(shù)圈以外被熟知的數(shù)學(xué)家。大眾會記得納什的精神疾病以及最后他從精神分裂癥中康復(fù)過來的故事。但納什的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過傳記的好萊塢版本。他的同行將他的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，尤其是非合作博弈（這工作使得他獲得諾貝爾獎）列為20世紀(jì)最偉大的經(jīng)濟(jì)學(xué)想法之一。

納什在博弈論方面的工作最廣為人知。一個游戲或者說博弈包含兩個或以上的“玩家”。玩家會受到獎勵或處罰取決于所有參與者的表現(xiàn)。有些游戲被稱為零和博弈，指的是一個玩家得到的是另一個玩家的所失去的。納什的工作可以應(yīng)用到非合作博弈中。在這種情況下，玩家可以在不影響其他玩家的前提下單方面地改變策略來增加（或減少）自己的收益。

這樣游戲的典型例子是基本的囚徒困境。兩個囚犯被拘捕并拘留在分開的牢房中，他們無法互相交流。執(zhí)行者們沒有足夠的證據(jù)來證明他們在主要的控訴上有罪，但他們可以認(rèn)一個更輕的罪，從而只蹲一年牢房。囚徒們被提供了這樣一個交易：做對另一個囚徒不利的聲明（即背叛）并無罪釋放，而因此另一人需服刑3年。然而，如果兩人都背叛對方，他們將服刑2年。如果他們都沒背叛對方（即他們合作了），則兩人都會獲得更輕的定罪并只服刑1年。結(jié)果可以被歸納到一個結(jié)局矩陣中。

納什發(fā)現(xiàn)任何這樣的游戲都有一個策略，這一策略被稱為納什均衡。任何一個玩家脫離平衡點(diǎn)的單方面策略改變都將會導(dǎo)致對于該玩家更壞的結(jié)局。在囚徒困境的情形中，有兩個這樣的均衡點(diǎn)，結(jié)局矩陣的左上角與右下角。確實(shí)，對于右下角的情況，如果任何玩家單方面地改變他的策略并決定不背叛，他將增加自己的服刑時間。這個例子特別使人煩惱，因為左上角的策略顯然是適用于囚犯最好的方式（他們應(yīng)保持沉默），但純理性的玩家會在右下角的位置結(jié)束。

博弈論在諸多領(lǐng)域有所應(yīng)用，包括經(jīng)濟(jì)學(xué)和政治科學(xué)。國際關(guān)系中的許多方案可以作為非合作博弈的模型。比如，二戰(zhàn)中核計劃的發(fā)展可以作為類似囚徒困境的模型。其中兩方都決定獲得原子彈以免對方也會這樣做。當(dāng)然，這會導(dǎo)致核武器數(shù)量的大規(guī)模擴(kuò)張這樣一個不那么令人滿意的結(jié)果，相當(dāng)于兩個囚徒都背叛了的情景。

盡管納什是以他在博弈論上的工作為全球所熟知，大多數(shù)學(xué)家認(rèn)為他在黎曼流形嵌入理論上的成果是最具革新意義的。在這個幾何分支里， n-流形是局部可以看成n維歐式空間（我們熟悉的典型3維空間就構(gòu)成一個3維歐式空間）的空間。例如，一個曲面，比如球面或空心的甜甜圈，是個2-流形，因為曲面上的任意一點(diǎn)周圍都能畫出這樣的一塊區(qū)域：對于站在該點(diǎn)的小蟲，這塊區(qū)域就像一個2維平面（因此古人認(rèn)為地球是平的）。

如果一個流形存在一種全局一致的方法來定義某個點(diǎn)上與流形相切的矢量之間的夾角，這個流形就被稱為黎曼流形。特別的，這使得我們可以定義流形上兩點(diǎn)之間的距離并找到嵌在流形內(nèi)曲線的長度。定義了通常的角度和距離的歐式空間就是最簡單的例子。

現(xiàn)在試著想象把一個抽象的黎曼流形放到一個歐式空間中。你可能需要把它扭曲或者做各種奇怪的操作從而導(dǎo)致流形上切向量之間的夾角發(fā)生改變。納什-柯伊伯嵌入定理斷言我們可以解決這個問題，即我們可以找到n維黎曼流形浸入n+1維歐式空間的保角的實(shí)現(xiàn)方法。接下來你可以利用由歐式空間繼承而來的黎曼結(jié)構(gòu)更容易地計算出流形上點(diǎn)之間的距離。

這可能聽起來沒那么驚天動地，但這個問題已經(jīng)煩惱了數(shù)學(xué)家們超過了一個世紀(jì)。研究過“地圖”的人都知道，所需要的歐式空間的維數(shù)不能比n+1更小，比如球面就不能在不改變角度的情況下展開成一個平面。

納什定理有許多反直覺的推論。比如，它指出任何2維閉曲面可以在任意小的3維球體中實(shí)現(xiàn)。

納什還發(fā)明了一個真正的游戲。這個游戲最終被帕克兄弟公司（Parker Brothers）以桌面游戲六角棋為名（Hex）推向了市場。這是個在以六邊形為棋格的平行四邊形棋盤上玩的游戲，大約同時，丹麥也有人獨(dú)立地發(fā)明了這種游戲。在普林斯頓大學(xué)，這種游戲被稱作“納什”，另外，因為人們在數(shù)學(xué)系男洗手間的地磚上玩這種游戲，它還獲得了一個雙關(guān)語名字“John”。這個游戲有兩個玩家，各執(zhí)一種單色棋子（比如紅和藍(lán)）。目標(biāo)是趕在對手之前在棋盤的一頭到另一頭連成一個完整的路徑。

這游戲有網(wǎng)絡(luò)版。先行的玩家總有一個獲勝的策略；即走第一步的玩家可以總贏，只要他執(zhí)行恰當(dāng)?shù)南缕宓捻樞颉?/p>

江山代有才人出。正如記者Erica Klarrich指出的，沒人再引用納什的文章了，因為納什均衡已經(jīng)成為了標(biāo)準(zhǔn)詞匯；每個數(shù)學(xué)家都知道它意味著什么。盡管他只發(fā)表了少量文章，約翰·納什將以20世紀(jì)最具獨(dú)創(chuàng)性和影響力的數(shù)學(xué)家之一被記住，他的工作仍在啟發(fā)新的結(jié)果和新的研究方向。